二元函数的极限ppt课件.ppt

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1、2 二元函数的极限,与一元函数的极限相类似， 二元函数的极限,同样是二元函数微积分的基础. 但因自变量个数,的增多, 导致多元函数的极限有重极限与累次极,限两种形式, 而累次极限是一元函数情形下所不,会出现的.,一、二元函数的极限,二、累次极限,一、二元函数的极限,时, 都有,常写作,例1 依定义验证,证 因为,不妨先限制在点(2, 1)的方邻域,内来讨论, 于是有,当,时, 就有,这就证得,所以,例2 设,证明,证(证法一),可知,故,注意 不要把上面的估计式错写成：,而并不要求,都有,下述定理及其推论相当于一元函数极限的海涅归,结原则(而且证明方法也相类似).,下面三个例子是它们的应用,存

2、在极限( 注: 本题结论很重要, 以后常会用到. ),解 当动点 (x, y) 沿着直线 而趋于定点 (0, 0),这说明动点沿不同斜率 m 的直线趋于原点时, 对应,的极限值不相同，因而所讨论的极限不存在,如图 16-15 所示, 当 (x, y) 沿任何直线趋于原点时,时的极限为 0. 因为当 (x, y) 沿抛物线,存在极限,解 利用定理 16.5 的推论 2, 需要找出两条路径, 沿,的极限,分母化为同阶的无穷小, 导致极限不为 0. 按此思路,这就达到了预期的目的,( 非正常极限 ) 的定义,或,仿此可类似地定义：,证 此函数的图象见图16 -16.,这就证得结果,二元函数极限的四则

3、法则与一元函数极限相仿, 特,同, 这里不再一一叙述.,二、累次极限,极限. 下面要考察 x 与 y 依一定的先后顺序, 相继趋,由于此极限一般与 y 有关, 因此记作,而且进一步存在极限,极限, 并记作,或简记作,类似地可以定义先对 y 后对 x 的累次极限:,累次极限与重极限是两个不同的概念, 两者之间没,有蕴涵关系. 下面三个例子将说明这一点.,从而又有,同理可得,这说明 f 的两个累次极限都存在而且相等.,累次极限分别为,知所得极限也不同. 因此该函数的重极限不存在.,(下面的定理 16.6 将告诉我们, 这个结果是必然的.),个累次极限都不存在. 这是因为对任何,时, f 的第二项不

4、存在极限. 同理, f 的第一,项当 时也不存在极限. 但是由于,故按定义1 知道 f 的重极限存在, 且,下述定理告诉我们: 重极限与累次极限在一定条件,下也是有联系的.,定理16.6 若 f (x, y) 在点 存在重极限,证 设,的 x, 存在极限,另由存在累次极限之假设, 对任一满足不等式,由这个定理立即导出如下两个便于应用的推论.,推论1 若累次极限,和重极限,都存在, 则三者相等.,推论2 若累次极限,存在.,请注意: (i) 定理 16.6 保证了在重极限与一个累次,极限都存在时, 它们必相等. 但对另一个累次极限的,存在性却得不出什么结论, 对此只需考察本节习题,之 2(5).,(ii) 推论 1 给出了累次极限次序可交换的一个充分,条件；,(iii) 推论 2 可被用来否定重极限的存在性(如例8 ).,例10 设,试证明:,证,根据柯西准则, 证得,又有,这就证得,注 本例给出了二累次极限相等的又一充分条件. 与,定理16. 6 的推论1 相比较, 在这里的条件 (i) 与 (ii),复习思考题,试问累次极限,是否就是动点,