概率论与数理统计 第七章 参数估计ppt课件.ppt

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1、,第七章 参数估计,一.点估计 二.估计量的评选标准 三.区间估计 四.正态总体参数的区间估计,1 点估计一、参数估计的概念,定义: (p128) 设X1， ， Xn是总体X的一个样本，总体分布函数为F(x; ), 。其中为未知参数, 为参数空间, 若用统计量 g(X1， ， Xn) 作为的一个估计, 则称其为的一个估计量，记为,注：F(x;)也可用分布律或密度函数代替.,若x1， ， xn是样本的一个观测值,点估计的经典方法有矩估计法与极大似然估计法。,二、矩估计法（简称“矩法”） （p128),思想：用样本矩作为总体同阶矩的估计，即,理论依据：大数定律。,约定：若 是未知参数的矩估计，则g

2、()的矩估计为g( ). 如设总体为X，其期望、方差的估计。,矩估计法,求法：,1、 计算总体矩。一般来说，总体矩是未知参数的函 数，总体矩个数与未知参数个数相同。,2、 求出未知参数表达式，未知参数为总体矩的函数。,3、 用样本矩代替同阶总体矩，得到未知参数的估计计 算式。,例1 设X1,Xn为来自总体b(m,p)的样本，其中m已知，p未知，求p的矩估计。,解： 因 E(X)=mp,故,即为参数p的矩估计。,EX：设X1， ， Xn为取自参数为的指数分布总体的样本，求的矩估计。,解：,例2 设总体X的概率密度为 ，X1,Xn为其样本，求的矩估计。,例3：设X1， ， Xn为取自 总体的样本，

3、求参数 的矩估计。,解:,解:,由:,三、极大似然估计法(P130),1、极大似然思想 有两个射手，一人的命中率为0.9,另一人的命中率为0.1,现在他们中的一个向目标射击了一发，结果命中了，估计是谁射击的？,一般说，事件A发生的概率与参数有关，取值不同，则P(A)也不同。因而应记事件A发生的概率为P(A|).若A发生了，则认为此时的值应是在中使P(A|) 达到最大的那一个。这就是极大似然思想,(1) 设总体X为离散型随机变量，它的分布律为,现有样本观察值x1,x2,xn,其中xk取值于ak,k=1,2问：根据极大似然思想，如何用x1,x2,xn估计q?,根据极大似然思想, 值应是在中使P(A

4、|) 达到最大的那一个,也就是使样本联合分布律 达到最大的那一个.,(2) 设总体X为连续型随机变量，概率密度f(x;q) 现有样本观察值x1,x2,xn,问：根据极大似然思想，如何用x1,x2,xn估计q?,根据极大似然思想, 值应是在中使 P(A|) 达到最大的那一个,也就是使样本联合密度达到最大的那一个.,2、似然函数与极大似然估计(p131),为该总体的似然函数。lnL()称为对数似然函数。,定义：若有,使得,则称 为的最大似然估计.记为,3、求极大似然估计的步骤,(1) 求似然函数,(2) 求对数似然函数,或,(3) 求导, 令,若方程有解，则,或,例5. 设X1， ， Xn为取自参

5、数为的泊松分布总体的样本，求的极大似然估计。,解:,令,注1：若总体分布中含有多个未知参数，如,则可解方程组,例6：设X1， ， Xn为取自 总体的样本，求参数 的极大似然估计。,解:,令,为 的极大似然估计.,注2：极大似然估计具有下述性质： (p134)若 是未知参数的极大似然估计， g()是的严格单调函数，则g()的极大似然估计为g( )。,例7：设X1， ， Xn为取自参数为的指数分布总体的样本，a0为一给定实数，求p=PXa的极大似然估计。,解:,关于单调. 故若的极大似然估计为 , 则 p的极大似然估计为 . 先求的极大似然估计。,令,注3：由似然方程解不出的似然估计时，可由定义通

6、过分析直接推求。事实上 满足,例8：设X1， ， Xn为取自 U(0,) 总体的样本， 0未知，求参数 的极大似然估计。,解:,令,无解!,注意到,为使 L()0, 必须 0 x(1)、 x(n) , 故的值域为(x(n) , ), 再由 关于单减, 故越小, L()越大. 于是L(x(n)=supL(),一、无偏性(p136),易见,2 估计量的评选标准,考察的矩估计和极大似然估计的无偏性。,解: 的矩估计和极大似然估计分别为,的矩估计是无偏的. 记,故的极大似然估计不是无偏的.注:取,则*是的无偏估计.,二、有效性(P137),EX:设 分别为取自总体X的容量为n1,n2的两个独立样本的样

7、本均值，求证：对任意实数 a0,b0,a+b=1统计量 都是 E(X)的无偏估计，并求a,b使所得统计量最有效.,故对任意实数a0,b0,a+b=1,统计量 都是E（X）的无偏估计.,三、一致性(P138),3 区间估计一、概念（P140),定义： 设总体X的分布函数F(x；)含有未知参数，对于给定值（0 1), 若由样本X1, , Xn确定的两个统计量 使,则称随机区间 为的置信度(水平）为1的置信区间。,二. 正态总体均值与方差的区间估计,1、2已知,故,1-,即：,故的置信度为1的置信区间为：,例1 已知某大学三年级学生的身高服从正态分布 , 现从该大学三年级学生中抽查10人, 测得身高

8、分别为162,176,163,165,168,172,170,167,175,178. 求总体均值 的置信水平为0.95的置信区间.,解：,已知时, 的置信度为1的置信区间为,这里,故置信区间为,2、2未知(p141),m的1-a置信区间为,1-,即得,解：,未知时, 的置信度为1的置信区间为,这里,故置信区间为,例2 设某种袋装食品的重量服从正态分布，从某一批此种食品中抽取6袋, 测得重量(单位:g)如下:205, 207, 189, 193, 196, 198. 求此种袋装食品的重量的置信水平为0.95的置信区间.,三、单正态总体方差的置信区间(P142),假定m未知，,s2的置信度为1的

9、置信区间为,s的置信度为1的置信区间为,解：,2的置信度为1的置信区间,这里,故置信区间为,例3 某种零件的生产时间(单位:分钟)服从正态分布, 现观察了20个零件的生产时间, 得到 . 求 的置信水平为0.95的置信区间.,四、双正态总体均值差的置信区间(P143),其中,可解得 1 - 2 的置信区间：,五、双正态总体方差比的置信区间(P144),假定1，2未知,小结,习题：,一、是非题,数理统计基本内容包括采集样本和统计推断两大 部分。,2. “统计量”与“估计量”是同一概念。,3. 参数的矩估计不唯一。,4. 极大似然估计是唯一的。,5. 参数的无偏估计是唯一的。,二、 已知某种白炽灯泡寿命服从正态分布，在某星期中所生产的该种灯泡中随机抽取10只，测得其寿命（以小时计）为：1067，919，1196，785，1126，936，918，1156，920，948. 设总体参数均未知，试用最大似然估计估计该星期中生产地灯泡能使用1300小时以上的概率。,解：,三、设总体X具有分布律,X 1 2 3Pk22(1- ) (1- ) 2,其中未知，已知取得了样本值,求的矩估计和最大似然估计。,四、设随机变量X的概率密度为,求的MLE.,