二次函数的图像与性质ppt课件.ppt

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1、第二十六章 二次函数,26.2 二次函数的图像与性质,观察y=x2的表达式，选择适当x值，并计算相应的y值，完成下表:,会用描点法画二次函数y=x2的图象吗？,列表,函数y=x2的图象和性质,y=x2,描点，连线,(1)你能描述此图象的形状吗?,(2)此图象是轴对称图形吗？如果是，它的对称轴是什么?请你找出几对对称点.,(3)此图象与x轴有交点吗？如果有，交点坐标是什么?,(4)当x0呢？,(5)当x取什么值时，y的值最小?最小值是什么？,y=x2,这条抛物线关于y轴对称，y轴就 是它的对称轴.,对称轴与抛物线的交点叫做抛物线的顶点.,二次函数y=x2的图象形如物体抛射时所经过的路线，我们把它

2、叫做抛物线.,当x0 (在对称轴的左侧)时，y随着x的增大而减小.,当x0 (在对称轴的右侧)时， y随着x的增大而增大.,抛物线y=x2在x轴的上方(除顶点外)，顶点是它的最低点，开口向上，并且向上无限伸展；当x=0时，函数y的值最小，最小值是0.,(1)二次函数y=-x2的图象是什么形状？,(3)先想一想，然后作出它的图象,(2)它与二次函数y=x2的图象有什么关系？,列表,函数y=-x2的图象和性质,x,y,0,-4,-3,-2,-1,1,2,3,4,-10,-8,-6,-4,-2,2,-1,描点，连线,y=x2,(1)你能描述此图象的形状吗?,(2)此图象是轴对称图形吗？如果是，它的对

3、称轴是什么?请你找出几对对称点.,(3)此图象与x轴有交点吗？如果有，交点坐标是什么?,(4)当x0呢？,(5)当x取什么值时，y的值最大?最大值是什么？,y=x2,.顶点坐标与对称轴,.位置与开口方向,.增减性与最值,抛物线,顶点坐标,对称轴,位置,开口方向,增减性,最值,y=x2,y=-x2,（0，0）,（0，0）,y轴,y轴,在x轴的上方(除顶点外),在x轴的下方( 除顶点外),向上,向下,当x=0时，最小值为0.,当x=0时，最大值为0.,在对称轴的左侧，y随着x的增大而减小. 在对称轴的右侧，y随着x的增大而增大.,在对称轴的左侧，y随着x的增大而增大. 在对称轴的右侧，y随着x的增

4、大而减小.,根据图形填表：,函数y=x2的图象和性质,y=x2和y=2x2是y=ax2的特殊例子，a的符号确定着抛物线的,在同一坐标系中作出函数y=2x2和y=-2x2的图象,y=2x2,y=-2x2,函数y=ax2(a0)的图象和性质,1.抛物线y=ax2的顶点是原点，对称轴是y轴.,2.当a0时，抛物线y=ax2在x轴的上方(除顶点外)，它的开口向上，并且向上无限伸展；当a0时，抛物线y=ax2在x轴的下方(除顶点外)，它的开口向下，并且向下无限伸展.,3.当a0时，在对称轴的左侧，y随着x的增大而减小；在对称轴右侧，y随着x的增大而增大.当x=0时函数y的值最小.当a0时，在对称轴的左侧

5、，y随着x的增大而增大；在对称轴的右侧，y随着x增大而减小，当x=0时，函数y的值最大.,例1.已知抛物线y=ax2经过点A(-2，-8). （1）求此抛物线的函数解析式； （2）判断点B(-1，- 4)是否在此抛物线上； （3）求出此抛物线上纵坐标为-6的点的坐标.,解：（1）把（-2，-8）代入y=ax2，得 -8=a(-2)2， 解得a= -2，所求函数解析式为y= -2x2.,（2）因为 ，所以点B（-1 ，-4）不在此抛物线上.,（3）由-6=-2x2 ，得x2=3， 所以纵坐标为-6的点有两个，它们分别是,经典例题,例2.填空:(1)抛物线y=2x2的顶点坐标是 ，对称轴是 ，在

6、侧，y随着x的增大而增大；在 侧，y随着x的增大而减小，当x= 时，函数y的值最小，最小值是 ，抛物线y=2x2在x轴的 方(除顶点外).,(2)抛物线 在x轴的 方(除顶点外)，在对称轴的左侧，y随着x的 ；在对称轴的右侧，y随着x的 ，当x=0时，函数y的值最大，最大值是 ，当x 0时，y0.,（0，0）,y轴,对称轴的右,对称轴的左,0,0,上,下,增大而增大,增大而减小,0,你能用配方的方法把y=3x2-6x+5变形成y=3(x-1)2+2的形式吗?,二次函数y=3x2-6x+5的图象是什么形状?它与我们已经作过的二次函数的图象有什么关系?,在同一坐标系中作出二次函数y=3x2和y=3

7、(x-1)2的图象,由于y=3x2-6x+5=3(x-1)2+2，因此我们先作二次函数y=3(x-1)2的图象,二次函数y=3x6x+5的图象与性质,比较函数 与 的图象,(2)在同一坐标系中作出二次函数y=3x2和y=3(x-1)2的图象,完成下表，并比较3x2和3(x-1)2的值，它们之间有什么关系?,二次函数y=3(x1)2的图象与性质,(3)函数y=3(x-1)2的图象与y=3x2的图象有什么关系?它是轴对称图形吗?它的对称轴和顶点坐标分别是什么?,(4)x取哪些值时，函数y=3(x-1)2的值随x值的增大而增大?x取哪些值时，函数y=3(x-1)2的值随x的增大而减少？,(5)在上面

8、的坐标系中作出二次函数y=3(x+1)2的图象.它与二次函数y=3x2和y=3(x-1)2的图象有什么关系？它是轴对称图形吗?它的对称轴和顶点坐标分别是什么?,(6) x取哪些值时，函数y=3(x+1)2的值随x值的增大而增大?x取哪些值时，函数y=3(x+1)2的值随x的增大而减少？,在同一坐标系中作出二次函数y=3x2，y=3(x-1)2和y=3(x+1)2的图象,完成下表，并比较3x2，3(x-1)2和3(x+1)2的值，它们之间有什么关系?,.顶点坐标与对称轴,.位置与开口方向,.增减性与最值,抛物线,顶点坐标,对称轴,位置,开口方向,增减性,最值,y=a(x-h)2 (a0),y=a

9、(x-h)2 (a0),（h，0）,（h，0）,直线x=h,直线x=h,在x轴的上方(除顶点外),在x轴的下方( 除顶点外),向上,向下,当x=h时，最小值为0.,当x=h时，最大值为0.,在对称轴的左侧，y随着x的增大而减小. 在对称轴的右侧，y随着x的增大而增大.,在对称轴的左侧，y随着x的增大而增大. 在对称轴的右侧，y随着x的增大而减小.,根据图形填表：,二次函数y=a(x-h)2 (a0)的图象与性质,在同一坐标系中作出函数y=3x，y=3(x-1)2和y=3(x-1)2+2的图象.,完成下表，并比较3x2，3(x-1)2和3(x-1)2+2值，它们之间有何关系?,二次函数y=a(x

10、-h)2+k(a0) 的图象与性质,x=1,二次函数y=3(x-1)2-2的图象与抛物线y=3x2和y=3(x-1)2有何关系?它的开口方向、对称轴和顶点坐标分别是什么?,x=1,一般地，由y=ax (a0)的图象便可得到二次函数y=a(x-h)+k的图象:y=a(x-h)+k(a0) 的图象可以看成y=ax的图象先沿x轴整体左(右)平移|h|个单位(当h0时，向右平移；当h0时向上平移；当k0时，向下平移)得到的.因此，二次函数y=a(x-h)+k的图象是一条抛物线，它的开口方向、对称轴和顶点坐标与a，h，k的值有关.,二次函数y=a(x-h)+k与y=ax (a0)的关系,.顶点坐标与对称

11、轴,.位置与开口方向,.增减性与最值,抛物线,顶点坐标,对称轴,位置,开口方向,增减性,最值,y=a(x-h)2+k(a0),y=a(x-h)2+k(a0),（-h，k）,（-h，k）,直线x=h,直线x=h,由h和k的符号确定,由h和k的符号确定,向上,向下,当x=h时，最小值为k.,当x=h时，最大值为k.,在对称轴的左侧，y随着x的增大而减小. 在对称轴的右侧，y随着x的增大而增大.,在对称轴的左侧，y随着x的增大而增大. 在对称轴的右侧，y随着x的增大而减小.,根据图形填表：,二次函数y=a(x+h)2+k (a0)的图象和性质,例3.指出下列函数图象的开口方向对称轴和顶点坐标:,例4

12、.(1)二次函数y=-3(x-2)2+4的图象与二次函数y=-3x2的图象有什么关系? (2)对于二次函数y=3(x+1)2，当x取哪些值时，y的值随x值的增大而增大?当x取哪些值时，y的值随x值的增大而减小?二次函数y=3(x+1)2+4呢?,经典例题,我们知道，作出二次函数y=3x2的图象，通过平移抛物线y=3x2可以得到二次函数y=3x2-6x+5的图象.,那是怎样的平移呢？,y=3x2-6x+5,y=3(x-1)2+2,只要将表达式右边进行配方就可以知道了。,配方后的表达式通常称为配方式或顶点式.,二次函数y=ax+bx+c (a0),函数y=ax+bx+c (a0)的顶点式,这个结果

13、通常称为求顶点坐标公式.,顶点坐标公式:,因此，二次函数y=ax+bx+c的图象是一条抛物线.,.顶点坐标与对称轴,.位置与开口方向,.增减性与最值,抛物线,顶点坐标,对称轴,位置,开口方向,增减性,最值,y=ax2+bx+c(a0),y=ax2+bx+c(a0),由a，b和c的符号确定,向上,向下,根据图形填表：,二次函数y=ax2+bx+c(a0)的图象和性质,在对称轴的左侧，y随着x的增大而减小. 在对称轴的右侧，y随着x的增大而增大.,在对称轴的左侧，y随着x的增大而增大. 在对称轴的右侧，y随着x的增大而减小.,由a，b和c的符号确定,例5. 确定下列二次函数图象的对称轴和顶点坐标,

14、并画出函数图像：,经典例题,例5. 画出下列二次函数图像，并确定函数图象的对称轴和顶点坐标：,联赛真题,1.相同点: (1)形状相同(图像都是抛物线，开口方向相同). (2)都是轴对称图形. (3)都有最(大或小)值.(4)a0时， 开口向上，在对称轴左侧，y都随x的增大而减小，在对称轴右侧，y都随x的增大而增大. a0时，开口向下，在对称轴左侧，y都随x的增大而增大，在对称轴右侧，y都随x的增大而减小 .,2.不同点: 只是位置不同(1)顶点不同:分别是(-h，k)和(0，0). (2)对称轴不同:分别是直线x=-h和y轴. (2)最值不同:分别是k和0.3.联系: y=a(x-h)+k(a

15、0) 的图象可以看成y=ax的图象先沿x轴整体左(右)平移|h|个单位(当h0时，向右平移；当h0时向上平移；当k0时，向下平移)得到的.,二次函数y=a(x-h)+k与y=ax的关系,回味无穷,2.不同点: (1)位置不同(2)顶点不同:分别是 和(0，0). (3)对称轴不同:分别是 和y轴. (4)最值不同:分别是 和0.3.联系: y=a(x-h)+k(a0) 的图象可以看成y=ax的图象先沿x轴整体左(右)平移| |个单位，再沿对称轴整体上(下)平移| |个单位 (当 0时向上平移；当 0时，向下平移)得到的.,二次函数y=ax2+bx+c(a0)与y=ax的关系,1.相同点: (1)形状相同(图像都是抛物线，开口方向相同). (2)都是轴对称图形. (3)都有最(大或小)值.(4)a0时， 开口向上，在对称轴左侧，y都随x的增大而减小，在对称轴右侧，y都随x的增大而增大. a0时，开口向下，在对称轴左侧，y都随x的增大而增大，在对称轴右侧，y都随x的增大而减小 .,课后作业,五中三模九年级下册P3035的基础闯关、三年模拟、五年中考为必做，其它选做；做完自己批改订正.预习完北师大九下第二章 二次函数的3 确定二次函数的表达式.,