车辆随机振动(上)ppt课件.ppt

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1、车辆随机振动,第1章 绪论,前期基础课程概率论1.何为随机振动？2.车辆与随机振动有何关系？ 大方面：学习随机振动有何用处？ 学科方面：学习随机振动能解决车辆工程中的哪些问题？3.如何利用随机振动理论分析相应问题？,1.1 振动的描述,振动是宇宙普遍存在的一种现象，总体分为宏观振动(如地震、海啸)和微观振动(基本粒子的热运动、布朗运动)。振动原理广泛应用于音乐、建筑、医疗、制造、建材、探测、军事等行业，有许多细小的分支，对任何分支的深入研究都能够促进科学的向前发展，推动社会进步。,1.1 .1振动（vibration）,系统产生振动的原因：质量弹性动力载荷1.振动：物体在平衡位置附件的往复运动

2、。研究主要方面：振动对象的力、位移（速度、加速度）等物理量的变化规律。,1.1 .1振动（vibration）,2. 振动的条件（vibration condition）（1）初始激励（internal excitation）力、位移（速度、加速度）等物理量（2）外界激励（external excitation） F（t）=0 or not,X,1.1 .1振动（vibration）,3.振动规律（regularity）建模（建立系统的微分方程，再求解）当f(t)有规律时，规则振动；当f(t)无规律时，随机振动；,X,1.1 .2随机振动（random vibration）,当f(t)无规律时

3、，随机振动它的规律不能用时间的确定函数来描述，但却能几概率论和统计动力学的方法来描述。 在这大量的振动现象的集合中，就单个现象来看似乎是杂乱的、无规则的，但从总体来看，它们之间却存在着一定的统计规律性.,X,1.1 .2随机振动（random vibration）,例如：汽车方面的典型例子是路面的随机凹凸不平使行驶的汽车产生随机振动；被切削工件表层软硬不均使车刀及刀架产生随机振动；风对建筑结构的随机激励；地震对结构的随机激励；浪使船舶产生随机振动；大气湍流使机翼产生随机振动等等。,1.1 .2随机振动（random vibration）,随机振动的特点：（1）随机振动没有固定的周期，既不能用简

4、单函数的线性组合来表述其运动规律； （2）对确定的时间t，振动的三要素（振幅、频率、相位角）不可能事前知道，且它们本身也是随机的；（3）在相同的条件下，进行一系列测试，各次记录结果不可能一样。,1.1 .2随机振动（random vibration）,随机振动的产生：,确定性系统+确定性激励 确定性响应 确定性系统+随机激励 随机响应 随机系统+任何激励 随机响应,11,随机振动与确定性振动的本质区别在于它一般指的不是单个现象，而是一个包含着大量现象的集合；从集合中的单个现象来看似乎是杂乱的，但从总体来看却存在着一定的统计规律性。因此，它虽然不能用时间的确定函数来描述，但能用统计特性来描述。

5、在确定性振动中，系统的激励与响应之间有着确定的函数关系，而在随机振动中，只能满足于确定它们的统计特性之间的关系。,1.1 .2随机振动（random vibration）,1.2 振动的研究问题,1.2.1 振动分析与设计（design and analysis） 已知系统输入和系统特性（结构、参数），确定输出特性；再通过优化方法选择适合的系统结构参数，使输出响应最佳。如：需要使得某汽车的平顺性优良（1）控制汽车座椅垂直方向的加速度、振幅（2）控制汽车座椅振动的频率,1.2 振动的研究问题,1.2.2 参数识别（parameters identification） 已知系统输入和输出，确定系统

6、参数。如：需要对某汽车中一些复杂的结构（部件）确定参数。（1）汽车轮胎（2）汽车车架的整体刚度等。,1.2 振动的研究问题,1.2.3 环境识别（environment identification） 已知系统参数和输出，确定系统输入。如：需要确定何种路面对汽车某部件（如车轴）的振动损伤最厉害，从而针对不同环境使用不同的部件。,1.3 振动的研究方法,确定性系统+随机激励 随机响应,（1）对确定性系统进行研究（2）对输入、输出（信号）进行研究1.3.1 系统建模 明确系统结构组成，将系统简化，用数学关系式把输入和输出表示出来。,一、机械系统的建模 （微分方程）,1、机械平动系统 平动即直线运动

7、，其主要元件为质量、弹簧、阻尼器。,机械系统分为平动系统和旋转系统，其数学模型的建立主要应用牛顿定理来列写。,1.3.1 机械系统的建模（微分方程）,预备知识,图2-1 机械移动系统,X,C,C,解：取f(t)为输入量, x(t)为输出量,X,C,注：1、受力分析时分割点选择在蓄能器的两端；2、可假定为输出（位移、速度、加速度）与输入的方向相同，大小小于输入的大小。,2、机械旋转系统,旋转机械系统用途极其广泛，其建模方法与平移系统非常相似。只是将平移的质量、弹簧、阻尼器分别变成了转动惯量、扭转弹簧和旋转阻尼。,例：下图为在扭矩T作用下的机械转动系统，包含有惯量、扭转弹簧、回转粘性阻尼。试写出其

8、微分方程。其中转动惯量为J，转角为，回转粘性阻尼系数为BJ ，扭转弹簧刚度为KJ 。,消去中间变量，整理得微分方程：,解：,二、建立微分方程模型的步骤：,分析系统的工作原理，确定输入量和输出量； 将系统分解为各环节，建立各环节输入量、输 出量之间的动态联系。 消去中间变量，求出系统的微分方程。 标准化微分方程。输入量右端，输出左端； 降幂排列。,作业1： 推导汽车的二自由度模型,为悬挂质量（车身质量）， 为非悬挂质量（车轮质量）， 为悬挂刚度， 悬挂阻尼系数， 为车轮刚度,具体受力分析图见黑板，比较教材上1-6.,1.3 振动的研究方法,确定性系统+随机激励 随机响应,（1）对确定性系统进行研

9、究（2）对输入、输出（信号）进行研究1.3.1 振动分析中常见信号及处理方法（1）常见信号周期信号可以看作一均值（阶跃信号）与一系列谐波（基波角频率的整数倍）线性之和-谐波分析法,确定性系统+随机激励 随机响应,确定性系统+随机激励 随机响应,确定性系统+随机激励 随机响应,确定性系统+随机激励 随机响应,1.3.1 振动分析中常见信号及处理方法（1）周期信号谐波信号,式中 -周期； -基频, 。,1.3.2 振动分析中常见信号及处理方法（1）周期信号方波信号,1.3.1 振动分析中常见信号及处理方法（1）周期信号三角波信号,1.3.1 振动分析中常见信号及处理方法（2）非周期信号阶跃信号与脉

10、冲信号上述信号中如：则为阶跃信号，阶跃信号求导，则为脉冲信号。,1.3.1 振动分析中常见信号及处理方法（3）随机信号（random signal）,1.3.2 随机信号的处理方法随机信号的共同特征是激励和响应事先不能用时间的确定函数描述。这种具有不确定性的振动过程称作随机振动。随机振动虽不具有确定性，但仍可利用统计的方法研究其规律性。总结：通过处理，找信号中的必然性结果。（如何找？概率）处理方法：1、幅值分析（amplitude analysis）计算均值、方差等。如分析汽车在路上行驶时的振动幅度。,1.3.2 随机信号的处理方法2、频域分析（frequency analysis）通过傅里叶

11、变换等，分析振动的频率特性。如分析汽车在路上行驶时的共振频率、平顺性相关频率等。3、相关分析（correlation analysis）用自相关、互相关分析两个物理量之间的关系。如评判两段信号之间的相关性，从而确定一段信号能否和另一段信号同样适用。,第2章 随机变量的分布及数字特征,随机振动的研究内容是分析系统受到随机激励时系统响应的统计特性。对某振动运动，其规律显示出相当的随机性而不能用确定性的函数来表达，使得只能用概率和统计的方法来描述，这种振动被称为随机振动。,随机激励 确定性系统 随机响应,第2章 随机变量的分布及数字特征,随机现象：汽车方面的典型例子是路面的随机凹凸不平使行驶的汽车产

12、生随机振动；被切削工件表层软硬不均使车刀及刀架产生随机振动；风对建筑结构的随机激励；地震对结构的随机激励；浪使船舶产生随机振动；大气湍流使机翼产生随机振动等等。把随机现象中某物理量的随机（变化）的值称为随机变量。,（2）引入随机变量的目的：用随机变量的取值范围表示随机事件，利用高等数学的工具研究随机现象。,2.1.1 随机变量的说明,（1）随机变量的表示：常用字母X,Y,Z，.表示;,2.1 随机变量及其分布（随机过程基础）,随机变量的取值具有一定的概率：如扔骰子。,(4)随机变量的类型：,这两种类型的随机变量因其取值方式的不同各有特点，学习时注意它们各自的特点及描述方式的不同。,具有随机性:

13、在一次试验之前不知道它取哪一个值，但事先知道它全部可能的取值。,（3）随机变量的特点:,离散型与连续型随机变量。,2.1 随机变量及其分布（随机过程基础）,2.1.2 随机变量的概率分布函数F(x)对于一个随机试验，我们关心下列两件事情： （1）试验会发生一些什么事件？（2）每个事件发生的概率是多大？ 引入随机变量后, 上述说法相应变为下列表述方式： （1）随机变量X可能取哪些值？（2）随机变量X取某个值的概率是多大？ 对一个随机变量X，若给出了以上两条，我们就说给出了随机变量X的概率分布(也称分布律）。,如果随机变量X所有可能的取值是有限个或无穷可列个，则称X为离散型随机变量。,2.1.2

14、随机变量的概率分布函数F(x)一、离散型随机变量的定义及其分布律,1.离散型随机变量的定义,2.离散型随机变量的分布律,要掌握一个离散型随机变量的分布律，必须且只需知道以下两点：,(1) X所有可能的取值:(2)X取每个值时的概率:,称 (1) 式为离散型随机变量X的分布律.,注:离散型随机变量X的分布律可用公式法和表格法描述。,1)公式法:,2) 表格法:,例1：将一枚硬币连掷两次，求“正面出现的次数X ”的分布律。,解：,在此试验中，所有可能的结果有：e1=（正，正）；e2=（正，反）；e3=（反，正) ；e4=（反，反）。,于是，正面出现的次数X ”的分布律：,3、离散型随机变量分布律的

15、性质,例: 设随机变量X的分布律为：,试求常数a.,在实际应用中，关心的不是某个变量值的出现概率，而是某个变量值出现在某个区间的概率（发布函数）3 （离散型）随机变量的分布函数,引例：设X=“掷一颗骰子时掷出的点数”，记,PX1= F(1）,PX2= F(2）,PX3= F(3）,一般地：对任意的实数,我们把 称为随机变量X的分布函数。,设X为一随机变量, 为任意实数,称,为随机变量X的分布函数。,2）分布函数的定义域为：,值域为：,注： 1）分布函数的含义：,1、分布函数的定义:,3）引进分布函数 后，事件的概率可以用 的函数值来表示。,例1：已知随机变量X的分布律为:,(1)求X的分布函数

16、,(2)求X的分布函数,2、离散型随机变量的分布函数,2、离散型随机变量的分布函数,P(0 x 1)=F(1)-F(0)=?,P(0 x 1)=F(1)-F(0)+P(x=0) =3/4-1/4+1/4 =3/4,2、离散型随机变量的分布函数,书本例2-1：随机抽取两件产品，没有废品的概率为0.5，一个为废品的概率为0.3，两个均为废品的概率为0.2，求废品率的分布函数。解：依据题意，有因在坐标上可以表示出3个点，将坐标分为4段。所以需求4段上的分布函数。则其分布函数,2、离散型随机变量的分布函数,则其分布函数,2、离散型随机变量的分布函数,例 在区间 0，a 上任意投掷一个质点，以 X 表示

17、这个质点的坐标. 设这个质点落在0, a中任意小区间内的概率与这个小区间的长度成正比，试求 X 的分布函数.,设 F(x) 为 X 的分布函数，,当 x 0 时，F(x) = P(X x) = 0,当 x a 时，F(x) =1,解：,3、连续型随机变量的分布函数,例 在区间 0，a 上任意投掷一个质点，以 X 表示这个质点的坐标. 设这个质点落在0, a中任意小区间内的概率与这个小区间的长度成正比，试求 X 的分布函数.,3、连续型随机变量的分布函数,例 在区间 0，a 上任意投掷一个质点，以 X 表示这个质点的坐标. 设这个质点落在0, a中任意小区间内的概率与这个小区间的长度成正比，试求

18、 X 的分布函数.,3、连续型随机变量的分布函数,当 0 x a 时， P(0 X x) = kx (k为常数 ),F(x) = P(X x) = P(X0) + P(0 X x),=x / a,设 F(x) 为 X 的分布函数，,解:,例 在区间 0，a 上任意投掷一个质点，以 X 表示这个质点的坐标. 设这个质点落在0, a中任意小区间内的概率与这个小区间的长度成正比，试求 X 的分布函数.,3、连续型随机变量的分布函数,这就是在区间 0，a上服从均匀分布的随机变量的分布函数.,4、分布函数的性质,是右连续函数，即,是一个单调不减函数,右连续可理解为数对应的值与其靠右数对应的值同。,试说明

19、F(x)能否作为某个随机变量X的分布函数,例：设有函数,求: (1) 常数A，B的值； (2) P(0X1),例2：设随机变量X的分布函数为：,例3:下列函数中可作为随机变量分布函数的是 ( ),C,2.2 （连续型）随机变量概率密度函数,在一个产品设计中，如果需要知道随机变量的一个界限值（如最大或最小），则知道其分布函数就可以了。例：研究汽车平顺性时，只要保证（汽车在路面行驶时）座椅的垂向振幅小于某个值的概率不大于90%就可以了。这时候知道分布函数就可以了。在一个产品设计中，如需要知道随机变量在不同区间时概率大小，则需要知道概率密度函数。例：要改善平顺性，需知道振幅所在的最密集区间。,2.2

20、.1连续型随机变量及其概率密度,定义： 对于随机变量X的分布函数 若存在 非负的函数 使对于任意实数 有：,其中 称为X的概率密度函数，简称概率密度。,则称X为连续型随机变量，,连续型随机变量的取值充满一个区间，对这种类型的随机变量主要用概率密度描述。,与物理学中的质量线密度的定义相类似,5）连续型随机变量X取任一实数的概率值为零.,注意: 5)表明求连续型随机变量落在一个区间上的概率值时，不必考虑区间端点的情况。即,例1、已知连续型随机变量X的分布函数为：,求(1) P(0. 3 X 0.7) ; (2)X的概率密度f(x).,2.2.2概率密度、分布函数和概率之间的关系,例：设X的概率密度

21、为 (1)求常数c的值； (2) 写出X的概率分布函数； (3) 要使 求k的值。 解：,几个重要的连续量（参考内容，不讲） 均匀分布 定义：X具有概率密度 称X在区间(a,b)上服从均匀分布， 记为XU(a,b),例1 某站点从8点到10点有一班车随机到达, 一乘客9点到达车站。问他能坐上该班车的概率。,乘客9点到达能坐上班车的概率为:,解：设X班车到达车站的时刻，,则XU（8，10）, 故,2.2.3 随机变量的函数分布问题：已知随机变量X的概率分布， 且已知Y=g(X)，求Y的概率分布。,一维随机变量函数的分布,1. X离散,使 对应的X的那些可能值,其概率之和,(1)先求出Y的分布函数

22、与X的分布函数之间的关系：,(2)再两边同时对y求导数,X连续,1.当X、Y为单值对应时,例：设 Y=2X,Z=X2,求Y,Z的概率分布。,解：Y的可能取值为-2,0,2 Z的可能取值为0,1(Y=-2)的等价事件为(X=-1)(Z=1)的等价事件为(X=1)(X=-1),故得：,例：,例：,解：,例：设有一正弦函数x(t)=x0sinwt。若随机任选一时间t，且时间t的选取是等可能的，求其（正弦函数值）概率密度函数p(x)和分布函数F(x)。,解法一：将x(t)=x0sinwt在一个周期内进行（单调）区间划分，按上述步骤进行求解。解：在一个周期（0，T）内，即,解：在一个周期（0，T）内，即

23、,解法二：在一个周期（0，T）内，x(t)落在（x,x+dx）所占有的时间为2dt，概率为所以，有,解法二：因得又得,例：已知求解：,令,则,2.3 随机变量的数字特征,在一个产品设计中，如果已知道某随机变量的分布函数和概率密度函数。如还要整体评价该随机变量表现出的特征如何，则需研究随机变量的数字特征：数学期望、方差等。在评定某地区粮食产量的水平时，最关心的是平均产量； 在检查一批棉花的质量时，既需要注意纤维的平均长度，又需要注意纤维长度与平均长度的偏离程度； 考察居民的家庭收入情况，我们既知 家庭的年平均收入，又要研究贫富之间的差异程度；要评价整体垂向振动量的大小。,2.3.1 根据概率密度

24、计算数字特征,（1）已经统计了随机变量的概率，在概率的基础上可以计算分布函数、概率密度等。（2）在上述基础上进行数字特征计算。,1 数学期望,例1：甲、乙两人射击比赛，各射击100次，其中甲、乙的成绩 如下： 评定他们的成绩好坏。,解：计算甲的平均成绩：,计算乙的平均成绩：,所以甲的成绩好于乙的成绩。,定义：定义：,数学期望简称期望，又称均值。,例2：有电子装置的寿命服从指数分布，其概率密度为： 求整机寿命的分布函数、数学期望。 解：其分布函数为,问题：将2个电子装置串联、并联联接组成整机，整机的平均寿命又该如何计算？引申：汽车整车的寿命如何计算？,根据的概率密度，可得到E(N).,补充： M

25、=max(X,Y)及N=min(X,Y)的分布,设X,Y是两个相互独立的随机变量,它们的分布函数分别为FX(x)和FY(y)。,由于,现在来求M=max(X,Y)及N=min(X,Y)的分布函数。,(1)M=max(X,Y)的分布函数为：,(2) N=min(X,Y)的分布函数为：,例：设系统L由两个相互独立的子系统L1，L2联接而成，联接方式分别为: (1)串联;(2)并联;(3)备用(当L1损坏时，L2开始工作)，如图所示。,（1）,（2）,（3）,L1，L2的寿命分别用X，Y表示，已知它们的概率密度分别为:,试就以上三种联接方式分别写出L的寿命Z的概率密度.,解:(1)串联的情况: Z

26、= min (X,Y),X,Y的分布函数分别为：,Z = min (X,Y)的分布函数为：,Z的概率密度为:,（2）并联的情况：Z=max(X,Y),Z = max (X,Y)的分布函数为：,Z的概率密度为:,（3）备用的情况：Z=X+Y,Z的概率密度为:,例：,2 方差方差是衡量随机变量取值波动 程度的一个数字特征。例：两个班的平均成绩（期望值）相同，如何衡量这两个班是两级分化严重还是集中程度高？,1.定义 若E(X),E(X2)存在，则称EX-E(X)2 为随机变量的方差，记为D(X),或Var(X).,称 为随机变量的标准差,可见,2.推论 D(X)=E(X2)-E(X)2.,证明: D

27、(X)=EX-E(X)2,3.方差的性质参见概率论与数理统计 注意均值、方差与自相关之间的关系,例1：设随机变量X的概率密度为,1)求D（X）, 2)求,2.3.2 根据时间样本函数计算数字特征,样本未统计随机变量的概率，只是进行了采样，已知时间样本函数，该如何计算随机变量的数字特征？1、进行概率统计，计算分布函数和概率密度函数，再计算数字特征。（和前面内容、过程基本一致）2、根据时间样本函数，通过时间平均的方法来计算。,均值方差均方值,解：在一个周期内（-T/2,T/2）,用时间样本计算为：,教材上计算方法自学。,2.3.3 随机变量函数的数字特征计算,例7：已知某零件的横截面是个圆，对横截

28、面的直径X进 行测量，其值在区间（1，2）上均匀分布，求横截 面面积S的数学期望。,例8：,例9：设随机变量(X,Y)的概率密度为：,数学期望的特性：,这一性质可以推广到任意有限个随机变量线性组合的情况,证明：,下面仅对连续型随机变量给予证明：,定义：设X的概率密度为其中 为常数，称X服从参数为 的正态分布(Gauss分布)，记为可以验算：,2.4 正态分布及其数字特征,称为位置参数(决定对称轴位置) 为尺度参数(决定曲线分散性),X的取值呈中间多，两头少，对称的特性。 当固定时，越大，曲线的峰越低，落在附近的概率越小，取值就越分散， 是反映X的取值分散性的一个指标。 在自然现象和社会现象中，

29、大量随机变量服从或近似服从正态分布。,则Z的分布函数为:,一般正态分布的标准化,2.4.2正态分布的数字特征,均值和方差：,问题的引出：随机变量可以表述随机振动的取值问题和数字特征，但不能反映物理量（随机变量）随时间的变化情况。需要用随机过程完整的表述随机振动。3.1 随机过程的基本概念随机过程：物理量随时间变化的过程。随机振动本身是以时间t为过程参变量的函数过程（随机过程），把这个过程称为时间历程样本函数（样本函数）。,随机振动时间历程样本函数,第3章 随机过程及数字特征,第3章 随机过程及数字特征,单次过程不能证明过程的必然性。在同样条件下重复同样的试验。每次记录为一个样本函数，样本的数目

30、必须很大，理论上应有无限多个。,注意：在任一时刻，物理量为一随机变量，在n个不同的时刻，物理量（采样n次）有n个随机变量。,随机过程取值：,因此，随机过程可由以上随机变量集合构成，表示为,这样，随机过程既是无穷样本构成的集合，亦是由随时间变化的随机变量构成的集合,3- 随机过程的概率分布和概率密度,由以上分析可知，随机过程即n维随机变量所以随机过程的概率分布和概率密度可用n维随机变量来描述，因此涉及到联合概率分布函数和联合概率密度函数,3-. 一维随机变量,.概率分布函数,.概率密度函数,.概率分布函数与概率密度函数的关系,3-. 二维随机变量,.概率分布函数,.概率密度函数,.概率分布函数与

31、概率密度函数的关系,3-. n维随机变量,.概率分布函数,.概率密度函数,.概率分布函数与概率密度函数的关系,3- 随机过程的数字特征,随机过程是由无穷样本构成的集合，亦是由随时间变化的随机变量构成的集合，因此数字特征的计算对应两种求法：集合平均对各样本某一时刻求平均；（如某时刻汽车过高台）时间平均对某样本时间求平均,3-. 集合平均,.自相关函数,.均值,.方差,自相关函数描述同一随机过程在不同时刻t,t+的相关关系,随机变量相关，集合平均数字特征与时间t有关,3-. 时间平均,.均值,.方差,.自相关函数,以上数字特征仅与样本有关,随机过程如果变化太复杂，则无法预测，难以研究。针对平稳随机

32、过程进行研究。 平稳随机过程的特点它的主要特点是：其统计特性（即集合平均的数字特征）不随时间的平移而变化，它的初始时间可以任意选择，其统计特性与时间起点的选择无关。也就是说，平稳随机过程的统计特性在相当长的时间内是不变的。严格地说，现实存在的所有信号（过程）都是非平稳的。 一般说来，如果产生某一随机过程的主要物理条件在时间进程中不改变时，则此过程便可认为是平稳的，因为平稳随机过程的分析要容易得多。,3- 平稳随机过程和各态历经过程,3- 平稳随机过程和各态历经过程,3- 平稳随机过程和各态历经过程,数学期望为一常数，其相关函数仅与时间间隔有关,在许多工程技术问题中，大都只研究广义平稳过程。以后

33、除特别声明外，凡是提到平稳性，都指的是广义平稳。,3- 平稳随机过程和各态历经过程,3-. 平稳随机过程,在平稳随机过程中，统计特征不随时间发生变化，即集合平均的数字特征不随采样时间发生变化,自相关函数仅是的函数,.均值,.方差,.自相关函数,设随机过程X(t)=At, A为在0,1上均匀分布的随机变量。试问X(t)是否平稳？解 X(t)的数学期望为,可见X(t)不是平稳随机过程。,X(t)的相关函数为,3-. 各态历经随机过程,对于一个平稳随机过程，其集合平均的数字特征不随时间发生变化，而且与任意样本时间平均的数字特征相等，这类随机过程称为各态历经随机过程,.均值,.方差,.自相关函数,如果

34、一个工程物理量为各态历经随机过程，则可用一次采样计算总体数字特征：,.均值,.方差,.自相关函数,随机过程的遍历性对于工程计算十分重要，因为它为根据实测的少量样本函数来估计此随机过程的统计特性提供理论依据，但要在实践中验证遍历性条件十分困难，只能根据过程的物理性质，先假定有遍历性，待有了足够的数据以后再去检验假定的正确性。以下讨论的随机过程都假定是平稳的和遍历的。,先考查其平稳性，再考查其遍历性。,X(t)平稳,X(t)的均值具有遍历性,X(t)的均值具有遍历性,X(t)的均值具有遍历性,X(t)不具有遍历性,首先要讨论Z(t)的平稳性，然后再讨论其遍历性,Z(t)平稳,Z(t)平稳,Z(t)

35、不具有遍历性,各态历经过程的必要条件和充分条件,1、各态历经过程必须是平稳的，但平稳过程不一定都具有各态历经性。,补充：平稳随机过程遍历性的判断,第四章 随机变量的相关分析,对随机向量来说，除了研究每个分量的数学期望和方差以外，还希望知道分量之间的相关程度，因此引进协方差和相关系数这两个概念。,定义,计算公式：,4.1 协方差的概念及其性质,其中,协方差的性质：,1. 对称性：,2. 线性性：,3. 若X和Y相互独立，则,因为X和Y相互独立,注意：反之未必成立。,4.,类似地有,推广：,因此，若X1,X2, ,Xn两两独立,，则有,协方差的大小在一定程度上反映了X和Y相互间的关系，但它还受X与

36、Y本身度量单位的影响. 例如：,Cov(kX, kY)=k2Cov(X,Y),为了消除量纲的影响，下面提出随机变量标准化的概念 .,可以验证，,标准化随机变量消除了量纲的影响。,4.2 相关系数的概念及其性质,定义,设 D(X)0, D(Y)0,计算公式：,性质1,证,性质2,证,相关系数的性质：,性质2,证,相关系数是随机变量之间线性关系强弱的一个度量(参见如下的示意图).,| |的值越接近于1, Y与X的线性相关程度越高;,| |的值越接近于0, Y与X的线性相关程度越弱.,4.3 随机变量的线性相关性,定义,下列事实彼此等价：,若X与Y 相互独立，则X与Y 不相关。,定理,注意：,(2)

37、 在正态分布的场合,独立性与不相关性是一致的。,(1) 逆命题不成立,即X与Y 不相关时,不一定独立.,二维正态分布,前面已证: X,Y 相互独立,可以计算得,于是，对二维正态随机变量(X,Y )来说, X和Y 不相关与X和Y 相互独立是等价的.,4.4 相关函数和自相关函数,4.4 .1自相关函数自相关函数反映了随机过程在两个不同时刻取值的依赖性。一般来说，间隔越大，相关性越小。相关程度越高，说明过程越平稳，该随机变量出现的程度（概率）越高。,补充：平稳随机过程的相关时间,190,4.4.2 自相关函数的性质：, 自相关函数是偶函数, 周期平稳过程的自相关函数也是周期函数， 其周期与过程的周

38、期相同。,=0时的自相关函数就是均方值,191, 如果随机过程不是周期过程，则：,192, 自相关函数是一个有界函数,一般越大，则两时刻的随机变量X(t1)和X(t1+)之间的相关性愈差。,193,初相位是随机的正弦函数随机过程,x=Asin(t+)，其中是随机变量，其均值为零。, 原随机过程是周期各态历经的，其周期为,。而Rx()亦是周期函数,194,195,例：交流电电路中的电压和电流分别为v=Vsint，i=Isin(t+)瞬时功率P=vi=VIsintsin(t+)相应的平均功率为：,而自相关函数,比较P和Rx()，可见Rx()体现了随机过程的平均功率随时差的变化。,196,二、互相关

39、函数,两个随机过程：,197,定义：,的互相关函数。,描述：两个随机过程之间的线性依赖关系。,一般：,198,对于平稳过程：,对于各态历经过程：,其中x(t)、y(t+)分别是随机过程 的 代表性样本函数。,199,（1）,互相关函数一般不是的偶函数，一般也不在 0时取极大值。,Rxy()与Ryx() = Rxy(-)之间一般并没有关系。,互相关函数的性质：,200,（2） Rxy()是有界函数,证明：,201,互协方差：,结论：,202,互相关系数：,当X，Y的均值都等于零时，互相关系数就等于规范化互协方差。,定义：,规范化互协方差,203,（3）Rxy()与Rx(0)，Ry(0)之间的关系,204,（4）两个统计独立的随机变量一定是不相关的， 但两个不相关的随机变量不一定是统计独立的。,证明：,