微积分I课程第四章 中值定理及导数的应用(2nd edition)ppt课件.pptx
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1、第四章 中值定理及导数的应用,4.1微分中值定理,4.2洛必达法则,4.3用导数研究函数的单调性、极值、和最值,4.4函数曲线的凹向及拐点,4.5曲线的渐近线与函数作图,4.6导数在经济学中的应用,4.1微分中值定理,证明,1) 若,可取(a, b)内任一点作 为,2) 若,M , m,至少有一个要在,内取得.,即,所以,证毕.,根据极限的保号性得,所以,证毕.,几何意义:,在两端点高度相同的连续光滑的曲线弧上,若除端点外处处有不垂直于 x 轴的切线,则此曲线弧上至少有一点,在该点处的,切线是水平的.或者说切线,与端点的连线AB平行.,罗尔定理的三个条件是结论成立的充分条件,注意:该题辅助函数
2、的寻找过程是一种常用方法,罗尔定理的几何意义,二、拉格朗日 (Lagrange) 定理,或,(2),至少有一点,(1),证明,易见,在,上连续,,在,内可导,,且,构造辅助函数,根据罗尔定理,使,即,亦即,分析,要证,即证,即证,令,只须证,a,b,x,几何意义:,在连续、光滑的曲线弧上,除端点外处处有不垂直于 x 轴的切线,则在曲线弧上至少存在一点C,在该点处的切线与连接两端点的弦平行.,1). 若令,则,于是拉格朗日公式可写成:,2). 若令,则得有限增量公式:,说明,验证,在开区间,内可导,满足拉格朗日中值定理的条件,即,即的确在 (0,1) 内 找到,使定理成立.,应用定理知,例5 验
3、证拉格朗日中值定理对函数,在区间 0,1 上,的正确性,并求,设函数f(x)在0,3上连续,在(0,3)内可导,且f(0)+f(1)+f(2)=3, f(3)=1.试证必存在,,使,时,例7 证明: 当,证明 设,对,在,上应用中值定理, 使,即,因,所以,即,证明,不妨设,使,所以,对,证明,由定理知,即,若函数,满足:,则在,内至少存在一点,使,成立.,1) 在闭区间,上连续;,2) 在开区间,内可导;,且,三、柯西(Cauchy)中值定理,例设,至少存在一点,使,证: 结论可变形为,设,则,在 0, 1 上满足柯西中值,定理条件,因此在 ( 0 , 1 ) 内至少存在一点 ,使,即,证明
4、,4.2洛必达法则,例1,例2,解,解,不是未定式, 不能盲目应用罗比塔法则,注意,2) 对,例4 求,解,例7 求,练一练,定理2,说明,其他未定式:,解决方法:,取对数,例1. 求,解: 原式,例2,解,例3,解,练一练,c,d,(c,f(c),(d,f(d),Y=f(x),4.3用导数研究函数的单调性、 极值、和最值,一、函数单调性的判别,证,应用拉格朗日中值定理,例如,在定义域内单调递增,注意:,不存在,,如何求函数的单调区间?,确定函数单调区间的方法和步骤:,解 (1) 定义域,例1 确定函数,的单调区间.,令, 得,(2),增,减,增,单减区间为:,解 (1) 定义域,例2 确定函
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