概率论与数理统计第四章方差ppt课件.ppt

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1、一、问题的引入,五、例题讲解,三、方差的性质,六、小结,第四章 随机变量的数字特征 方差,四、重要概率分布的数学期望与方差,二、方差的概念,一、问题的引入,上一讲我们介绍了随机变量的数学期望，它体现了随机变量取值的平均水平，是随机变量的一个重要的数字特征.,但是在一些场合，仅仅知道平均值是不够的.,例如，某零件的真实长度为a，现用甲、乙两台仪器各测量10次，将测量结果X用坐标上的点表示如图：,若让你就上述结果评价一下两台仪器的优劣，你认为哪台仪器好一些呢？,测量结果的均值都是 a,因为乙仪器的测量结果集中在均值附近,又如,甲、乙两门炮同时向一目标射击10发炮弹，其落点距目标的位置如图：,你认为

2、哪门炮射击效果好一些呢?,甲炮射击结果,乙炮射击结果,因为乙炮的弹着点较集中在中心附近 .,为此需要引进另一个数字特征,用它来度量随机变量取值在其中心附近的离散程度.,这个数字特征就是我们这一讲要介绍的,方差,二、方差的概念,1.方差的定义,采用平方是为了保证一切差值 X-E(X) 都起正面的作用,由于它与E(X)具有相同的度量单位，在实际问题中经常使用.,方差的算术平方根 称为标准差,记为,2.方差的意义,若X的取值比较分散，则方差较大 .,若方差D(X)=0,则X 以概率1取常数值.,方差刻划了随机变量的取值对于其数学期望的离散程度 .,若X的取值比较集中，则方差较小；,D(X)=EX-E

3、(X)2,3.随机变量方差的计算,离散型随机变量的方差,连续型随机变量的方差,(1) 利用定义计算,其中PX=xk=pk，k=1，2，是X的分布律.,其中f(x)为X的概率密度.,方差是随机变量X的函数g(X)=X-E(X)2的数学期望 .,证明,(2) 利用公式计算,三、方差的性质,证明,(1) 设 C 是常数, 则有,(2) 设 X 是一个随机变量, C 是常数, 则有,证明,(3) 设 X, Y 相互独立, D(X), D(Y) 存在, 则,证明,推广,若X1，X2，Xn相互独立，则有,(4)D(X)=0的充要条件是 X以概率1取常数C,即,1. 两点分布,则有,四、重要概率分布的数学期

4、望与方差,2. 二项分布,则有,设随机变量 X 服从参数为 n, p 二项分布,其分布律为,3. 泊松分布,则有,设 ，且分布律为,所以,泊松分布的期望和方差都等于参数 .,4. 均匀分布,则有,设X U(a, b)，其概率密度为,结论 均匀分布的数学期望位于区间的中点.,5. 指数分布,则有,设随机变量X服从指数分布，其概率密度为,指数分布的期望和方差分别为和,6. 正态分布,则有,设 ，其概率密度为,正态分布的期望和方差分别为两个参数 和,重要结果,解,五、例题讲解,例1 设随机变量X具有概率密度,于是,例2,解,设活塞的直径(以cm计)XN(22.40,0.032),汽缸的直径YN(22

5、.50,0.042), X,Y相互独立，任取一只活塞，任取一只汽缸，求活塞能装入汽缸的概率.,例3,解,设连续型随机变量X的概率密度为,例4,解,契比雪夫不等式,证明,取连续型随机变量的情况来证明.,契比雪夫不等式,设 X 的概率密度为f(x)，则有,定理 设随机变量X具有数学期望E(X)=，方差D(X)= ,则对于任意正数 ,不等式,成立.,得,六、小结,1.方差是一个常用来体现随机变量X取值分散程度的量. 如果D(X)值大, 表示X取值分散程度大, E(X)的代表性差; 而如果D(X)值小, 则表示X的取值比较集中, 以E(X)作为随机变量的代表性好.,2. 方差的计算公式,3. 方差的性质,4. 契比雪夫不等式,