可降阶高阶微分方程ppt课件.ppt

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1、13-1,2022/11/20,可降阶高阶微分方程,机动 目录 上页 下页 返回 结束,第4节,一、 型的微分方程,二、 型的微分方程,三、 型的微分方程,13-2,2022/11/20,解法：,特点：,一、y(n) = f (x) 型微分方程,2/10,13-3,2022/11/20,例1.,解:,机动 目录 上页 下页 返回 结束,13-4,2022/11/20,设,原方程化为一阶方程,设其通解为,则得,再一次积分, 得原方程的通解,机动 目录 上页 下页 返回 结束,二、y = f (x,y) 型微分方程,特点：,解法：,因变量换元,13-5,2022/11/20,例2. 求解,解:,代

2、入方程得,分离变量,积分得,利用,于是有,两端再积分得,利用,因此所求特解为,机动 目录 上页 下页 返回 结束,13-6,2022/11/20,令,故方程化为,设其通解为,即得,分离变量后积分, 得原方程的通解,机动 目录 上页 下页 返回 结束,三、 y = f (y,y) 型微分方程,特点：,解法：,13-7,2022/11/20,例3. 求解,代入方程得,两端积分得,(一阶线性齐次方程),故所求通解为,解:,机动 目录 上页 下页 返回 结束,13-8,2022/11/20,例4. 解初值问题,解: 令,代入方程得,积分得,利用初始条件,根据,积分得,故所求特解为,得,机动 目录 上页

3、 下页 返回 结束,13-9,2022/11/20,为曲边的曲边梯形面积,上述两直线与 x 轴围成的三角形面,例5.,二阶可导, 且,上任一点 P(x, y) 作该曲线的,切线及 x 轴的垂线,区间 0, x 上以,解:,于是,在点 P(x, y) 处的切线倾角为 ,满足的方程 .,积记为,( 99 考研 ),机动 目录 上页 下页 返回 结束,13-10,2022/11/20,再利用 y (0) = 1 得,利用,得,两边对 x 求导, 得,定解条件为,方程化为,利用定解条件得,得,故所求曲线方程为,机动 目录 上页 下页 返回 结束,13-11,2022/11/20,内容小结,可降阶微分方

4、程的解法, 降阶法,逐次积分,令,令,机动 目录 上页 下页 返回 结束,13-12,2022/11/20,思考与练习,1. 方程,如何代换求解 ?,答: 令,或,一般说, 用前者方便些.,均可.,有时用后者方便 .,例如,2. 解二阶可降阶微分方程初值问题需注意哪些问题 ?,答: (1) 一般情况 , 边解边定常数计算简便.,(2) 遇到开平方时, 要根据题意确定正负号.,机动 目录 上页 下页 返回 结束,13-13,2022/11/20,速度,大小为 2v, 方向指向A ,提示: 设 t 时刻 B 位于 ( x, y ), 如图所示, 则有,去分母后两边对 x 求导, 得,又由于,设物体 A 从点( 0, 1 )出发, 以大小为常数 v,备用题,的速度沿 y 轴正向运动,物体 B 从 (1, 0 ) 出发,试建立物体 B 的运动轨迹应满,足的微分方程及初始条件.,机动 目录 上页 下页 返回 结束,13-14,2022/11/20,代入 式得所求微分方程:,其初始条件为,机动 目录 上页 下页 返回 结束,