第1章 线性空间与线性映射ppt课件.ppt

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1、第1章 线性空间与线性映射,本章将介绍两个内容，线性空间与线性映射，它们是矩阵分析中两个基本概念，同时也是重要的概念线性空间是线性代数中向量空间概念的推广，而线性映射是研究线性空间之间关系的主要工具. 线性映射又与矩阵相对应，因此研究线性映射的问题又可转化为研究矩阵的相关关系.,1.1 线性空间,在线性代数中，我们把n元有序数组称为n维向量， 并对n维向量引入了加法及数乘两种运算，且在这两种运算下满足八条基本的运算规律，称为n维向量空间事实上，我们不难发现，还有许多集合，比如n阶方阵的全体，关于矩阵的加法及数乘两种运算，仍满足类似的八条运算规律这里虽然研究的对象不同，定义的运算不同，但它们有一

2、个共同点，就是在非空集合与数域P上定义了两种运算，且这两种运算满足八条性质将此抽象可给出线性空间的概念,1.1.1 线性空间的概念,下面看一些例子,注意在同一集合上，可以定义不同的线性运算，从而得到不同的线性空间,练习 P2 例1.1.10,对于线性空间中零元素与负元素有如下性质,1.1.2 线性空间的性质,设V为数域P上的线性空间， ，进一步可证明如下性质,1.1.3 线性空间中向量的线性相关性,一般地说，一向量组线性相关时，则其中至少有一个向量可由这组向量中其他向量线性表示，反之，如果这组向量具有这一性质，则这组向量必线性相关不难推知，线性无关的向量组，其中任一向量都不能由这组向量中其他向

3、量线性表示.,P4 例题1.1.11 例题1.1.12,n维向量空间Rn及其子空间的基与维数的概念，可以推广到一般的线性空间中,1.2.1 基与维数的概念,若线性空间V中能求得任意个数的线性无关的向量，则称V为无限维的线性空间本书主要讨论有限维线性空间,1.2 线性空间的基与维数,例1.2.3 零空间的维数是零,P5 例1.2.1 例1.2.3,（1）向量在给定基下的坐标,1.2.2 坐标的概念,从上例可看出，一个向量的坐标依赖于基的选取，一个向量在不同基下的坐标一般是不相同的,（2）向量线性运算的坐标表示,前面讲到， 一个向量的坐标依赖于基的选取，对于线性空间的两个基来说，同一个向量的坐标一

4、般是不相同的 那么它们之间有怎样的关系呢? 下面讨论这个问题,（1）基变换、过渡矩阵的概念,以下我们来讨论，一个向量关于不同的基的坐标的关系,1.2.3 基变换与坐标变换,（2）坐标变换公式,1.2.4 过渡矩阵的性质,由此可见，我们所熟悉的矩阵乘法的定义正反映了这种线性代入过程,过渡矩阵反映了线性空间的不同的基之间的关系，这是一个很重要的概念，下面进一步讨论过渡矩阵的一些性质 .,前面我们讨论了线性空间的定义及其基、维数、坐标本节将对线性空间的子空间做一些介绍,1.3.1 线性子空间的概念,定义1.3.1设W是线性空间V的一个非空子集合，如果W对于V中所定义的加法和数乘两种运算也构成一个线性

5、空间，则称W是V的线性子空间 .,根据上述定义，要验证线性空间V的非空子集合W是V的子空间，需验证W对于V中运算封闭且满足运算规律（3）、(4)即可因为运算规律（1）、（2）、（5）、（6）、（7）、（8）显然是成立的，而由线性空间的性质可知，只要W对于V中运算封闭，运算规律（3）、(4)也就自然满足，故有下面定理 .,1.3线性子空间,定理1.3.1线性空间V的非空子集W构成V的子空间的充分必要条件是： W对于V中的线性运算封闭,根据上述定理，设V是线性空间，0为V的零元素，那么W=0就是V的一个子空间 当然V也是V的子空间,P10 例1.3.4,1.3.2 子空间的交与和,确定交空间一组基

6、的基本方法：,前面给出了子空间的定义，并讨论了子空间的交与和，为了对子空间有进一步的了解，我们将深入讨论子空间的基和维数 .,1.3.3 子空间的基和维数,P11 定理1.3.5,以下我们将这一部分做一个小结,练习 P12 例1.3.5,第四节 线性映射（自学）,主要内容：一、线性映射二、线性映射的矩阵表示三、线性映射的运算（*）四、不变子空间（*）,一、线性映射（变换）的定义及性质,则称T是从V到W的一个线性映射或线性算子。,设V,W是数域F上的两个线性空间，T是从V到W的一个变换（或映射），如果对于,当 V=W时, T也称为V上的一个线性变换。,例1 恒等变换,例2 0-变换,线性变换举例

7、：,例3 求导运算是多项式空间Pn x上的线性变换。,例4 定义在闭区间a,b上的所有连续函数的集合Ca,b是一个线性空间，则Ca,b的积分运算是线性变换。,线性映射（变换） 有以下性质：,（3）T将V中的线性相关向量组映射为W中的线性相关向量组，但把线性无关向量组不一定映射为W中的线性无关向量组；,（4）设 则,并且,线性变换的值域与核,设T是n维线性空间V的一个线性变换，定义T的值域R(T)与核N (T)分别为,设A是n阶矩阵，A的值域R(A)与核N (A)分别为,-T的全体像组成的集合,-零向量原像组成的集合,实例,求导运算T在多项式空间pn x上的值空间R(T)与核空间N (T)分别为

8、,R(T)=L1 , x , x2 , , x n-1 N(T)=P,(1) T的值域R(T)与核N (T)都是V的子空间；,(3) dim(R(T)+dim(N(T)=n.,则,定理：设T是n维线性空间V的一个线性变换， 是n维线性空间V的基，,分别称为象子空间，核子空间；,象子空间的维数dim R(T) 称为T的秩，核子空间的维数称为T的零度（或亏）,设T是n维线性空间V的一个线性变换，,是n维线性空间V的基，,称A为T在基 下的矩阵。,二、线性变换的矩阵表示,（2）给定n维线性空间V的基后， V上的线性变换与n阶矩阵之间存在一一对应关系。,基向量的象可以被基线性表出，即,说明（1）矩阵A

9、的第i列恰是 的坐标；,（4）设n维线性空间V的一个线性变换T在基,下的矩阵为,是n维线性空间V的基，,（3）设T1，T2是n维线性空间V的两个线性变换，,T1，T2在该基,下的矩阵为,（5）设 是纯量多项式，T,为V中的线性变换，且对V的基 有,则V的线性变换f(T)在该基下的矩阵为：,其中f(A)称为矩阵A的多项式。,例1、试确定在多项式空间Pn x上的求导运算T分别在下列两组基下的表示矩阵,说明：同一线性变换在不同基下的表示矩阵一般是不同的，它们之间的关系是相似矩阵.-P18定理1.4.7。,例2、在R3中线性变换T将基 变为基,其中,（1）求T在基 下的表示矩阵；,（2）求向量 及,在

10、基 下的坐标,解（1）依题意,则,（2）设,则,练习P23：7, 8,例4、设 的两个子空间为,试将 表示为生成子空间,它们对应着 的一组基：,即,从而,求得5个矩阵对应的5个向量的一个极大无关组即可。,线性空间是解析几何中空间概念的推广，然而在线性空间中缺少向量的度量的概念，例如向量的长度与夹角 我们将在本节中引入这些重要的概念 .,1.4 内积空间,1.4.1 内积的定义与性质,线性空间中确定了向量的长度与向量的夹角之后，就可以对向量的正交性进行讨论了,例1.4.6 零向量与任意向量正交 .,1.4.2 向量的正交性与施米特（Schmidt）正交化方法,1.4.3 空间的正交分解,1.4.4 线性空间的同构,线性空间实质上是一个带有两个特殊运算的集合，至于集合中的元素是什么，并不重要因此，从这个意义上看，同构的线性空间是一致的,同构映射满足如下性质,