华东师范大学《数学分析（第四版）》ppt课件.ppt

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1、在第一章与第二章中, 我们已经证明了实数集中的确界定理、单调有界定理、柯西收敛准则、致密性定理. 这几个定理反映了实数的一种特性,这种特性称之为完备性. 而有理数集是不具备这种性质的. 在本章中, 将着重介绍与上述四个定理的等价性定理及其应用.这些定理是数学分析理论的基石.,1 关于实数集完备性的基本定理,返回,一、区间套定理,二、聚点定理与有限覆盖定理,三、实数完备性基本定理的等价性,定义1,定义1 中的条件1 实际上等价于条件,一、区间套定理,定理7.1(区间套定理),或者,推论 设 an ,bn 是一个区间套,注1 该推论有着很强的应用价值,请大家务必牢记.,注2 区间套定理中的闭区间若

2、改为开区间, 那么结,论不一定成立. 例如对于开区间列 , 显然,但是定理1中的 是不存在的, 这是因为,例1.用区间套定理证明连续函数根的存在性定理,定义2 设 S 为数轴上的非空点集, 为直线上的,一个定点(当然可以属于 S, 也可以不属于S). 若对,于任意正数 ,在 ( , +) 中含有S 的无限个点,二、聚点定理与有限覆盖定理,为了便于应用,下面介绍两个与定义 2 等价的定义.,定义2,定义2若存在各项互异的收敛数列,下面简单叙述一下这三个定义的等价性.,若设 S 是 0, 1中的无理数全体, 则 S 的聚点集合,为闭区间 0, 1.,定义2 定义2 由定义直接得到.,定义2 定义2

3、 因为,那么,互异,并且,定义2定义2 由极限的定义可知这是显然的.,定理7.2 (魏尔斯特拉斯Weierstrass 聚点定理),实数轴上的任意有界无限点集 S 必有聚点.,我们再次使用区间套定理来证明聚点定理, 请务必,证 因为S为有界点集, 所以存在正数 M, 使,现将 a1, b1 等分为两个子区间 a1, c1, c1,b1,中至少有一,个区间含有 S 的无限多个点. 记该区间为a2, b2.,要注意在区间套的构成中所建立的性质 (iii).,再将a2, b2等分为两个子区间. 同样至少有一个子,区间含有 S 的无限多个点, 将这个区间记为a3, b3.,(iii) 每个闭区间an,

4、 bn 均含S 的无限多个点.,无限重复这个过程, 就可得到一列闭区间,所以由所建立的性质(iii),这就证明了 是 S 的一个聚点.,定理7.2 有一个非常重要的推论(致密性定理).该,定理在整个数学分析中,显得十分活跃.,证 设xn为有界数列, 若xn 中有无限项相等, 取,这些相等的项可成一个子列. 该子列显然是收敛,若数列xn 不含有无限多个相等的项, 则xn作为,点集是有界无限点集. 由聚点原理, 可设 是xn 的一个,推论(致密性定理) 有界数列必有收敛子列.,的.,一个各项互异的子列 收敛于 .,聚点, 那么再由定义 2 ,可知 xn 中有,定义3 设 S 为数轴上的一个点集,H

5、为一些开区间,则称 H 是 S 的一个开覆盖.,若 H是 S 的一个开覆盖, 并且H 中的元素(开区间),仅有有限个, 则称 H 是 S 的一个有限开覆盖.,一个开覆盖.,定理7.3 (海涅博雷尔有限覆盖定理),设 H是闭区间 a, b 的一个开覆盖, 则从 H 中可选,海涅( Heine,H.E. 1821-1881,德国 ),博雷尔( Borel,E.1871-1956, 法国 ),出有限个开区间,构成闭区间 a, b 的一个子覆盖.,证明：本定理证明方法 多种，这里采用 区间套定理。,若定理不成立, 也就是说 a, b不能被 H 中任何,再将 a1, b1 等分成两个子区间, 其中至少有

6、一个,有限个开区间所覆盖. 将区间a, b等分成两个子,区间, 那么这两个子区间中至少有一个不能被 H,不能被 H 中有限个开区间所覆盖. 设该区间为,显然有,(iii) 对每一个闭区间 an, bn, 都不能被 H 中有限个,满足下列三个性质:,将上述过程无限进行下去, 可得一列闭区间,这就是说, aN , bN 被 H 中的一个开区间所覆盖,开区间所覆盖.,矛盾.,区间 (0, 1). 很明显, H 中的任何有限个开区间均不,注 定理7.3中的闭区间不可以改为开区间.,能覆盖 (0, 1).,例2：用有限覆盖定理证明：闭区间上连续函数的,有界性定理。,我们已经学习了关于实数完备性的六个定理, 它,三、实数完备性定理的等价性,确界定理 单调有界定理 区间套定理,下面证明这六个定理是等价的.,们是:,聚点定理,（致密性定理）,有限覆盖定理 柯西收敛准则,柯西收敛准则,区间套定理,聚点定理,确界定理,有限覆盖定理,单调有界定理,6,5,4,3,2,1,例3 用有限覆盖定理证明聚点定理.,证 设 S 是无限有界点集, 则存在 M 0, 使得,很明显, H 覆盖了闭区间 M, M. 根据有限覆盖,设开区间集,矛盾.,定理, 存在 H 中的有限子覆盖,覆盖-M, M ，进而覆盖 S.,