有限元 2 弹性力学平面问题(2.4矩形单元 2.5六节点三角形单元)ppt课件.ppt

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1、P-1/44,第2章 弹性力学平面问题有限单元法,2.1 三角形单元 2.2 三角形单元中几个问题的讨论 2.3 平面问题有限元程序设计 2.4 矩形单元 2.5 六结点三角形单元2.6 四结点四边形单元 2.7 八结点曲线四边形等参元2.8 几个问题的补充,P-2/44,2.4 矩形单元,三角形单元是常应变常应力单元，其精度受到一定的限制。采用更高阶次位移模式的矩形单元，可以更好地反映弹性体中的位移状态和应力状态。但是它对于几何形状复杂的模型难于采用，因此我们经常把它和三角形单元组合起来使用，互补不足。,P-3/44,图示深梁，设划分成具有八个矩形单元的网格，从中取出一典形单元e，单元有个结

2、点(i,j,m,p)。,P-4/44,一、局部坐标,设单元的边界平行于结构整体坐标x, y，边长分别为2a, 2b， 结点编号从左下角开始逆时钟编成1，2, 3, 4。单元局部坐标的原点取在单元的形心(x0, y0)上，并采用无因次坐标,。,轴分别平行于x, y轴，,P-5/44,局部坐标,与结构坐标x, y的关系是:,单元规一化四个节点坐标,(2-4-1),P-6/44,二、结点位移列阵和结点力列阵,每个结点2个位移分量，共个位移分量，设结点位移和结点力列阵分别为：,P-7/44,三、单元位移函数和形函数,单元共有个位移分量，将结点位移分量全部作为已知边界条件，则位移函数可取为：,或,位移函

3、数是单值连续的。在平行于x轴的直线上，位移分量是x的线性函数；在平行于y轴的直线上，它是y的线性函数，故2-4-4称为坐标x, y的双线性函数。 将各结点坐标代入位移模式,位移协调性,P-9/44,解方程组便可求得待定常数。将这些参数代回式（2-4-4），经整理得：,同理：,P-10/44,以矩阵形式表示：,（246）,形函数矩阵N中的元素：,有什么特征？,P-11/44,如果引进参数: 0=i, 0=i(i=1, 2, 3, 4), (i, i)是矩形单元4个结点的局部坐标。结点i(i, i)的坐标值分别是 (-1,-1), (1,-1),(1,1), (-1,-1)。代入上式，则可将上式简

4、记成：,或,P-12/44,矩形单元的形函数，具有与三角形单元类似的特点，即：在结点上的形函数值：,在单元形心上,P-13/44,四、几何矩阵B，应力矩阵S,在三角形单元中，我们已经推知： 应变： 应力：矩形单元自然具有相同关系，只是B， S的内容有所区别。仿照三角形单元：,P-14/44,式中:,P-15/44,单元应力矩阵：式中：,P-16/44,五、单元刚度矩阵,将上述公式代入单刚的一般表达式,对于矩形单元,计算可得按结点分块后的矩阵为:,P-17/44,子矩阵为:,P-18/44,第2章 弹性力学平面问题有限单元法,2.1 三角形单元 2.2 三角形单元中几个问题的讨论 2.3 平面问

5、题有限元程序设计 2.4 矩形单元 2.5 六结点三角形单元2.6 四结点四边形单元 2.7 八结点曲线四边形等参元2.8 几个问题的补充,P-19/44,2.5 六结点三角形单元,P-20/44,一、面积坐标,1面积坐标的定义 在第2节中，我们讨论过三角形单元形函数的几何意义，如果从三角形单元e内任意点p向三个顶点i,j,m 引连线，使其分割成三个小三角形便可得到这些小三角形面积与形函数的关系。,P-21/44,反过来说，只要给定了三角形面积 Ai , Aj , Am，p点即可确定。因为 Ai, Aj ,Am 中只有两个是独立的(AiAjAm=A)，这与P点坐标(x, y)对应。因此，我们可

6、以用三角形面积来定义三角形内的任意一点P的位置，并称它为面积坐标。P点的面积坐标定义为以下三个面积比:,P-22/44,由此定义,必有：Li +Lj +Lm =1。由于面积坐标Li , Lj , Lm 只限于用来确定三角形单元上(内)点的位置（只有当L(i,j,m)1才有定义）,并且只是在单元分析中使用，所以L(i,j,m)属于局部坐标。 直角坐标与坐标原点、平移转动等有关，可因人而异，故称它为人为坐标，而面积坐标具有不变性，故称其为自然坐标。）,P-23/44,2面积坐标Li和整体坐标x,y之间的关系,或,写成矩阵形式为,P-24/44,比较得知，三角形常应变单元的形函数Ni , Nj ,

7、Nm 分别等于三角形面积坐标Li , Lj , Lm，即,将上式与三角形常应变单元形函数进行比较,因此在三角形的三个顶点上亦具有与形函数相同的结点坐标:,P-25/44,三角形内部点和边界点上的面积坐标值可以用右图中的一些等值线表示（面积坐标的等值线）。从图中可看出：在平行于jm边的任何一条直线上各点都具有相同的Li 值(可从几何作图上看出)其值等于该直线到对应jm边界的距离与结点i到jm边界距离的比值。其它亦然。,三角形重心的面积坐标？,P-26/44,面积坐标等值线,P-27/44,3面积坐标与直角坐标的关系 将式(2-5-1)写成矩阵形式得到用x、y表示的面积坐标:其反变换式为:,P-2

8、8/44,数学意义:三角形ijm内某点的坐标(x,y),可以用三角形顶点(3个结点)的坐标(xi , yi ), (xj , yj ), (xm , ym )进行函数插值而获得，其插值多项式是三角形的面积坐标Li , Lj , Lm， 也就是三角形的形函数Ni , Nj , Nm 。,P-29/44,等参单元,这种坐标（x, y）表达式的插值函数和位移场（u, v）表达式的插值函数采用同一函数的单元称为等参单元(简称等参元)。（又称：坐标变换函数和位移插值函数中的形函数相同）。,直角坐标与面积坐标的变换关系：,三角形常应变单元的位移插值函数：,P-30/44,“等参元”的另一种定义是：（参考书

9、：湖南科技社有限元法概论 ）设位移变量u的近似式:,u是用s-1次插值函数近似表示的。 坐标变换式：,通常，坐标变换式的次数与u 近似式的次数并不相等，由此可将单元分成三类。、次参元 rs (Super-parametric element),P-31/44,亚参元概念：有时为了减少结点坐标数据的输入量，用于位移描述的结点数和用于坐标变换的结点数可以不一样。如图示四边形单元，可将位移取为8个结点,即位移函数为：而坐标变换式则取为: 我们称这种坐标结点少，而位移结点多的单元为亚参元。,P-32/44,二、六结点三角形单元,在三角形单元三条边界的中点上各增设一个结点，使三角形单元共有12个位移自由

10、度。、结点位移和节点力列阵：,P-33/44,、单元位移函数和形函数设为次多项式：为了计算简单，采用面积坐标Li, Lj ,Lm (Li=1/2A(ai+bix+ciy) (i,j,m) ，单元上六个结点的面积坐标计算如图示。,P-34/44,将六个结点的12个位移分量代入，并采用面积坐标，按前面类似的推导过程，便可得到用形函数表达的单元位移函数：,写成矩阵形式:,式中形函数:,P-35/44,、几何矩阵B, 应力矩阵S 应变=Bde面积坐标函数的运算: 设函数 Z= f(Li, Lj, Lm )，由于面积坐标Li, Lj, Lm 都是x,y的函数。 因此将面积坐标对直角坐标求导时，应按复合函

11、数求导法则：,P-36/44,同理:,由(2-5-1) (Li=1/2A(ai+bix+ciy) (i, j, m)得：,所以，面积坐标函数对直角坐标的偏导数为:,P-37/44,同理:,由此得：,P-38/44,同理可得y和xy 的类似表达式，于是得到六结点三角形单元的几何方程:,式中：,P-39/44,单元应力方程:,应力矩阵:,式中:,P-40/44,从（2-5-8、9）两式可见，六结点三角形单元的应力和应变分量均为整体坐标 x,y或面积坐标L的一次函数，因此它比常应变单元精度好。而且，它们沿任何方向又都是线性变化的，能满足边界的变形协调条件，即单元的两条收敛准则，完备性和协调性都能得到

12、满足。,P-41/44,、单元刚度矩阵 单刚为1212阶，由一般公式可推导出单刚的显式为: 式中:,P-42/44,P-43/44,在上述公式推导中，还需用到如下积分公式：(面积坐标幂函数在三角形上的面积分,参考：有限元法基础蒋友谅，国防社80版）式中a, b, c为任意正整数。 推导可见上述参考书，提示：因Li,j,m 三个中只有两个为独立，故可Lm=1-Li-Lj用代入。 如，在某一边界上的线积分：,P-44/44,把上面这些六结点三角形单元刚度矩阵的子矩阵与三结点三角形单元刚度矩阵的子矩阵比较，可以发现二者之间有一定的关系，即可以用三结点时的子矩阵来构成六结点单刚：,式中: Kii =Kii +Kjj +Kmm 。各子块均为三结点时三角形单元的子块Krs,P-45/44,5. 六结点三角形单元的荷载等效变换因为六结点三角形元的位移函数已不再是线性函数，故不能象前面一样按刚体力学进行等代，而须用一般公式,例如:重力荷载，单位面积上的重力分量：,由此得等效列阵,由此可知,重力平均作用在边界上的三个中点上,即R1y =R2y =R3y =-Atw/3,P-46/44,例题: 求图示单元等效荷载,解: ij边界上分布力的变化规律均与面积坐标Li相同(Li (xi yi)=1, Li (xj yj )=0 ),故,