转子动平衡教程ppt课件.ppt

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1、2022/11/21,1,第三章 转子动平衡,低速动平衡（刚性转子动平衡）工艺平衡 装配平衡一步平衡 多步平衡本机平衡 整机（台架）平衡国际标准ISO1940高速动平衡（柔性转子动平衡）模态平衡法 影响系数法 混合法参考标准：DIS5406柔性转子动平衡标准草案 DIS5343评价柔性转子平衡的准则 （参考）,2022/11/21,2,第一节 概 述,一、刚性转子动平衡1、静平衡 目标：平衡静力 方法：随遇平衡法2、动平衡 目标：平衡力与力矩 方法：动平衡机、低速平衡 工艺平衡 装配平衡 一步平衡 多步平衡 本机平衡 整机平衡 国际标准ISO19403、动平衡基本要求1）至少两个平衡面，平衡面

2、距离要远，并尽能靠近支点；平衡配重半径位置要尽可能大，以便达到最大效果。,2022/11/21,3,2）一步平衡，多为短寿命军用发动机采用3）多步平衡，多为长寿命民用发动机采用4）平衡方法：寻找重点 寻找轻点（频闪法） 影响系数法 极坐标矢量图法 三元平衡法5）原理：不平衡力Pj产生支反力FP1与FP2 不平衡力矩RL产生支反力FR1与FR2则在支点有合力动平衡：动平衡精度1）meG0 (g.cm) 工程实际应用2）eG0 (mm/s) 国际标准ISO1940将平衡品质分为11个等级，按比值为2.5的等比级数递增排列 。,2022/11/21,4,第二节 柔性转子动平衡,一、柔性转子平衡特点1

3、.柔性转子：nncr1，转轴产生弯曲变形2.高速动平衡：多平面、多转速平衡过程 目的：1）将不平衡力与不平衡力偶降到许可范围 2）将n阶固有振型不平衡量降到许可范围3.标准：1）国际标准草案DIS5406柔性转子 动平衡 2）参考标准5343柔性转子动平衡4.方法：1）振型(模态)平衡法 2）影响系数法 3）混合法等,2022/11/21,5,5. 平衡特点1)刚性转子，低速平衡后，在工作转速以下运行平稳；2)柔性转子，低速平衡后，仅平衡了低速下支承动反力，高速下轴产生弯曲变形，弯矩将随转速发生变化，支承动反力也将发生变化；3)柔性转子动平衡目的：在工作转速下，尽可能消除支承动反力，并使转子沿

4、轴长的弯矩最小如图3-1所示，刚性转子有对柔性转子有,2022/11/21,6,F为转子变形产生的离心力。4）影响因素多：a)不同转速下挠度影响 b)各阶振型对平衡的影响5）实际发动机只有少数几个平面可用于平衡；只能在有限个转速上得到平衡。6）问题：如何利用少数几个平面来获得一定转速范围内转子的良好平衡。7）假设条件：a)在一定平衡条件下，轴承振幅与转子不平衡量成正比。b)轴承振幅与不平衡力之间的相位不变。c)转子中非线性因素(如油膜)等影响，不影响上述假设条件,2022/11/21,7,二、转子在不平衡力作用下的运动方程设一转子为等截面轴，简支在各向同性的支承上轴的面积为A，单位长度质量为A

5、，截面质心为G(z)，截面偏心距为(z)，质心连线为一空间曲线。如图所示。根据牛顿运动定律，得到yoz平面内的运动方程：其中 则有由材料力学可知代入运动方程得到,2022/11/21,8,同理可得到xoz平面内的运动方程为引入复数表达式，令则有式中： 为质心空间曲线1.设(z)=0,即无质量偏心的情况，运动方程为设解为代入运动方程中,2022/11/21,9,并令 得到特征方程为 则所以代入边界条件：z=0， s(0)=0， z=l， s(l)=0，解得： c2=c3=c4=0， c1sin(kl)=0要求非零解，则 c10， 所以 sin(kl)=0因此有： kl=n得到固有频率为,2022

6、/11/21,10,各阶主振型为：前三阶振型为2. 设(z)0,即有质量偏心的情况，且质心按第n阶主振型函数(平面)分布，运动方程为设解为代入运动方程得根据假设，(z)=常数，则有,2022/11/21,11,式中：An为系数，sn(z)为第n阶主振型由运动微分方程，得到设特解为 Dn为待定系数代入运动方程得方程的齐次通解为sn(z)，且有故有特解方程为得到系数故转轴的振型为由此得到如下结论：,2022/11/21,12,1)若质心按第n阶振型分布，只激起第n阶主振动2)转轴振型为一平面曲线，振幅为 倍3)当n时，振幅，产生第n阶主振型共振3.(z)0,且质心为任意空间分布曲线，设为按主振型分

7、解得即有质心分布示意图见图3-4所示,2022/11/21,13,式中代入运动方程有设转轴振型为代入运动方程得式中Sn(z)为第n阶振型函数，也是对应齐次方程解所以有特解为,2022/11/21,14,利用固有振型的正交性，得解得系数转子振动为或,2022/11/21,15,三、柔性转子运动特点1.柔度曲线s(z)随转速而变变化1)0.6c1，系数将增大，转子振型s(z)是各阶主振型合成的空间曲线；3)cn时，第n阶主振型幅值系数明显增大，其它各阶则小很多；若c1，此时振型近似有4)随着转速增加，各阶主振型依次突现出来，一般转子，主要是前三阶主振型的影响。比较挠度曲线与不平衡量的关系，它们展开

8、项相同，幅值相差一个倍率 ，考虑阻尼有,2022/11/21,16,式中cr为无阻尼时系统的固有频率。r为挠度曲线各阶分量与该阶不平衡分量的相位差。由于阻尼影响，即使在临界转速下，转子振型也不是一根平面曲线，但实际进行动平衡时，仍以无阻尼的主振型平面加以考虑。3.转子主振型的正交性不平衡分布力在x、y方向的分量为,2022/11/21,17,转子挠曲线在x、y轴上的投影为各阶不平衡力在yoz平面和xoz平面上对k阶振型做功之和为由主振型正交性,2022/11/21,18,可知：1）各阶主振动之间不发生能量传递；2）n阶不平衡分量只能激起n阶主振型，不会激起其它各阶振型；3）利用主振型的正交性，

9、可对转子进行逐阶平衡，完成柔性转子动平衡。,2022/11/21,19,第三节 模态平衡法（振型平衡法）,一、模态平衡法及平衡条件根据主振型的正交性，可采用逐阶平衡的办法进行柔性转子动平衡。对于一般转子，主要是前三阶振型。以等截面轴为例进行分析，见图3-5设距起始端z1处有一集中重量w1位于半径R1上，集中重量均匀分布在2b的范围内，以U(z)表示其分布。则式中：,2022/11/21,20,取单位长度质量为m(=A)，则有上式代表集中重量矩折合成单位长轴段质心偏移，按各阶主振型展开成式中：Cn1n阶主振型系数，第二个下标表示所加平衡 重量编号； sn(z)各阶主振型函数，假设为已知。利用正交

10、性，对折合轴段质心偏移展开式两边乘以sn(z)，并沿轴长积分，等式左边为：等式左边为：由此可得：,2022/11/21,21,若在不同位置z1、z2、zk截面上，分别在半径R1、R2、Rk处加平衡配重W1、W2、Wk，k个平衡重量引起转子质心的偏移为式中：为了平衡转子第n阶主振型分量，要求平衡重量形成的第n阶振型质心偏移和转子自身第n阶主振型质心偏移在同一平面上，大小相等，方向相反，即满足即若有一组k个最小的不平衡重量Uj，与n阶不平衡量相当, 即,2022/11/21,22,式中：U(z)转子不平衡量分布函数。其中： 值应为最小。称这组量Uj(j=1k)为第n阶振型不平衡当量Une，即柔性转

11、子的平衡不考虑阻尼情况下应满足下列三个力学平衡方程：,2022/11/21,23,方程组中，第一、第二两式为刚性平衡条件；第三式为柔性平衡条件。二、配重面的选择及矢量平衡原理1）柔性转子平衡为多平面多转速平衡；2）平衡面选取：有N平面及N+2平面法两种； N平面法：平衡N阶振型，选用N个平衡面； N+2平面法：平衡N阶振型，选用N+2个平衡面。一般N平面法不能完全平衡支承动反力。但两种方法都有使用。平衡面选择很重要，选择不当将使平衡配重增大。原因：平衡面选择主要依据转子振型，实际发动机平衡面选择受到限制。图3-6为N+2平面法的平衡面选取。I、II平衡面消除III、IV、V平衡面对低速动平衡的

12、影响。,2022/11/21,24,通常选择在紧靠支承的位置，以免影响高速时III、IV、V三个平面对振型不平衡量的校正。但由于在临界转速时，支承位移较大，I、II平面的校正量对III、IV、V平面仍有一定干扰。图3-6(a)为平衡一阶振型时的三个平面的校正量，平面III的校正量对二阶振型不起作用。图3-6(b)、(c)为平衡二阶及三阶振型的校正量组。测量柔性转子振型比较困难，可以轴承处的振动代替测量转子挠度。即矢量平衡法。图3-7为矢量平衡三角形：矢量 为转子测点相对某一角向参考坐标测得的振动，矢量 为转子上某点加试配重后同转速下测点与参考坐标下测得的振动，则矢量 = 为试重P的响应。为消除

13、原始振动，加试配重平面上所需校正量为：,2022/11/21,25,式中： 称为影响系数矢量(用于影响系数法) 称为反应系数矢量(用于模态平衡法)试重 在原方位反时针旋转角，其重量按OM对MN之比放大，即为校正量。平衡步骤：1)在第一阶临界转速附近测得两轴承处振动矢量 、 ，分解为对称矢量 ，该分量由一阶振型分量引起。2）加试配重 后，在同一转速下测得振动 、 ，则矢量 为试重 引起的对称振动矢量。,2022/11/21,26,3）平衡一阶振型分量的校正重量为：4）平衡二阶振型分量时，在二阶临界转速nc2附近测得两轴承振动 及 ，其反对称分量为 ，它由二阶不平衡量引起，加反对称试重 后，测得两

14、轴承处的振动矢量为 及 ，则矢量 即为引起的反对称振动分量，故应加校正量为：,2022/11/21,27,三、柔性转子平衡时的支承动反力柔性转子动平衡目的：1）消除支承动反力；2）消除转子挠度与弯矩。难于同时满足，则以最少的配重使转子在轴向、水平及垂直三方向振动在整个转速范围内最小。柔性转子挠曲振型为：设各阶振型函数为（简支梁情况）：则转子振型为转子原始不平衡n阶分量可写成 ，则转子变形为,2022/11/21,28,支承动反力刚性部分由力矩平衡关系得设m(z)=m(常数等截面轴)，上式积分整理得柔性部分支承动反力为积分整理得因此，一个轴承上所受到的总动反力为,2022/11/21,29,将

15、代入得或由材料力学，通过振型函数求导得1.平衡一阶振型分量后的支承动反力设（简支梁）一阶振型分量为C1sin(n/l)，其中则一阶挠曲振型为,2022/11/21,30,设采用位于中部的一个集中质量校正，即z1=l/2，校正量为W1R1，由（3-31）式得由于n=1，z=l/2，故有若所选校正量满足C1=C11，即或此时，转子中部的一个校正量W1R1可以使一阶不平衡分量获得平衡，消除了柔性部分的动反力。转子一阶振型不平衡分量引起刚性部分的动反力为校正量W1R1加在中部后，一个支承上的动反力为,2022/11/21,31,比较(3-47)和(3-48)，得可见：1）转子中部的一个集中平衡配重可使

16、转子挠曲得以平衡，但不能全部消除转子的动力。2）支承处刚性部分动反力只能平衡掉78.5%。3）为消除支承处一阶振型全部动反力，应在支承处同侧平面上加平衡配重W2及W3，若加重半径相同，则配重之比为：此时配重可消除转子一阶不平衡分量引起的转子挠曲、弯矩及支承动反力，但不能消除高阶振型分量影响。若工作转速远离高阶工作转速，则影响不大。若在转子两侧加校正量W1R1=W2R2，见图3-9，则有,2022/11/21,32,式中：(z)=1，当z1-bzz1+b及l-z1-bzl-z1+b (z)=1，z在其余各处。由(3-30)得由(3-31)得即设z1=l/4，取n=1得：为使两校正量能平衡一阶振型

17、不平衡分量，应使C11=C1，即,2022/11/21,33,或两个校正量引起的支承处动反力为：由(3-47)可得同样为完全平衡刚性部分动反力，应在支承处两平面上相反方向再加两个校正重量W3及W4，若加重半径相同，则比值为：可见：平衡一阶振型不平衡量，转子中部加配重所需重量最少；平衡面越靠近两支承，需加配重越大。2.平衡二阶振型时的支承动反力设二阶不平衡分量为C2sin(2z/l)，其中 ，由此引起转子二阶挠曲振型为：,2022/11/21,34,引起两支承处的动反力大小相等、方向相反。为平衡二阶不平衡量应在两侧加反对称校正量W1R1=-W2R2，如图3-10所示，则有式中：同理：利用正交性可

18、得即,2022/11/21,35,取z1=l/4，n=2，则为平衡二阶振型，应使C22=C2，此时有校正量W2R2引起的刚性部分动反力为：由(3-42)得两者之比为：表明：加反对称校正量只能平衡支承动反力的78.5%。为平衡全部刚性部分动反力，有力矩平衡方程得为平衡二阶振型分量，应使,2022/11/21,36,有以上两式解得：四、模态平衡的N平面法与N+2平面法1）转子偏心沿轴向及周向分布是随机的；2）1957年克劳尔.菲特恩(Klaus Federn 德)提出N+2平面法 W.凯琳贝尔格(Kellenberge 瑞士)加以充实。3）1959年R.E.D皮肖帕(Bishop)提出N平面法4）

19、1970年皮肖帕和凯琳贝尔格对N平面法和N+2平面法进行了评论，基本获得共识。1.基本原理等截面运动方程为式中：运动方程也可用矢量形式表示为,2022/11/21,37,式中：m(z)单位轴段长质量； 作用在转子上不平衡力及校正力之和。设： =0，可得齐次微分方程的通解，即特征值与特征向量，由主振型正交条件得将 按sn(z)展开后求运动微分方程的特解。 由两部分组成：一是分布的不平衡力 ，另一部分是集中作用的不平衡力及校正力 ，其中 为集中不平衡量及校正量（如图3-11）。将 按主振型展开,2022/11/21,38,且利用正交特性，可求得运动方程特解为式中第一项为式(3-22)，第二项为集中

20、不平衡量Uk引起。由此可知：当接近某cn时，转子的变形将是该阶主振型，其它各阶可不考虑。分析支承处动反力：由力矩平衡可得,2022/11/21,39,将特解代入得当c1，或 0，上式与刚性转子相应式子完全相同。表明柔性转子在低速时，其特性与一般刚性转子相同。根据动平衡要求，应使支承动反力为零。,2022/11/21,40,即由(3-62)得将上式矢量在y-z及y-x平面分解，仅讨论其中一个分量。,2022/11/21,41,此时，矢量便成为标量。若保留高阶影响，仅消除前N阶振型，则有：可以得到满足上述条件的N个有限方程：,2022/11/21,42,式中的集中质量分为两部分：M个原始存在的不平

21、衡量，K个待确定的校正量。等式右边第一项是集中的不平衡量，第二项是转子连续分布的相应阶不平衡量。由于平衡面是有限的N个，满足式(3-66)，式(3-64)就不能得到满足，即支承动反力不为零。因此，N平面法能减少转子变形，但不能平衡支承的动反力，影响了转子刚性平衡。因此，应补充式(3-64)，可写为：因此，为了将式(3-66)与(3-67)一起求解，必需要有N+2个方程，即N+2平面法。,2022/11/21,43,因此，N+2平面法由更高平衡精度。一般认为：N3时，可采用N平面法；N3时，宜采用N+2平面法。2.应用举例模型见图3-12首先在低于第一阶临界转速nc130%范围内进行刚性转子平衡

22、。然后升速进行柔性转子平衡，取N=3。(1)N平面法平衡面：I、III、V式(3-66)右端以1、2、3表示，为未知数。由计算或测量得前三阶主振型,2022/11/21,44,s1(zk)、s2(zk)、s3(zk)，zk为三个加重面轴向位置(k=1、2、3)设振型已规格化，式(3-66)可写成将转速升到nc1附近，近似由2=3=0,可得一阶振型平衡量组式中：A1、A2、A3求解上述方程组的具体数值。相对值为平衡重量大小可用前述试加重量法求得。重量组配置见图3-13(a)平衡一阶振型后，然后升速至nc2附近，此时，同样近似有1=3=0,同样可得第二组平衡量组,2022/11/21,45,二阶振

23、型平衡量组相对值为若|U23|U21|，则取|U23|为分母，平衡重量配置见图3-13(b)同理，升速至第三阶临界转速nc3附近，有1=2=0,可得三阶振型平衡量组由此，可求得平衡量组相对值以上各平衡量组位于不同轴向平面上，须按矢量运算进行叠加。显然，所加的一组不平衡量并不满足：因此，N平面法部分地破坏了刚性转子平衡。（2）N+2平面法,2022/11/21,46,平衡面数为N+2=5个，即图3-13中的I、II、III、IV、V共五个平面，其余步骤类似N平面法。联合式(3-66)及(3-67)得求解上述方程组可得U1、U2、U3、U4、U5。可分别令：2=3=0, 1=3=0, 1=2=0解

24、上述方程组得三组U1、U2、U3、U4、U5。平衡量组配置见图3-13。显然，这是满足：因此，不破坏原先完成的“刚性转子”平衡。注意点：,2022/11/21,47,1）加重面数不少于要平衡的主振型阶数；2）加重数值分配比例应满足正交条件，不产生附加的不平衡分量，即要求计算或测量得到准确的振型曲线，否则就不满足正交条件。,2022/11/21,48,第四节 影响系数法,对于线性系统，在一定转速下，不平衡与响应存在关系：式中： i处响应 j处不平衡量 影响系数，j点处不平衡量与i点处振动响应 关系，为一矢量，且影响系数是转速的函数，与转速有关。测取影响函数，应使转速稳定。影响系数确定：首先在一定

25、转速下，测取i点原始不平衡处响应 (振幅及相位)，然后，在j平面上加一已知不平衡量 ，再测取i点处的振动 ，由 引起的振动 为 ， 即,2022/11/21,49,故影响系数为：上式按复数运算。设转子有M个平衡面，共有N个测点，则有式中： 为转子原有的相当于再平衡面1,2,M上的不平衡量，测试转速为1。再平面1上加不平衡量 后，将转子启动，仍在1下测取各点响应，记为,2022/11/21,50,两式相减得由此可得同理，在2平面上加试重 可以求得 ，加M次试重，可求得所有MN个(幅值与相位)影响系数。改变转速为2，重新测试，可得MN个影响系数。,2022/11/21,51,二、动平衡方程组矢量联

26、立方程组,1.刚性转子支承在两支点的刚性转子，只需两个平衡面，分别在其上加试重可得到两支承(平衡面)处的影响系数若在一、二两个平衡面上应加校正量为 ，使得两支承处的振动为零，即满足方程式中： 为第一、第二测点的原始振动值。由克莱姆法则，可得,2022/11/21,52,2.柔性转子设加重面为j=1,2,3,M，选定测点(包含所有转速下的测点)为i=1,2,3,N，通过加试重可得个测点影响系数 。设各测点原始振动为 (i=1,2,N)，则应在平衡面加校正量 后，各测点振动为零。由此得矢量联立方程组：用矩阵形式表示为：简写为,2022/11/21,53,柔性平衡转速通常不止一个，为使方程有精确解，

27、必需使M=N，而N=H.n，其中n为一个转速下的测点数，H为平衡转速数。通常平衡转速应包含临近临界转速及工作转速。由于加重面数M受到限制，一般NM，即方程数多于未知数，称为矛盾方程组，故不存在精确解，只能得到近似解。若NM，则为不定方程，无唯一解。平衡面选择：1）影响系数大，灵敏度高； 2）测试精度高，重复性好； 3）排除相关平衡面； 4）关键测量的影响系数必需准确。三、解复数矛盾方程组的最小二乘法1）在N个测量方程中，减去N-M个方程，使得方程组成为正规方程组求解。缺点：难于满足大量舍去其它测点结果要求，甚至导致平衡状态恶化。,2022/11/21,54,2）六十年代，P.T.Goodman

28、提出“计算平衡校正量的最小二乘法”。设想是将个测点剩余(残余)振动普遍下降，即加上一组平衡配重后，各测点振动平方和最小。特点：测点数不受限制，满足了柔性转子多平衡面多转速下进行平衡的要求。设原始振动为： ，各平衡转速下的影响系数为 (j=1,2,M，为平衡面编号；i=1,2,N，为测点编号),待求校正量为 ，令 (i=1,2,N)为各测点剩余振动，在线性条件下，满足方程组：,2022/11/21,55,简写为：令s为剩余振动的平方和，则式中： 为 的共轭复数。若一组校正量满足上式，则为最有近似解。由上式可知，s是自变量 (j=1,2,M)的二次函数，因此，上式为求解二次函数s的极值问题。由于s

29、是 的连续函数，且故必存在一组 ，或 使得s值为最小。即满足,2022/11/21,56,由于：则有将实部与虚部展开得代入极值条件中可得,2022/11/21,57,由上两式得将式(3-82)代入，并整理得此即为由最小二乘法导出的对应于矢量矛盾方程组的复数正规方程组，写成矩阵形式为：由此可知：将复数矩阵 的共轭转置矩阵 左乘原矛盾方程组，可直接求得对应复数正规方程组，即,2022/11/21,58,设 为矛盾方程组近似最优解，可用矩阵表示为：最后，用所求结果 代入(3-78)式，校验剩余振动值 是否在允许范围内。四、加权迭代在选定配重方案 下总的剩余振动为若存在剩余振动偏大，即|maxR，可进

30、行加权迭代，使得最大剩余振动下降，但其它测点剩余振动有可能增加。但剩余振动平方和以不加权迭代的数值最小。设N个测振点的加权因子为i，分别乘以(3-79)两边得,2022/11/21,59,由最小二乘法得其中加权因子根据经验得出，一般推荐 ，如果剩余振动过大，可进行第二次迭代，一般迭代12次即可。因此，影响系数法平衡柔性转子的步骤为：1）确定平衡面数；2）给定转速下，测得N个测点的原始不平衡振动值；3）依次在M个平衡面上加已知试重，在同样给定转速下测出N个测点的振动值；4）根据测量结果(编程)计算影响系数;5）利用最小二乘法或加权最小二乘法求解矛盾方程组，得到校正量 ；6）校核剩余振动：满足即结

31、束；若不满足，进入第5)步骤。,2022/11/21,60,模态平衡法与影响系数法的比较：如果平衡转速选择在N个临界转速附近，并选M=N个校正面，一个测振点。校正平面zj试重qj引起的振动为当平衡转速接近临界转速ck时，上式中以k阶响应项为主，其它项可忽略，此时影响系数为：此时影响系数矩阵 的每一行与sk(z1),sk(z2),sk(zM)成比例。此时，两种方法等效；若平衡转速不选在临界转速附近，则结论不成立。,2022/11/21,61,第五节 柔性转子其它平衡方法,一、混合平衡法（振型影响系数法）1.影响系数法 优点：可同时平衡几阶振型，平衡方便，可利用计算机辅助平衡，便于实现数据处理自动

32、化；缺点：高速下平衡启动次数多，高阶振型敏感性降低，可能存在相关平面，得到不正确的校正量。2.模态平衡法优点：高速平衡启动次数少，敏感性高，低阶振型不受影响；缺点：振型不易侧准，系统阻尼大时不够有效，对于轴系平衡时，在临界转速附近不易获得单一振型。3.混合平衡法结合两者优点，在影响系数法基础上，充分利用模态平衡,2022/11/21,62,法中的振型分离特点选择各项系数，效果较好。以图3-14所示转子为例设在转速范围内出现两阶临界转速，按模态平衡法中N+2平面法，选取四个校正面，即N=4，校正面按模态平衡法选取。如图中1,2,3,4四个平面。由振型平衡方程可得,2022/11/21,63,式中

33、：简写为上式校正量有唯一解，但 是随机分布的，无法直接求解出校正量 ，利用影响系数，可列出四个线性方程若 选取合适，上述方程组有唯一解，且满足式(3-91) 。由式(3-92) 得式中,2022/11/21,64,若 值满足式(3-95) ，则式(3-93) 的解 必满足式(3-91) 。取两支点为测点，按振型分离步骤升速，先进行低速动平衡，转速为0，由式(3-95) 得式中上角标(0)表示原始状态。低速平衡，振型不平衡分量作用很小，上式可简化为：可求得两支承振动校正量为,2022/11/21,65,由此得到 校正量 ，然后升速至1，进行一次高速动平衡，测得两支承振动为：式中：,2022/11

34、/21,66,因1接近一阶临界转速，主要为一阶振型不平衡分量的作用，上式可近似简化为方程组线性相关，故只能取一个振动值，若，一般取较大的 值。按N+2平面法，校正重由下式获得式中： 为相应于加一次配重 后在转速0时二支承的振动。该方程相容，满足平衡方程式(3-91)中前三个方程。即转子可以平稳地通过一阶临界转速，又不破坏刚性转子平衡。同理，将转速升到二阶临界转速附近，进行高速动平衡，平衡转速为2，二支点振动可近似简化为：,2022/11/21,67,同样，方程组线性相关，只能取振动较大值，此时校正量为四个，可由下式求得式中： 相应为转子加上二次配重后二支承振动，该方程满足平衡方程式(3-91)

35、中的四个方程。最后得到总校正量为该校正量可使转子在全速范围内达到平衡,2022/11/21,68,二、振型圆平衡法（模态响应圆平衡法）,模态平衡法要求在各阶临界转速下进行平衡，但会引起过大振动，且不稳定。振型圆平衡法：利用模态分析技术，通过振型圆，在临界转速时分离出该阶模态，尤其适用于多跨轴系。1.基本原理振型圆模态圆。已知Jeffcott转子运动方程为：式中：z=x+iy，令n=c/(2m)， ，其稳态解为,2022/11/21,69,由式(3-100)有由此得故有上式为复平面上的振型圆方程。圆心在虚轴一侧并与实轴相切，见图3-15(a)。经过圆心和临界转速点的直径OA称为共振直径。实际振型

36、圆不封闭，见图3-15(b)。特点：,2022/11/21,70,1）具有一般模态圆特征；2）在临界转速附近，相位变化剧烈，当=c时： ds/d=03）=c时，=/2，表明不平衡激振力垂直共振直径，并超前 ，因而确定了不平衡激振力方向；4）单自由度系统，矢端圆近似为一个圆，多自由度系统，图形比较复杂，但在各阶临界转速附近，矢端图仍接近一个圆。图3-16为一双支点对称转子轴承测得的振型圆图，不平衡位于平面1(轴承A)一侧，靠近不平衡量一侧的两阶临界转速时的振型圆是同相的；另一侧两个振型圆则是反相的。2.平衡方法影响因素：其它振型、初始弯曲、热变形等。1）（A法）根据预先计算结果，在临界转速附近测

37、得转子或轴承的振幅、相位，绘制振型图(见图3-17)。,2022/11/21,71,2）（B法）借试重求出影响矢量。特点：1）测量精度高，数据可靠；2）测量速度快，不需稳速测量；3）平衡精度高，可有效分离振型；4）需具备多点连续自动检测和分析装置。三、限制最大平衡配重法高速微型发动机转子，由于结构限制，平衡配重受到一定限制，由此，对转子配重的最大值做出限制，以便在规定平衡配重的条件下达到平衡精度要求的目的。1）首先，选择可用于平衡的面，进行转子动力学分析，剔除相关平面，确定平衡面数N；2）对最小二乘法进行改进，限定最大配重量，通过优化配置（如遗传算法等）获得在限定最大配重条件下的最优,2022

38、/11/21,72,平衡配重组合；3）校核平衡结果。四、谐波小波在柔性转子平衡中的应用1.动平衡信号的特点不平衡引起的振动信号主要是与转速同频率的正弦波，是振动信号的主要成分，实际测量信号中可能还有2, 3, 4等倍频，l/2的亚倍频，随机振动等成分，因此实际信号可以用下面的模型来表示： (3-4-1) 式中e(t)是测量实际信号 ，E0是测量仪输出的直流信号， 是不平衡量引起的基频信号， 是各谐波分量 。2.谐波小波滤波原理谐波小波为复小波，在频域紧支，有明确的函数表达式：,2022/11/21,73,(3-4-2)图3.4.1谐波小波时域图 图3.4.2谐波小波频域图根据小波理论对谐波小波

39、进行伸缩、平移就生成谐波小波函数族 及其伸缩平移函数族构成信号的正交基。因而，将谐波小波作为基函数系可以将信号既不重叠、又无遗漏地分解到相互独立的频域空间，重构转速频段的信号即实现了滤波功能。图3.4.3 二进谐波小波对频域空间的划分,2022/11/21,74,二进谐波小波在高频段存在频段带宽太大的缺点，需要对其进行改进，写为更一般的形式： (3-4-3)其中 m，n可以不是整数。取一定步长k/(n-m)上式变为： (3-4-4)定义一对复小波系数 (3-4-5) 则离散信号f(r)在频段2m2n的重构为 (3-4-6),2022/11/21,75,不平衡量信号是与转速同频的，因此可以根据转

40、速信息来调整m和n的值，从而达到控制通带的带宽和频率中心的目的，完全符合自适应滤波的要求。m和n的值由下式确定： (3-4-7)其中N为采样点数，fs为采样频率，fmin和fmax分别为带通滤波器下截止频率和带通滤波器上截止频率。 3.仿真试验为了验证上述方法的有效性，根据式(3-4-1)建立含噪不平衡量信号的模型： (3-4-8)不平衡量信号频率f1=480Hz，倍频f2=960Hz，噪声n(x)，是均值为0，方差为1的高斯白噪声信号，采样频率12.2kHz，采样长度1024，滤波带宽32Hz，下截止频率464Hz，上截止频率496Hz。滤波试验结果见图3.4.4,2022/11/21,76

41、,图3.4.4 滤波试验结果图,2022/11/21,77,由图3.4.4(a)可见不平衡量信号完全淹没在噪声信号中，无法获得信号幅值和相位信息；图3.4.4(b)和图3.4.4(c)分别为无噪声干扰的不平衡量信号和谐波小波滤波后的信号，两图比较可以看出，推广的谐波小波滤波能够有效地消除噪声干扰，较好地还原出了不平衡量信号，幅值存在微小误差，相位无滞后。,2022/11/21,78,第六节 柔性转子平衡精度,1.刚性转子：国际标准ISO-1940，采用偏心速度评定。 偏心速度Ve可表示为： Ve=e/1000(毫米/秒)式中：e不平衡偏心(微米)，其值为其中：URA转子允许剩余不平衡量(克.毫

42、米)； M转子质量(公斤)。乘积e代表了转子转速为时的质心速度，国际标准中按不同的e值将平衡精度分为11个等级，各等级之间公比为2.5.对于燃气轮机转子，标准规定平衡精度应达到G2.5级，即偏心速度Ve=12.5毫米/秒，转速较高的转子，Ve相应取较小值。确定偏心速度Ve后，可按下式求得转子允许的剩余不平衡量URA,即,2022/11/21,79,其中，取最大工作转速。另外，还可以从作用在轴承上的不平衡力F与转子重量W之比值F/W的经验数据或不平衡偏心e的统计数据来确定。2.柔性转子主要参考文献：1）ISO/DIS5406挠性转子平衡标准19792）ISO/DIS5343关于弹性转子中剩余不平

43、衡量的数值1982。3）参考刚性转子，用当量刚性转子允许不要平衡量的某个百分比来控制各类转子的剩余不平衡；4）采用机械振动标准作为制定柔性转子平衡精度的准则，无论是单频或多频振动，其速度均方值Vrms为,2022/11/21,80,式中：V(t)振动速度。在相当宽的频率范围内，具有相同速度均方值的振动，被认为具有同等烈度的振动。对于单频振动式中：A支承振动振幅(毫米/秒)对于地面透平机械，振动速度有效值取1.84.5(毫米/秒)国际标准草案ISO/DIS5343中规定：柔性转子在动平衡机上的允许振动有效值Y将由机组上允许振动乘以各修正系数得到，其值为：Y=c0c1c2c3X式中：X运行转速范围

44、内机组支座上允许的振动速度有 效值 c0,c1,c2,c3修正系数，可由表查得。其它评定方法：振幅、轴与轴承相对位移、轴与密封相对位移、支承动反力等。,2022/11/21,81,第七节 转子不平衡响应计算,滑动轴承：八个动力系数不平衡量分布事先未知，假设各种分布形式，研究不平衡量的影响。计算方法：传递矩阵法、有限元法(Rotor)一、力学模型分为若干轴段，轮盘、支点、变截面处设为结点，滑动轴承八个动力系数等，见图3-18。二、结点传递矩阵坐标系：定坐标系oxyz 动坐标系设转子支承在油膜轴承上，轴承在x及y方向的油膜力为,2022/11/21,82,式中：由动量矩定理，得结点质心G的运动方程

45、,2022/11/21,83,由图3-19，圆盘中心坐标与质心坐标关系为不平衡离心力在x及y方向的分量为式中：U=m U=m。将上两式代入运动方程得不计阻尼，右式各量用复数表示为,2022/11/21,84,其中： 、 、 下标c代表实部，s代表虚部， 也可写成x 与y方向的实部与虚部。令：将以上各式代入(3-106)及(3-103)式，经整理后得由连续条件，结点左右两截面位移与转角有下述关系,2022/11/21,85,由(3-107)及(3-108)得简写为式中：Di站点的传递矩阵三、轴段传递矩阵对于等截面轴段，略去轴段微元体的转动惯量及剪切影响，其两端状态参数关系为：,2022/11/2

46、1,86,y方向有类似关系式，合并在一起，可写成,2022/11/21,87,或写成式中：Bi轴段传递矩阵。将轴段与结点综合为一个单元，则有式中：Ti综合单元传递矩阵，为99阶矩阵。四、计算方法以双支点外伸转子为例(图2-14)，由初始端自由边界可知因此，在递推过程中，第3、4、7、8列元素可以不计算，递推至最后截面E得,2022/11/21,88,末端也为自由端，故有由此得由上式可求得初始状态向量，再由递推公式可求得各截面的复数位移向量对计算得到的结果，可以统一只取实部(或虚部)，即,2022/11/21,89,其中：由上式消去时间变量t可得i点轨迹方程：展开得上式为一椭圆方程，圆心在原点上，主轴与x、y轴不重合，长短半轴可由解析几何获得，长半轴与x轴夹角，计算公式见(1-5)。轨迹图见图3-20所示。轴心连线一般为空间曲线。,2022/11/21,90,