微分方程ppt(罗兆富等编)第七章 特征线法、达朗贝尔公式和分离变量法课件.ppt

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1、第七章 特征线法、达朗贝尔公式,第一节 特征线法,第二节 达朗贝尔公式 反射法,和分离变量法,第三节 分离变量法简介,的一阶齐次线性偏微分方程的通解, 其中ai(i=1,2,n)是自变量x1 , x2 , , xn的n(n2)元连续函数, 且不全为零.,第一节 特征线法,一、一阶(拟)线性偏微分方程的通解,1. 一阶齐次线性偏微分方程,考虑形如,(7.1.01),方程(7.1.01)的通解可通过求解一个常微分方程组而得到, 通常称这种求解方法为特征线法.,第一节 特征线法,一、一阶(拟)线性偏微分方程的通解,1. 一阶齐次线性偏微分方程,考虑形如,(7.1.01),设u=u(x1, x2, ,

2、 xn)是方程(7.1.01)的一个解,则由全微分法则, 有,(7.1.02),(7.1.03),(7.1.04),(7.1.03),我们称(7.1.03)为(7.1.01)的特征方程组,由特征方程组(7.1.03)确定的空间曲线称为特征曲线. 由于特征方程组(7.1.03)是一个包含n-1个方程的常微分方程组, 所以它有n-1个首次积分,我们的目标是通过求(7.1.03)的首次积分(7.1.04)来求一阶齐次线性偏微分方程(7.1.01)的通解.,偏微分方程(7.1.01)的解与它的特征方程(7.1.03)的首次积分之间的关系有如下的定理.,(7.1.04),假设已经得到特征方程组(7.1.

3、03)的n-1个首次积分(7.1.04),定理7.1,则一阶齐次线性偏微分方程(7.1.01)的通解为,(7.1.01),(7.1.05),其中,是任意连续可微n-1元函数.,证明:,设,(7.1.06),是特征方程组(7.1.03)的一个首次积分.,因为函数a1, a2, , an 不同时为零,所以不妨设,这样特征方程组(7.1.03)等价于下面标准形式的常微分方程组,(7.1.07),因此(7.1.06)也是(7.1.07)的一个首次积分.,再由第三章第一节定理3.1知, 有恒等式,两端乘以an, 得,(7.1.08),这就证明了函数,是特征方程组(7.1.03)的一个首次积分的充要条件为

4、恒等式(7.1.08)成立.,(7.1.08),(7.1.01),比较,是特征方程组(7.1.03)的一个首次积分的充要条件是:,是一阶齐次线性偏微分方程(7.1.01)的解.,因此, 若,是一阶齐次线性偏微分方程(7.1.01)的任意一个解,则它是特征方程组(7.1.03)的一个首次积分.,再由第三章第一节定理3.5,它可由特征方程组(7.1.03)的n-1个首次积分(7.1.04)来表达,其中,是任意连续可微n-1元函数.,注:,当n=2时, 方程(7.1.01)成为,(7.1.09),其特征方程组为,它有一个首次积分,则方程(7.1.09)的通解为,(7.1.10),其中,是任意连续可微

5、一元函数.,注:,当n=3时, 方程(7.1.01)成为,(7.1.11),其特征方程组为,它有两个首次,则方程(7.1.11)的通解为,(7.1.12),其中,是任意连续可微二元函数.,积分,例1. 用特征线法求解一阶齐次线性偏微分方程,解:,根据前面的讨论, 写出特征方程组,首次积分!,所以方程的通解为,其中,是任意连续可微一元函数.,例2. 求解交通流线性关系模型,解:,根据前面的讨论, 写出特征方程组,首次积分!,所以方程的通解为,其中,是任意连续可微一元函数.,再注意到初始条件p(x, 0)=f(x), 得,从而得,到方程的解为,例3. 用特征线法求解一阶齐次线性偏微分方程,解:,根

6、据前面的讨论, 写出特征方程组,首次积分!,所以方程的通解为,其中,是任意连续可微二元函数.,2. 一阶非齐次拟线性偏微分方程,的一阶齐次拟线性偏微分方程的通解, 其中ai(i=1,2,n), b都是n+1个变元x1, x2 , , xn, u的连续函数,且不全为零.,考虑形如,(7.1.13),设V(x1, x2 , , xn, u)=0是方程(7.1.13)的一个隐函数形式的解, 注意到u是x1, x2 , , xn的函数,由隐函数求导法, 得到,(7.1.14),(7.1.15),(7.1.13),(7.1.15),由(7.1.15)可见, 若将V视为关于x1, x2 , , xn, u

7、的函数,(7.1.15)就成为关于未知函数V的一阶齐次线性偏微分方程. 这就证明了,若V(x1, x2 , , xn, u)=C是一阶非齐次拟线性偏微分方程(7.1.13)的一个隐函数形式的解,则n+1元函数 V(x1, x2 , , xn, u) 是一阶齐次线性偏微分方程(7.1.15)的解.,(7.1.13),(7.1.15),反过来, 假设n+1元函数V(x1, x2 , , xn, u)是(7.1.15)的解, 且Vu0,所确定的隐函数u=u(x1, x2 , , xn) 是方程(7.1.13)的解.,则由(7.1.15)和(7.1.14)可以推出由方程,(7.1.13),(7.1.1

8、5),这样, 求解方程(7.1.13)的问题就化成了求解(7.1.15)的问题.,(7.1.16),为了求解(7.1.15), 先写出其特征方程组为,(7.1.16),为了求解(7.1.15), 先写出其特征方程组为,(7.1.17),其中,是任意连续可微n元函数.,于是(7.1.15)的通解由特征方程组(7.1.16)的n个首次积分(7.1.17)表达为,我们也称 (7.1.16) 是一阶非齐次拟线性偏微分方程(7.1.13)的特征方程组.,上述过程写成定理就是,定理7.2,假设函数ai(x1, x2, , xn, u)(i=1,2,n)和b(x1, x2, , xn, u)在某区域G内连续

9、可微, a1, a2, , an在G内不同时为零. 则V(x1, x2, , xn, u)=0(Vu0)是一阶非齐次拟线性偏微分方程(7.1.13)的一个隐函数形式的解的充要条件是: n+1元函数V(x1, x2, , xn, u)是一阶齐次线性偏微分方程(7.1.15)的解.,(7.1.13),(7.1.15),(7.1.13),(7.1.15),注:,一阶线性非齐次偏微分方程,(7.1.18),为一阶非齐次拟线性偏微分方程的特殊情况,其解法完全与求解方程(7.1.13)的解法相同.,例4. 求偏微分方程,的通解.,解:,根据前面的讨论, 写出特征方程组,(1),(2),所以方程的通解为,其

10、中,是任意连续可微二元函数.,若解出u, 得到方程的通解为,g是任意可微函数.,例5. 求偏微分方程,的通解.,解:,根据前面的讨论, 写出特征方程组,(1),(2),所以方程的通解为,其中,是任意连续可微二元函数.,若解出u, 得到方程的通解为,g是任意可微函数.,例6. 求偏微分方程的通解.,解:,写出特征方程组,(1),例6. 求偏微分方程的通解.,解:,写出特征方程组,(2),所以方程的通解为,其中,是任意连续可微二元函数.,二、一阶(拟)线性偏微分方程的初值问题,当需要求出一阶(拟)线性偏微分 方程的初值问题的解时, 可以先求出其通解, 再由初始条件确定其任意函数从而求出其特解, 如

11、前面的例题2. 但在许多情况下, 要由初始条件确定出通解中的任意函数很困难, 甚至是不可能的. 因此,我们下面研究如何直接求解一阶(拟)线性偏微分方程的初值问题.,1. 一阶线性偏微分方程的初值问题,为求形如,(7.1.19),的一阶线性偏微分方程(其中a, b, f, g是自变量x,y的连续函数)在初始条件,(7.1.20),下的解.,我们与前面一样直接写出其特征方程组,(7.1.21),由(7.1.21)中的第一、二项相等, 得到一个常微分方程,设其通解为,(7.1.22),(7.1.23),(7.1.21),由(7.1.21)中的第一、二项相等, 得到一个常微分方程,设其通解为,再由(7

12、.1.21)的第一、三项相等得另一个方程(取第二和三项相等, 解法完全相同),(7.1.22),(7.1.23),再由(7.1.21)的第一、三项相等得另一个方程(取第二和三项相等, 解法完全相同),(7.1.24),(7.1.25),方程(7.1.25)是一阶线性常微分方程, 设其通解为,(7.1.26),(7.1.22),(7.1.26),(7.1.22),(7.1.27),再由初始条件(7.1.20)确定出(7.1.27)中的常数C1, 就得到一阶线性偏微分方程 (7.1.19) 在初始条件(7.1.20) 下的特解了.,(7.1.20),例7. 用特征线法求解一阶线性偏微分方程,解:,

13、根据前面的讨论, 我们写出常微分方程组,例8. 用特征线法求解一阶线性偏微分方程,解:,根据前面的讨论, 我们写出常微分方程组,考虑形如,的一阶拟线性偏微分方程的解, 其中a, b, c是变量x, y, u的连续可微函数.,(7.1.28),(7.1.29),设u=u(x, y)是方程(7.1.28)的一个解, 类似于线性方程的情形(7.1.19), 我们依然有,(7.1.30),若令(7.1.30)中的等式最后等于dt, 我们得到常微分方程组,2. 一阶拟线性偏微分方程的初值问题,(7.1.31),我们称(7.1.31)是方程(7.1.28)特征方程, 称特征方程(7.1.31)确定的曲线为

14、特征曲线.,通常将初始条件(7.1.21)改写成,(7.1.32),或,(7.1.32),2. 一阶拟线性偏微分方程的初值问题,(7.1.33),则在初始条件(7.1.32)下解常微分方程组(7.1.31), 得到方程(7.1.28)的解的参数表示,由(7.1.33)的前两式解出,代入第三式，就得到方程(7.1.28)的自变量为x, y的解,为叙述一阶拟线性偏微分方程解的存在唯一性定理, 我们将初始条件写成一般形式,或,定理7.3,若函数f(s), g(s), h(s)连续可微, 且,若在点(x0, y0, u0)=(f(s0), g(s0), h(s0)处的行列式,且 a(x,y,u), b

15、(x,y,u), c(x,y,u)在点 (x0, y0, u0)=(f(s0), g(s0), h(s0)的附近连续可微,则初值问题,在参数s=s0的一个邻域内存在唯一解.,这样的解称为局部解.,(7.1.34),例9. 用特征线法求解一阶拟线性偏微分方程,解:,根据前面的讨论, 我们写出常微分方程组,例9. 用特征线法求解一阶拟线性偏微分方程,解:,写出特征方程组,注:,本题也可先求出通解, 再求出特解.,(1),(2),第一个首次积分!,第二个首次积分!,例9. 用特征线法求解一阶拟线性偏微分方程,注:,本题也可先求出通解, 再求出特解.,第一个首次积分:,第二个首次积分:,所以方程的通解

16、为,其中,是任意,其中g是任意可微函数.,连续可微二元函数.,若解出u, 得到方程的通解为,例10. 用特征线法求解一阶拟线性偏微分方程,解:,根据前面的讨论, 我们写出常微分方程组,参数表示的解,由前两式解出s, t,代入第一式, 得解,例11. 用特征线法求解一阶拟线性偏微分方程,解:,根据前面的讨论, 我们写出常微分方程组,于是, 得到问题的参数形式的解,由前两式消去s, t, 得问题的解,例12. 求解人口模型,解:,我们分rt和rt两种情况进行讨论.,其中p(t, r)是在时刻t年龄在r岁时的人口年龄分布密度函数.,当rt 时, 解特征方程组,积分并注意到初始条件, 得,由,消去初始

17、值,得,例12. 求解人口模型,解:,我们分rt和rt两种情况进行讨论.,其中p(t, r)是在时刻t年龄在r岁时的人口年龄分布密度函数.,当rt 时, 解特征方程组,积分并注意到初始条件, 得,由,消去初始值,得,所以解人口模型的解为,本节结束！,一、达朗贝尔公式：无界弦的自由振动规律,考虑无限长弦的自由振动问题,(7.2.01),其中,是已知函数, 满足相容性条件,第五章第二节的例6, 波动方程(7.2.01)的通解为,(7.2.02),其中F, G是任意二阶连续可微函数.,第二节 达朗贝尔公式 反射法,(7.2.01),(7.2.07),由(7.2.07)即得到初值问题(7.2.01)的

18、解,(7.2.08),称(7.2.08)为一维波动方程的达郎贝尔公式(DAlembert formula).,一维波动方程的达郎贝尔公式表示初值问题(7.2.01)的形式解. 关于这个形式解, 我们有如下结论.,定理7.2,设,是定义在(-, )上的有界函数,且,二阶连续可微、,一阶连续可微.,则初值问题(7.2.01)的解存在且唯一, 且在有限时间内(按连续函数空间的范数)是一致稳定的. 从而,初值问题(7.2.01)是适定的.,例1. 求解初值问题,解:,在达郎贝尔公式(7.2.08)中代入,(7.2.08),得,二、反射法：半限长弦的自由振动规律,对于半直线,上的初、边值问题,(7.2.

19、09),其中,是已知函数, 满足,二、反射法：半限长弦的自由振动规律,对于半直线,上的初、边值问题,(7.2.09),其中,是已知函数, 满足,二、反射法：半限长弦的自由振动规律,对于半直线,上的初、边值问题,(7.2.09),其中,是已知函数, 满足,则,满足初值问题,则由达郎贝尔公式(7.2.08), 有,(7.2.10),(7.2.11),二、反射法：半限长弦的自由振动规律,对于半直线,上的初、边值问题,(7.2.09),其中,是已知函数, 满足,(7.2.12),(7.2.11),于是得到问题(7.2.09)的解,这种将已知函数进行奇延拓或偶延拓之后而求得原问题,的解的方法称为反射法.

20、,(7.2.12),这种将已知函数进行奇延拓或偶延拓之后而求得原问题,的解的方法称为反射法.,(7.2.12)表示左端点固定的一条无限长弦的自由振动. 由于质点振动的传播就是波, 所以(7.2.12)的物理意义是: 当xat0时, (7.2.12)所表示的是在点x处的位移由初始扰动而引起的右行波与左行波在该点的叠加;当0 xat时, 表示的是在点x处的位移是由右方传来的左行波与在端点x=0反射回来的反向波的叠加.,三、齐次化原理：无界弦的受迫振动规律,现在我们介绍非齐次波动方程初值问题的方法. 它是将求解非齐次方程的问题化为求解一个齐次方程的问题, 是常微分方程中常数变易法在线性偏微分方程中的

21、推广. 通常称这个方法为齐次化原理或Duhamel原理.,考虑无限长弦的受迫振动问题,(7.2.13),其中,都是x, t已知函数, 满足相容性条件,若令u(x, t)= v(x, t)+w(x, t), 则可将此定解问题分解成下面两个定解问题：,(7.2.13),(I)齐次方程的非齐次初值问题,(7.2.14),(II)非齐次方程的齐次初值问题,(7.2.15),其中问题(I)的解可由达朗贝尔公式给出:,(7.2.16),对于问题(II), 有下面重要的定理：,齐次化原理,(7.2.17),定理7.3 (齐次化原理),设,是初值问题,(7.2.15),的解(0),则函数,(7.2.18),是

22、问题(II)(即(7.2.15)的解.,显然, 问题(7.2.17)的解可由达朗贝尔公式给出,(7.2.19),将(7.2.19)代入(7.2.18)就得到问题(II)的解,(7.2.20),综上所述, 问题(7.2.13)的解为,(7.2.21),例2. 求解初值问题,解:,在公式(7.2.21)中代入,得到初值问题的解为,四、高维波动方程,三维波动方程描述声波、电磁波和光波等在空间的传播, 称这类波为球面波; 二维波动方程描述平面上薄膜的振动和浅水面上波的传播等现象, 称它们为柱面波. 下面我们不加推导地写出这些波动方程的初值问题的求解公式.,三维波动方程的初值问题,(7.2.22),的球

23、对称解为,其中积分是在以(x, y, z)为球心、at为半径的球面,上的球面积分.,称(7.2.23)为三维波动方程的初值问题(7.2.22)解的基尔霍夫(Kirchhoff)公式.,基尔霍夫公式(7.2.23)在球面坐标系,中的表达,式为,二维波动方程的初值问题,的解为,其中积分是在以(x, y)为圆心、at为半径的圆域at上的二重积分.,(7.2.26),公式(7.2.26)在极坐标系,中的表达式为,(7.2.25),(7.2.27),其中,公式(7.2.27)称为二维波动方程的初值问题(7.2.25)解的泊松(Poisson)公式.,本节结束！,第三节 分离变量法简介,分离变量法又称为傅

24、里叶(Fourier)方法, 是解决有界问题的一个有效方法, 是求解初边值问题最常用和最基本的一种方法, 它适用于波动方程、热传导方程、位势方程, 以及很多形式更为复杂的方程和方程组的求解.,这种方法的基本思想是, 把方程中未知的多元函数分解成若干个一元函数的乘积, 从而将求解偏微分方程的问题转化为求解若干个常微分方程的问题.,下面, 我们将依次介绍分离变量法在求解下述三种方程中的简单应用：,1.有界弦的波动方程；,2.有界杆的热传导方程；,3.有界区域上的位势方程.,一、有界弦的波动方程,(7.3.01),考虑混合问题(初、边值问题),(7.3.02),(7.3.03),设方程(7.3.01

25、)具有可分离变量且满足齐次边界条件条件(7.3.02)的非零特解,(7.3.04),其中X(x),T(t)分别是x, t二阶连续可微函数.,(7.3.06),(7.3.07),(7.3.05),我们首先求出常微分方程边值问题,的非零解.,(7.3.09),(7.3.08),(7.3.09),常微分方程边值问题(7.3.09)称为固有值问题或特征值问题; 使得固有值问题有非零解的值,称为固有值或特征值; 与固有值相对应的非零解,称为固有函数或特征函数.,方程(7.3.07)的通解随,而不同.,下面我们分三种情形讨论.,(1)当 0时, 方程(7.3.07)的通解为,由边界条件(7.3.08),

26、得A=0, B=0, 故当 0时, 初值问题(7.3.09)只有零解X(x)=0.,舍去!,(2)当 =0时,由边界条件(7.3.08), 得A=0, B=0, 故当 =0时, 初值问题(7.3.09)只有零解X(x)=0.,舍去!,方程(7.3.07)的通解为,(2)当 0时,方程(7.3.07)的通解为,由边界条件(7.3.08), 得,固有值!,固有函数!,(7.3.06),方程(7.3.06)的通解为,(7.3.12),其中Cn, Dn是任意常数.,于是我们得到方程(7.3.01)的满足齐次边界条件(7.3.02)的可分离变量的特解：,根据叠加原理, 我们得到级数形式的解,(7.3.1

27、3),(7.3.06),再由初始条件(7.3.03)来确定系数Cn, Dn.,(7.3.14),(7.3.13),(7.3.03),这样,(7.3.15),用,分别乘以(7.3.14)和(7.3.15)并从0到l积分, 得,(7.3.16),将(7.3.16)代入(7.3.13), 得到混合问题的形式解.,形式解(7.3.13)是否是波动方程(7.3.01)的(古典)解呢?,(7.3.13),(7.3.03),(7.3.01),(7.3.02),我们有如下结论.,定理7.6,设,是定义在0, l上的实函数, 且,四阶连续可微、,三阶连续可微, 满足相容性条件,则初边值问题(7.3.01)(7.

28、3.03)的(古典)解存在, 且可表示为级数(7.3.13),其中系数由(7.3.16)式确定.,解:,分离变量u(x, t)=X(x)T(t),例1. 求解下列定解问题,则,固有值和固有函数!,固有值!,固有函数!,所以,所以, 定解问题的解为,Q. E. F.,解:,分离变量u(x, t)=X(x)T(t),例2. 求解下列定解问题,则,固有值和固有函数!,固有值!,固有函数!,所以,所以, 定解问题的解为,Q. E. F.,二、有界杆的热传导方程,分离变量法不仅可用来解有界弦振动的定解问题, 也可用来解其它方程的某些定解问题,且其基本步骤也相同.,例3. 求长为l的均匀细杆热传导问题的解.,解:,分离变量u(x, t)=X(x)T(t),则,固有值和固有函数!,固有值!,固有函数!,所以, 定解问题的解为,其中,Q. E. F.,解:,分离变量u(x, y)=X(x)Y(y),例4. 求解二维拉普拉斯方程的边值问题,则,固有值和固有函数!,三、有界区域上的拉普拉斯方程,固有值!,固有函数!,所以所求解为,其中,是任意常数.,(*),由(*)和边界条件, 有,用,乘以上式并从0到a积分, 得,Q. E. F.,本节结束！,