第3章最小二乘平差ppt课件.ppt

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1、误差理论与测量平差基础,最小二乘平差,3.1 测量平差的数学模型3.2 条件式的线性化3.3 最小二乘估计3.4 条件平差法3.5 间接平差法3.6 附有限制条件的条件平差法3.7 最小二乘估计的统计性质,本章教学内容,重点与难点：平差计算公式以及精度评定公式；最小二乘统计特性。,本章学习主要内容概括为：测量平差的数学模型概念；基本平差方法（平差计算公式、精度评定公式）；最小二乘估计的统计特性。,第3章 最小二乘平差,3.1 测量平差的数学模型,3.1.1 测量平差的数学模型,平差数学模型包括：函数模型和随机模型两个部分。,函数模型是指：观测值的数学期望之间的函数关系式；或观测值与待定参数的数

2、学期望之间的函数关系式；或待定参数的数学期望之间的函数关系式。,随机模型是指： 描述观测值的先验精度及其相关性的特征，常用观测值的方差-协方差阵来表示。,例如：为确定一个三角形的形状，若等精度独立观测了三角形三个内角，观测值方差为 。 则平差的数学模型可表达为：,函数模型：,随机模型：,3.1.2 必要观测和多余观测,多余观测数：即在必要观测的基础上，每增加一个观测量，观测中就有了一个多余观测，用r表示其个数。,观测总数：用n表示。,必要观测数：能够唯一确定一个几何模型所必需的元素，简称必要元素。对应的必要观测量个数，称为必要观测数（用t表示）。,则有： r=n-t,通过上面例子，不难看出：,

3、而观测值不可避免地存在偶然误差，使得约束条件因实际存在闭合差而并不满足；,如何调整观测值，即对观测值合理地加上改正数，使其达到消除闭合差的目的，这就是测量平差的主要任务！,由于多余观测，将会使观测量真值之间产生一个几何或者物理的约束方程，即函数模型；,那么，一个测量平差问题又是怎样来达到消除闭合差的目的呢？首先要由观测值和未知量间组成函数模型；然后采用一定的平差原则对未知量进行估计。关键：1）函数模型；2）平差准则。,建立不同的函数模型，就有了不同的平差方法。测量中常用的有：,1、条件平差法、附有参数的条件平差； 2、间接平差法、附有限制条件的间接平差；3、附有限制条件的条件平差法。,3.1.

4、3 函数模型,测量数据的函数模型一般为： 几何模型、物理模型或几何、物理综合模型。（测量控制网如水准网、三角网、GPS网等都属于几何模型）,1、条件平差法,条件平差的函数模型 观测值的数学期望之间的函数关系式,又称为条件方程。条件平差 以条件方程为函数模型的平差方法，称为条件平差方法。,等价,等价,条件方程的个数：等于多余观测数r，且r个条件式线性无关（独立）！条件方程的通式：值得注意： 1）一个平差问题中，条件形式不唯一！选取形式最简为易！ 2）各条件式之间必需是独立的！,条件方程的特点：,思考：如果将第三个式换为 是否可行？,=6，t=3，r=3，故应列出3个线性无关条件方程：,=6，t=

5、4，r=2，故应列出2个线性无关的条件方程：,思考：以下是否可行？为什么？,（1）,（2）,（3）,=5，t=2，r=3；列立3个函数模型：,思考：有些条件方程是非线性的、又如何线性化？（是后续要介绍的问题。）,2.附有参数的条件平差法,1、先仍然按条件平差列r个条件方程；2、然后再增选一个参数，则就会增加一个条件方程，即3、则上式可写成：,=5，t=2，r=5-2=3，按条件平差列函数摸型为：选C点高程为参数，则增加一个条件式，为：写成距阵式为：,可以看出，它是“特殊的条件平差”；它特殊在于选了参数，且参数的个数不能大于或等于t，即：（0t）；函数模型的总数且=r+；函数模型由两大类构成：

6、1)一类是条件平差的条件方程； 2)另一类是含有参数的条件方程。合并两类函数模型，得通式为：,附有参数的条件平差的函数模型的特点：,例：下图测角网中，A、B已知点，AC已知边。观测9个角。按条件平差应列几个条件方程？,X,可见：有时为了某种需要，除了n个被观测量外，还选了u个非观测量（称之为未知数或参数）参与平差，其中ut。,S0,=4，t=2，r=4-2=2选=1个参数：列立=r+=3个条件方程：,3、间接平差法(参数平差）,间接平差的函数模型 观测值与待定参数的数学期望之间的函数关系式。即：先选定t个独立参数，将每一个观测量表达成所选参数的函数，这种函数关系式称为“观测方程”。,间接平差法

7、： 以上述的观测方程为平差的函数模型，称为间接平差（又称为参数平差）。,t=2，选2个参数，函数模型：,列立观测方程前需先选参数，且参数的个数等于必要观测数t。t个参数独立（即不能存在确定的函数式）！观测方程的个数等于观测值的个数n。一般表达式：在测量控制网中，常采用待定点的坐标、待定点的高程为平差参数建立观测方程。,观测方程的特点：,例.（1）确定t=3，故需选3个参数； （2）选网中三个待定点高程为平差参数 （3）则列立=6 个观测方程。为,例.（1）t=2，选D，C点的高程为参数： （2）列立5个观测方程：,例.下图，试分别列立条件平差的函数模型、间接平差的函数模型。,条件平差=3，t=

8、1，r=2，故列立2个条件方程：,间接平差t=1，故选AB间距离为参数、列立3个观测方程：,条件平差的函数模型：先确定必要观测数t；由r=-t求出多余观测r；列立r个独立的条件方程（即观测量真值之间的几何条件式）。即：,间接平差的函数模型：先确定必要观测数t；选t个独立的参数；列立个观测方程（将每一个观测值期望表达成所选参数的函数）；即：,条件平差函数模型与间接平差函数模型比较,例：分别列立条件平差、间接平差的函数模型，并将用一般形式表示。,条件平差的条件方程为：,间接平差的观测方程为：,4、附有限制条件的间接平差的函数模型,t=2，选=2+1个参数：则参数间就不独立了，产生约束条件：间接平差

9、的函数模型仍为：,写成矩阵形式为：可见，矩阵形式的特点是有两类！,特殊的间接平差，即仍要选参数，但参数的个数ut。多选参数的个数s=u-t，这样，参数就不独立了，之间会产生s函数式。函数模型的构成： 1）是间接平差的观测方程 ； 2）是参数之间的条件方程 。函数模型的个数= n+(u-t)=n+s。函数模型通式：,附有限制条件的间接平差函数模型的特点：,思考：按间接平差应建立几个观测方程？,附有限制条件的间接平差：看成是特殊的间接平差；特殊在所选的参数个数要比间接平差时个数多；参数个数：t函数模型的个数：=+（-t）=+函数模型的类型：1.按间接平差的观测方程、2.未知数之间的条件方程（限制条

10、件式）。函数模型可表示为：,附有参数的条件平差：看成是特殊的条件平差；特殊在需选参数，且独立；参数个数：0t函数模型的个数： =r+；函数模型的类型：1.按条件平差的条件方程、2.含有参数的条件方程。函数模型可表示为：,附有参数的条件平差与附有限制条件的间接平差函数模型比较,四种平差方法与参数的关系以及函数模型的一般式,函数模型,函数模型,参数与平差方法的关系,5、附有限制条件的条件平差法（概括函数模型）,可以用概括函数模型概括各种平差方法，其概括模型为,不难看出：各种平差法的函数模型是概括函数模型的特例。,概括函数模型与各种平差方法的函数模型关系：,3.2 条件式的线性化,在各种平差中，所列

11、函数模型有线性的、也有非线性的；在平差计算时，需将非线性方程转成线性方程，即： 非线性函数模型线性化。,线性化的方法： 用泰勒级数公式展开，并取自一次项，二次以及以上高次项舍去。,非线性函数模型按泰勒级数展开过程：,令上式为：,根据函数线性化过程，容易得到：条件平差法：附有参数条件平差法：间接平差：附有限制条件的条件平差：,实际中：,例.将非线性条件式 线性化。,即：,例如：,3.3 最小二乘估计,测量平差就是对平差函数模型的参数进行估计。也就是在众多的解中，找出一个最为合理的解，作为平差参数的最终估计。这样，就需对估计值提出某种要求（附加约束条件），来得到最优估计值。,参数估计如下图按条件平

12、差,测量平差中的参数估计：在众多的解中，找出一个最为合理的解，作为平差参数的最终估计。,同样是：在众多的解中，找出一个最为合理的解，作为平差参数的最终估计。,为了在在众多的解中，找出一个最为合理的解，需对最终估计值提出某种要求：考虑平差所处理的是随机观测值，故这种要求自然从数理统计观点去寻求，即参数估计要具有最优的统计性质；从而可对平差数学模型附加某种约束，实现满足最优性质的参数唯一解。这种约束是用某种准则实现的，其中最广泛采用的准则是最小二乘原理。,所谓的最小二乘原理就是在满足： 的条件下，解出参数的估值，这种求估计量的方法就称为“最小二乘法”。p是观测向量的权阵。,或,最小二乘估计的优良性

13、质：1）不需要知道观测向量的分布状态；2）是一种线性估计；3）解唯一，且估值具有无偏和方差最小等最优性质。,例：一个三角形，等精度独立观测了三内角Li，求三内角的平差值(估值)。 解： （1）函数模型- （2）随机模型- （3）平差准则-,例：等精度独立观测了某量n次,观测值 Li(i=1,2,.n)， 求该量的估值。 解： （1）函数模型- （2）随机模型- （3）平差准则-,3.4 条件平差法,条件平差步骤为:,建立条件方程作为函数模型；观测值的方差阵为随机模型；然后利用最小二乘准则；求平差问题的唯一解。,条件方程：观测值的权阵：最小二乘原则：求唯一解?,条件极值-拉格朗日乘数法,条件方程

14、改正数条件式,3.4.1 平差计算公式,按求函数极值的拉格朗日乘数法，构造新的函数：,1、数学模型：2、平差准则：,关于矩阵的微分：,若有,则Y的全微分由下式给出,特别地,将对V求一阶导数，并令其等于零，得：两边转置，得：用P-1左乘 两端，得改正数V的计算公式: 上式称为改正数方程。将得到的V回代到条件式中: 上式称为条件平差的法方程。,（公式）,（公式）,令法方程的系数阵为:法方程系数阵的特点1）是一个对称的方阵；2）是一个r阶满秩方阵，且可逆；则,法方程又可写为:故，可得联系数K的唯一解：,通常将: 以上两组方程称为条件平差的基础方程。,归纳条件平差的过程,1、建立数学模型:,2、组、解

15、法方程：,3、由改正数方程求:,4、求平差值:,按条件平差求平差值的计算步骤：,（1）根据平差问题（网形），确定观测总数，必要观测数t以及多余观测数r（条件数）；（2）正确列出r个函数独立的线性条件式；（3）根据条件式的系数A，闭合差f以及观测值的协因数阵Q组成法方程；（4）解算法方程，求出联系数K值；（5）将K代入改正数方程，求出V；（6）由L+V求出平差值；（7）用平差值重新列出平差值条件方程式，看其是否满足，以检验平差计算的正确性。,例：对三角形的三内角作同精度观测，得观测值为：求三个内角的平差值。,例：下图水准网，已知数据和观测数据为：求：C、D点高程的平差值。,3.4.2 精度评定,

16、在平差计算中，经常需要估算某些量平差值的精度；,测量成果的精度，包括： （1）观测量的平差值精度； （2）平差值函数的精度。,观测值的方差可表达为： 观测量的平差值的方差则可表示为： 推广到求平差值函数的方差：,故：把求平差值函数的精度分成一是求单位权方差估值；二是求该量的协因数。,1、验后单位权方差的估值,单位权方差的估值公式 残差平方和除以多余观测数就为单位权方差估值。 即：,值得注意：一个平差问题，不论采用何种平差方法，单位权方差的估值的公式是不变的！,1）条件方程常数项的协因数先列函数式：由协因数传播律得： （式中Q为观测值的协因数阵。）,2、协因数阵,2）观测值改正数（残差）的协因数

17、函数式：按协因数定律，得：,3）联系数K的协因数,方法1：函数式按协因数传播律得：,方法2：函数式按协因数传播律得：,4）观测值平差值的协因数函数式：,按协因数传播律，得：,即：,在条件平差的精度评定中上式是一个非常有用的公式！,5）两两互协因数阵（以 为例）,函数式按互协因数传播律，得：,可见：观测值的平差值与改正数是不相关的。,条件平差中基本向量协因数、互协因数计算公式,3、平差值函数的中误差,平差值函数：就是指根据观测值的平差值所算出的某些量。 如：平面控制网中待定点的平差坐标、边长、方位角；高程控制网中的待定点平差高程等。 实际平差问题中： 任一个量均可表达成观测量的平差值的函数！如何

18、计算平差值函数的中误差,就是本节要讨论的问题。,计算平差值函数 的中误差的思路：,思考：关键在哪几步？,例：,问：（1）平差后P1、P2、P3点高程怎样？（2）平差后P1、P2、P3点高程的精度？,求平差值函数的权倒数的计算步骤:,1)列平差值函数式(按题意要求,将欲求其中误差的量表达成平差值的函数式)；2)若函数为非线性式,则对函数式求全微分,写出权函数式（单位统一）;3)利用协因数传播律求平差值函数的权倒数。,观测值,数学模型,平差估计准则,法方程,求平差值,精度评定,测量平差过程可归纳为以下流程:,例：,解题思路：相对中误差（何谓相对中误差？）；CD边长的中误差；列立CD边长的函数式（如

19、何表达？）；非线性线性化（两边全微分，得权函数式）；写成向量形式；求出 ；利用协因数传播律，得到 ；由 求CD边长的中误差;再求相对中误差。,平差后，C、D边长的函数式：,两边全微分得：,主要有以下两个方面内容：1、附有参数的条件平差的平差原理；2、附有参数的条件平差的精度评定方法。,3.4.3附有参数的条件平差,附有参数的条件平差的函数模型？,何谓附有参数的条件平差？其有哪些要求？函数模型一般式、个数？,例1：如图水准网，试按附有参数的条件平差求平差值。思路：选参数（个数？）函数模型的个数？函数模型的类型怎样？如何求解？和条件平差比较？,例2：下图测角网中，A、B已知点，AC已知边。观测9个

20、角，试求平差值。,思考：按条件平差应列几个条件式？条件式类型？,可见：有时为了某种需要，除了n个被观测量外，还选了u个非观测量（称之为未知数或参数）参与平差，其中ut。,边长条件：,极条件：,条件方程类型：,若选u个参数，则条件方程的数目为c=r+u。从以上5 个方程出发进行平差，就是附有参数的条件平差方法。按条件平差进行时不便于建立条件式时就可选择U个参数，按附有参数的条件平差方法平差。,1 附有参数的条件平差原理,函数模型随机模型按最小二乘原理 求唯一解。,一、基础方程及其解,求条件极值（拉格郎日乘数）的方法：1）组成一个新函数（怎样组成？）；2）分别对V和X求一阶倒数并令其等于零。,解就

21、是求以下问题的极值：,组成新函数：对V、 求一阶导数，并令等于零：等式两边转置、得：用Q左乘（1）式两边，得：则（3）式称为改正数方程。,把上述的三组方程，即：,称为附有参数的条件平差的基础方程。,而把下式：,称为附有参数的条件平差的法方程。,解法方程，即可得 、K。代入改正数方程可求得V。,思考：怎样解法方程？,方法2：令,方法1：,令,令,解法方程：,（Nbb是U阶可逆对称阵）,二、附有参数的条件平差的计算步骤及示例,、计算步骤可归结为）根据平差问题，设U个独立参数（ ut），建立附有参数的条件平差函数模型；）根据数学模型的系数组法方程；）解算法方程、求改正数V；）计算观测量的平差值；）检

22、查平差计算的正确性。,例6-2：,2 精度评定,一、单位权方差的估值公式注意：与条件平差时公式一致，即它与平差时选取参 数无关r是自由度，即多余观测数。,计算：,二、协因数阵的计算通过已知的QLL，来求向量 的自协因数阵以及两两向量间的互协因数阵。方法： 仍然是根据附有参数的条件平差中各基本向量的表达式，利用协因数传播律求得。,附有参数的条件平差基本向量的表达式为：,考虑：协因数以及互协因数的计算公式。,设,已知,由协因数传播律可得Z的协因数阵：,协因数阵,协因数阵的计算列表，以供查阅。,三、平差值函数的中误差,在附有参数条件平差中，任何一个量都可表达成观测量平差值和参数平差值的函数！即平差值

23、函数一般式为：思考：1）需要先求出哪些量的协因数阵？2）求平差值函数的中误差的步骤？,观测值平差值的精度评定：,例：试按附有参数的条件平差法求D点高程平差值的中误差。,3.5 间接平差法,回顾关于间接平差：,何谓间接平差？建立间接平差的函数模型有何要求？函数模型的一般式如何？,间接平差的函数模型(观测方程)为：,间接平差的随机模型为：,平差准则：,误差方程为：,关于间接平差函数模型:,间接平差时，一般对参数都要取近似值,即：将近似值代入观测方程（函数模型）后，得：令：则得到误差方程：,关于近似值的选择:,选取近似值的目的:为了便于计算（使误差方程的常数项变小）。选取方法：1、如果参数是观测量的

24、平差值，就选该观测值为近似值；2、如果参数是非观测值，就选由观测值来计算得到的参数值为近似值。,思考：怎样求得 和V？,3.5.1 平差计算公式,观测方程：平差准则：,按数学上求自由极值的方法，得：转置后得：基础方程为：法方程：或简写为：,解法方程：回代入误差方程求得改正数V：平差结果：,个数：t个；未知数是所选参数；系数的构成：1、由误差方程的系数以及观测值的权阵组成：2、它是满秩且对称的方阵，故有唯一逆（凯利逆）。法方程的常数项： 由误差方程的系数、误差方程的常数项以及观测值的权阵组成，即：法方程为：,法方程的特点：,1、根据平差问题性质，选t个独立的参数；2、列出误差方程；3、由误差方程

25、系数、自由项组成法方程；4、解算法方程，求参数的改正数，并计算参数平差值；5、由误差方程计算V，并求出观测量的平差值。,按间接平差法求平差值的计算步骤,例：如图平差问题，按间接平差法求待定点高程平差值。,3.5.2 精度评定,1、验后单位权方差的估值,平差计算中，无论采取哪种方法，验后单位权方差的估值计算公式不变。,2、协因数阵1）观测值的平差值的协因数阵2）参数协因数阵,间接平差中基本向量协因数、互协因数计算公式,3、未知数函数的权倒数在间接平差中，解算法方程首先求得的是t个参数。有了这些参数，便可以根据它们来计算该平差问题中任一量的平差值。,思考：1、在条件平差中，又是如何表达任一量的平差

26、值的？2、在附有参数的条件平差中有如何？,1、按条件平差时观测值的平差值函数式：,2、按间接平差时未知数的函数式：,间接平差精度评定时： 1）需先算出 2）相应的函数式以参数为变量。,条件平差精度评定时： 1）需先算出 2）相应的函数式以观测值平差值为变量。,不难得出：,1、设参数的函数为：2、权函数式为：3、则其协因数阵为：,间接平差参数函数协因数的计算步骤,4）未知数函数的方差估值：,计算未知数函数 的中误差的思路：,思考：关键在哪几步？,例：设有工程施工放样时的水准网，如图，已知HA=125.850m，P1、P2两点间的已知高差为-80.00m，观测高差为： L=-5.860 -35.5

27、31 -44.470 50.783 35.083T(m) 观测值的方差阵为：DL=diag(4 6 6 8 8) 试以间接平差求待定点高程的平差值及其中误差。,A,P1,P2,P3,P4,h1,h2,h3,h4,h5,1）建立间接平差的函数模型和随机模型：2）误差方程：3）组法方程：4）其解为：,归纳间接平差计算步骤：,5）观测值以及参数的平差值：6）单位权中误差：7）平差参数的协方差阵：8）未知数函数的权函数式：9）其协因数：10）对应方差：,3.5.3附有限制条件的间接平差,介绍两大内容：1）附有限制条件的间接平差原理；2）附有限制条件的间接平差的精度评定。,回顾一下已学过的三种平差方法,

28、共同点：均需要建立数学模型；然后利用最小二乘原则求最优估值。不同点：函数模型的类型有差异！ 体现在：1）是否选参数？ 2）若选，又该怎样选？得到的法方程以及基本向量的自（互）协因数阵公式有所不同！,1 附有限制条件的间接平差原理,若选P1，P2点高程以及第四段高差的平差值为参数进行最小二乘平差，该如何作？,在作间接平差时多选了未知数（例1）、或者有时为了列立误差方程方便而多选了未知数（例2）；这样，未知数之间会存在条件式，这种情况下所作的平差方法就是附有限制条件的间接平差。思考： 1)附有限制条件的间接平差适用于什么样的情况，解决什么样的平差问题？ 2)在水准测量平差中，经常采用此平差方法吗？

29、,附有限制条件的间接平差的函数模型的一般式为：随机模型为：平差原则：,组成新函数对取偏导数并令其为零转置后得：,基础方程：法方程：解联系数和参数：求参数和观测值的平差值：,1)选个数大于必要观测数的参数（包含t个独立）；2)列出误差方程和限制条件方程；3)组法方程，解 、 ；4)求改正数V，最后求 、 ；,平差计算步骤：,2 精度评定,一、单位权方差的估值公式其中r仍是多余观测数。,二、协因数阵在附有限制条件的间接平差法中，基本向量为 顾及QLL已知，根据协因数传播律即可推求各基本向量的自协因数阵和两两之间的互协因数阵，见下表.思考：进行精度评定时，需要先知道什么量的协因数阵？,三、平差参数函

30、数的协因数在这种平差方法中，所求任一量都能表达成所选的u个参数的函数，即：思考：下一步该怎样做？与间接平差求平差参数函数的协因数有差异吗？,1）求各待定点坐标的平差值；2）F点点位中误差。,不难看出： 无论是间接平差、还是附有条件的间接平差，在求平差结果（如：待定点的高程、待定点的坐标）的精度时，都是较为方便的！（为何？）,3.6 附有限制条件的条件平差法,3.6.1 平差计算公式概括平差函数模型的线性形式为：随机模型为：平差准则：,按条件极值法组成新函数：对V和x取偏导数并令其为零：转置后得：,则基础方程为：,解基础方程，并整理得法方程：解法方程，得：计算最后平差值：,法方程:,可写直接求解

31、:,或者：,3.6.2 精度评定公式,1、验后单位权方差的估值公式2、协因数阵的计算（见下表）,附有限制条件的条件平差基本向量的协因数计算公式,3、平差值函数的权倒数,设有平差值函数：平差值函数的权函数式平差值函数的协因数阵平差值函数的中误差,例：设有工程施工放样时的水准网，如图，已知HA=125.850m，P1、P2两点间的已知高差为-80.00m，观测高差为： L=-5.860 -35.531 -44.470 50.783 35.083T(m) 观测值的方差阵为：DL=diag(4 6 6 8 8) 试以附有限制条件的条件平差求待定点高程的平差值及其中误差。,A,P1,P2,P3,P4,h

32、1,h2,h3,h4,h5,解：,t=3，n=5，r=2，选P1，P2点高程为参数,u=2（不独立）；应列立C=2+2=4个条件式；其中一个限制条件方程，3个一般条件方程。,取:则条件方程式为:P3点高程平差值函数式:,取则:法方程:,解算得:平差值计算:精度评定:,也就是说，概括模型可以概括其它各种平差的函数模型。,3.7 最小二乘估计的统计性质,依最小二乘准则估计的结果是最优的。那么最优的标准是什么？3.7.1 评定估计质量的标准数理统计中，常用的评定估计量质量的标准为：1、无偏性 指所有可能出现的估值的平均值等于它真值，即要求估值的数学期望等于它的真值。数学表达式为 具有这种性质的估计量

33、 称为 的无偏估计量。,2、有效性 在无偏的基础上，数理统计学又提出了第二个质量标准，即有效性。 对于不同估计方法求得的多个无偏估计量，其中方差最小的一个估计量为最优，即有效估计量要求,3.7.2 最小二乘估计的性质,有了上述评定估计量的标准，就可以讨论最小二乘估计的性质问题。不做证明，给出最小二乘估计的统计特性如下：1、估计量 为无偏估计量；2、估计量 具有最小方差；3、估计量 具有最小方差；4、单位权方差估值 的无偏估计量。所以，最小二乘估计量是无偏的最小方差估计，具有良好的统计性质。,关于三角网条件式的个数、条件式类型判断方法：1、必要的起算数据（也称之为网的基准）测角网4个（分别为？）

34、；测边网3个（？）；边角网3个（？）。2、按照网中所具有的起算数据的多少，三角网可分为：自由三角网（少于必要起算数据）；独立三角网（等于必要起算数据）；附合三角网（多于必要起算数据）。,注意：起算数据可以是集中的或分散在三角网的任何部位！,3、必要观测数确定（t)独立测角网独立测边网独立边角网,自由三角网1、测角网假定一点的坐标已知、假定一条边的方位角、加测一条边长。2、测边网假定一点的坐标已知、假定一条边的方位角。3、边角网（同测边网）,附合网除去必要的起算数据，每增加一个起算数据，则必要观测数就减一！,1、给出了条件式线性化的方法；2、最小二乘估计准则以及统计性质；3、推导出了条件平差法、间接平差法和附有限制条件平差法的平差值计算公式以及精度评定计算公式。,本章内容小节,中南大学信息物理工程学院,谢谢！,