由平行截面面积求体积（华东师大数学分析）ppt课件.pptx

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1、10.3 由平行截面面积求体积,一、平行截面面积为已知的立体的体积,二 、旋转体的体积,第六章,一、平行截面面积为已知的立体的体积,设某个立体夹在垂直于X轴的两个平面x=a,x=b之间， , ,过点 与轴垂直的截面面积记为 , , ， 若 , ，截面面积 都可求，且 是连续函数，则这个立体的体积可用定积分来计算.,(1)选择作为积分变量， , ;,(2)把 , 划分为n个小区间，记其中任一个为 ,+ ,过垂直于轴的截面面积为 ，把以 为底以为高的柱体体积作为,小立体的体积近似值，则,= ,(3) 所以立体的体积为,= ,体积元素,解 取坐标系如图，底圆方程为,立体体积,例1 一平面经过半径为R

2、的圆柱体的底圆中心，并与底面交成角a ，计算这平面截圆柱体所得立体的体积.,垂直于轴的截面为直角三角形，截面面积,立体体积,例2 求以半径为R的圆为底、平行且等于底圆直径的线段为顶、高为h的正劈锥体的体积.,垂直于x轴的截面为等腰三角形，其截面面积,解 取坐标系如图，底圆方程为,立体体积,例3 求椭球面 + + =围成的椭球体的体积.,解 用平面= ,截椭球体，截面为椭圆，其方程为, ( ) + ( ) =,故 = , ,= = ,球的体积= 3,1、旋转体概念: 就是由一个平面图形绕这平面内一条直线旋转一周而成的立体这直线叫做旋转轴,圆柱,圆锥,圆台,二、旋转体的体积,由连续曲线 y = f

3、(x), x = a , x=b ,及 x 轴围成的平面图形绕 x 轴旋转所生成的旋转体的体积:, = =() ，,2、绕x轴,易知，截面积, = = = () ,所以,例4.求 围成的图形绕x轴旋转所得体积.,解：如图所示,解 直线OP方程为,例5 连接原点O及点P(h,r)的直线、直线x=h及x轴围成一个直角三角形将它绕x轴旋转构成一个底半径为r、高为h的圆锥体，计算圆锥体的体积,()= , ,所以,解,由连续曲线 x= g(y), y = c , y=d ,及 y 轴围成的平面图形绕 y 轴旋转所生成的旋转体的体积:,3、绕Y轴 = , = = () ,例7 求y=lnx,x=0,y=0,y=1围成图形绕y轴旋转的体积,解 如图所示,解 如图所示，由对称性所求体积等于第一象限图形旋转所得体积的两倍.,(1),(2),球的体积= 3,解,例9 求摆线x=a(t-sint)，y=a(1-cost)的一拱与y=0所围成的图形分别绕x轴、y轴旋转构成旋转体的体积.,(1)绕x轴旋转的旋转体体积,(2)绕y轴旋转的旋转体体积可看作平面图OABC与OBC分别绕y轴旋转构成旋转体的体积之差.,= ( ) ,= ,解,旋轮体,例10求圆,( ) + = 绕y轴旋转的旋转体体积。,例11 旋转轴不是x,y轴的例题,作业P251,3, ,