概率论 多维随机变量及其分布ppt课件.ppt

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1、第三章 多维随机变量及其分布,1 二维随机变量,1、二维r.v.定义: 设E是一个随机试验, 样本空间是S=e,设X=X(e)和Y=Y(e)是定义在S上的r.v., 由它们构成的一个向量(X, Y), 叫做二维r.v.,注: 二维r.v. (X, Y)的性质不仅与X和Y有关, 而且还 依赖于这两个r.v.的相互关系.,如何描述二维r.v.(X, Y)的统计规律?,2. 二维r.v.(联合)分布函数:,图2,若将(X, Y)看成平面上随机点的坐标, 则分布函数F(x,y)的值为(X,Y)落在阴影部分的概率(如图1),图1,二维r.v.的分布函数的基本性质与一维r.v.的分布函数F(x)的性质类似

2、:,1、F(x,y)是 x 和 y 的不减函数。,3、F(x,y)分别关于x，y右连续。,3. 下面分别讨论二维离散型和连续型r.v.,(一) 二维离散型r.v.,例1. 设r.v. X在1, 2, 3, 4四个整数中等可能地取值, r.v. Y则在1X中等可能地取一整数, 试求(X, Y)的分布律.,二维离散随机变量分布律,(二) 二维连续型r.v.,2. 边缘分布,一、边缘分布函数：,二、边缘分布律：,例1(续),Y 1 2 3 4 pj 1 1/4 1/8 1/12 1/16 2 0 1/8 1/12 1/16 3 0 0 1/12 1/16 4 0 0 0 1/16 pi,X,1/4,

3、1/4,1/4,1/4,25/48,13/48,7/48,3/48,1,三、边缘概率密度:,注: 由二维随机变量(X,Y)的概率分布(X,Y)的联合分布可唯一地确定X和Y的边缘分布, 反之, 若已知X,Y的边缘分布, 并不一定能确定它们的联合分布.,3. 条件分布,一、二维离散型r.v.的情况:,例1. 设(X, Y)的分布律为: Y 0 1 2 3 0 0.840 0.030 0.020 0.010 1 0.060 0.010 0.008 0.002 2 0.010 0.005 0.004 0.001 求在X=1时Y的条件分布律.,X,用表格形式表示为: k 0 1 2 PY=k|X=1 6

4、/9 2/9 1/9,例2 一射击手进行射击, 击中目标的概率为 p(0p1),射击到击中目标两次为止, 设 以X表示首次击中目标进行的射击次数, 以Y表示总共进行的射击次数,试求X和Y 的联合分布律和条件分布律.,二、二维连续型r.v.的条件分布,首先引入条件分布函数,然后得到条件概率密度.,进一步可以化为:,例3. 设数X在区间(0,1)上随机地取值, 当观察到 X=x(0 x1)时, 数Y在区间(x, 1)上随机地取值, 求Y的概率密度.,4. 相互独立的随机变量,由两个事件相互独立的概念可引出两个随机变量相互独立的概念.,2.等价定义:,例: 设X和Y都服从参数=1的指数分布且相互独立

5、, 试求PX+Y1.,3.命题：设(X, Y)服从二维正态分布, 则X, Y相互独立的充要条件是 =0.,5. 一个重要定理:,设 (X1, X2, , Xm) 和 (Y1, Y2, Yn) 相互独立, 则 Xi (i=1,2, ,m) 和 Yj ( j=1,2, ,n)相互独立,又若h, g 是连续函数, 则 h(X1, X2, , Xm) 和 g (Y1, Y2, Yn) 相互独立.,4. 边缘分布及相互独立性的概念可以推广到 n维r.v.的情况.,5. 两个r.v.的函数的分布,(一) 和(Z=X+Y)的分布:,已知 X, Y的联合密度f(x, y), 求Z=X+Y的分布密度.,结论:

6、若X, Y是连续型r.v.且X与Y相互独立,则X+Y 也是连续型r.v.且它的密度函数为X与Y的密 度函数的卷积.,例1. (P86)设X和Y相互独立, 且都服从N(0, 1),求:Z=X+Y的分布密度.,结论:,(二) 商(Z=X/Y)的分布:,当X,Y相互独立时,则有,(三) M=max(X,Y)及m=min(X, Y)的分布:,设X,Y相互独立, 分布函数分别为FX(x)和FY(y). 首先求M=max(X,Y)的分布.,推广: 设X1,X2,Xn相互独立,分布函数分别为 F1(x), F2(x),Fn(x), 则M=max(X1,X2,Xn)的分布函数为 FM(z)=F1(z) F2(

7、z)Fn(z) N=min(X1,X2,Xn)的分布函数为 FN(z)=1-(1-F1(z)(1-F2(z)(1-Fn(z),特别地, 当X1,X2,Xni.i.d.时, 设分布函数为F(x),(四) 用“分布函数法”导出两r.v. 密度函数的要点:,参数为 的瑞利分布,(五) 对于离散型r.v. 的函数的分布:,设X,Y是离散型r.v.且相互独立, 其分布律分别为:PX=i=pi,i=0,1,2,3, PY=j=qj,j=0,1,2,3,求Z=X+Y的分布律.,解:,PZ=i,=PX+Y=i,于是有:,这就是Z=X+Y的分布律.,例5 设X,Y是相互独立的r.v., 分别服从参数为1,2的泊

8、松分布, 试证明Z=X+Y也服从泊松分布.,证明:,已知,PZ=i,第三章 习题课,一. 主要内容：,(1) 二维r.v.的分布函数, 离散型r.v.的联合 分布, 连续型r.v.的联合概率密度.,(2) 边缘分布函数;边缘分布律;边缘概率密度.,(3) 条件分布律; 条件概率密度.,(4) 随机变量的相互独立.,(5) 两个r.v.函数的分布.,二. 练习题:,1.设某人从1, 2, 3, 4四个数中依次取出两个数,记X为第一次所取出的数, Y为第二次所取出的数, 若第一次取后不放回, 求X和Y的联合分布律.,=PX=iPY=j|X=i,5. 设离散型随机变量X与Y的分布列分别为X 0 1 2 Y 0 1pk 1/2 3/8 1/8 pk 1/3 2/3且X与Y相互独立, 求:(1)Z=X+Y的分布列; (2) (X,Y)的联合分布列;(3)M=max(X,Y); (4)N=min(X,Y).,