同济大学第五版高等数学(下)ppt课件D113幂级数.ppt
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1、,第三节,一、函数项级数的概念,二、幂级数及其收敛性,三、幂级数的运算,幂级数,机动 目录 上页 下页 返回 结束,第十一章,一、 函数项级数的概念,设,为定义在区间 I 上的函数项级数 .,对,若常数项级数,敛点,所有收敛点的全体称为其收敛域 ;,若常数项级数,为定义在区间 I 上的函数, 称,收敛,发散 ,所有,为其收,为其发散点,发散点的全体称为其发散域 .,机动 目录 上页 下页 返回 结束,为级数的和函数 , 并写成,若用,令余项,则在收敛域上有,表示函数项级数前 n 项的和, 即,在收敛域上, 函数项级数的和是 x 的函数,称它,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例如, 等比级数
2、,它的收敛域是,它的发散域是,或写作,又如, 级数,级数发散 ;,所以级数的收敛域仅为,有和函数,机动 目录 上页 下页 返回 结束,二、幂级数及其收敛性,形如,的函数项级数称为幂级数,其中数列,下面着重讨论,例如, 幂级数,为幂级数的系数 .,即是此种情形.,的情形, 即,称,机动 目录 上页 下页 返回 结束,收敛,发散,定理 1. ( Abel定理 ),若幂级数,则对满足不等式,的一切 x 幂级数都绝对收敛.,反之, 若当,的一切 x , 该幂级数也发散 .,时该幂级数发散 ,则对满足不等式,证: 设,收敛,则必有,于是存在,常数 M 0, 使,阿贝尔 目录 上页 下页 返回 结束,当
3、时,收敛,故原幂级数绝对收敛 .,也收敛,反之, 若当,时该幂级数发散 ,下面用反证法证之.,假设有一点,满足不等式,所以若当,满足,且使级数收敛 ,面的证明可知,级数在点,故假设不真.,的 x , 原幂级数也发散 .,时幂级数发散 ,则对一切,则由前,也应收敛,与所设矛盾,证毕,机动 目录 上页 下页 返回 结束,幂级数在 (, +) 收敛 ;,由Abel 定理可以看出,中心的区间.,用R 表示幂级数收敛与发散的分界点,的收敛域是以原点为,则,R = 0 时,幂级数仅在 x = 0 收敛 ;,R = 时,幂级数在 (R , R ) 收敛 ;,(R , R ) 加上收敛的端点称为收敛域.,R
4、称为收敛半径 ,,在R , R ,可能收敛也可能发散 .,外发散;,在,(R , R ) 称为收敛区间.,机动 目录 上页 下页 返回 结束,定理2. 若,的系数满足,证:,1) 若 0,则根据比值审敛法可知:,当,原级数收敛;,当,原级数发散.,即,时,1) 当 0 时,2) 当 0 时,3) 当 时,即,时,则,机动 目录 上页 下页 返回 结束,2) 若,则根据比值审敛法可知,绝对收敛 ,3) 若,则对除 x = 0 以外的一切 x 原级发散 ,对任意 x 原级数,因此,因此,的收敛半径为,说明:据此定理,因此级数的收敛半径,机动 目录 上页 下页 返回 结束,对端点 x =1,的收敛半
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