离散数学屈婉玲第九章ppt课件.ppt

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1、1,第三部分 图论,本部分主要内容 图的基本概念 树 欧拉图与哈密顿图 二部图与匹配 平面图 着色,2,第九章 图的基本概念,主要内容图通路与回路图的连通性图的矩阵表示预备知识多重集合元素可以重复出现的集合无序集AB=(x,y) | xAyB,14.1 图,定义9.1 无向图G = , 其中(1) V为非空有穷集, 称为顶点集，其元素称为顶点(2) E为VV 的多重有穷集, 称为边集, 其元素称为无向边, 简称边例 无向图G = , 其中 V = v1, v2, v3, v4, v5, E = (v1,v1), (v1,v2), (v2,v3), (v2,v3), (v2,v5), (v1,v

2、5), (v4,v5),4,有向图,定义9.2 有向图D=,其中(1) V 为非空有穷集, 称为顶点集，其元素称为顶点(2) E为VV 的多重有穷集, 称为边集, 其元素称为有向边, 简称边例 有向图D=, 其中V=a,b,c,dE=, , 注意：图的集合表示与图形表示之间的对应,5,相关概念,1. 无向图和有向图通称图. 记顶点集V(G), 边集E(G). 2. 图的阶, n阶图.3. n 阶零图Nn, 平凡图N1.4. 空图.5. 标定图与非标定图.6. 有向图的基图.7. 无向图中顶点与边的关联及关联次数, 顶点与顶点、边与 边的相邻关系.8. 有向图中顶点与边的关联, 顶点与顶点、边与

3、边的相邻关 系.9. 环, 孤立点.,6,多重图与简单图,定义9.3 无向图中关联同一对顶点的2条和2条以上的边称为平行边. 有向图中2条和2条以上始点、终点相同的边称为平行边. 平行边的条数称为重数.含平行边的图称为多重图, 不含平行边和环的图称为简单图.定义9.4 设G=为无向图, vV, 称v作为边的端点的次数之和为v的度数, 简称度, 记作d(v). 设D=为有向图, vV, 称v作为边的始点的次数之和为v的出度, 记作d+(v); 称v作为边的终点的次数之和为v的入度, 记作d(v); 称d+(v)+d(v)为v的度数, 记作d(v).,7,顶点的度数,设G=为无向图, G的最大度(

4、G)=maxd(v) | vV G的最小度 (G)=mind(v) | vV 设D=为无向图, D的最大度(D)=maxd(v) | vV D的最小度 (D)=mind(v) | vV D的最大出度+(D)=maxd+(v) | vV D的最小出度 +(D)=mind+(v) | vV D的最大入度(D)=maxd(v) | vV D的最小入度 (D)=mind(v) | vV 悬挂顶点: 度数为1的顶点, 悬挂边: 与悬挂顶点关联的边.偶度(奇度)顶点: 度数为偶数(奇数)的顶点,8,实例,d(v1)=4, d(v2)=4, d(v3)=2, d(v4)=1, d(v5)=3.=4, =1.

5、v4是悬挂点, e7是悬挂边.,d+(a)=4, d(a)=1, d(a)=5, d+(b)=0, d(b)=3, d(b)=3, d+(c)=2, d(c)=1, d(c)=3, d+(d)=1, d(d)=2, d(d)=3, +=4, +=0, =3, =1, =5, =3.,9,定理9.1 在任何无向图中, 所有顶点的度数之和等于边数的2倍.,证 G中每条边 (包括环) 均有两个端点，所以在计算G中各顶点度数之和时，每条边均提供2度，m 条边共提供 2m 度.,握手定理,定理9.2 在任何有向图中，所有顶点的度数之和等于边数的2倍; 所有顶点的入度之和等于所有顶点的出度之和, 都等于边

6、数.,推论 任何图 (无向或有向) 中，奇度顶点的个数是偶数.证 由握手定理, 所有顶点的度数之和是偶数, 而偶度顶点的度数之和是偶数, 故奇度顶点的度数之和也是偶数. 所以奇度顶点的个数必是偶数,10,例1 无向图G有16条边，3个4度顶点，4个3度顶点，其余均为2度顶点度，问G的阶数n为几？,解 本题的关键是应用握手定理. 设除3度与4度顶点外，还有x个顶点, 由握手定理, 162=32 = 34+43+2x解得 x = 4, 阶数 n = 4+4+3=11.,握手定理应用,定理9.3 设G为任意n阶无向简单图，则(G)n1,图的同构,定义9.5 设G1=, G2=为两个无向图(两个有向图

7、)，若存在双射函数f:V1V2, 使得vi,vjV1, (vi,vj)E1 当且仅当 (f(vi),f(vj)E2 （E1 当且仅当 E2 )并且, (vi,vj)（）与 (f(vi),f(vj)（）的重数相同，则称G1与G2是同构的，记作G1G2.,12,图同构的实例,(1) (2) (3) (4),(1)与(2), (3)与(4), (5)与(6)均不同构.,(5) (6),说明: 1. 图的同构关系具有自反性、对称性和传递性. 2. 判断两个图同构是个难题,图同构的实例,所有4阶3条边非同构的简单无向图,13,所有3阶2条边非同构的简单有向图,补图与自补图,定义9.6 设G=为n阶无向简

8、单图，令 =(u,v) | uVvVuv(u,v)E,称 =为G的补图 若G 则称G是自补图,例,(b)与(c)互为补图，(a)是自补图,15,完全图与竞赛图,定义9.7 (1) n (n1) 阶无向完全图每个顶点与其余顶点均相邻的无向简单图，记作 Kn.简单性质：m=n(n-1)/2, =n-1(2) n (n1)阶有向完全图每对顶点之间均有两条方向相反的有向边的有向简单图.简单性质： m=n(n-1), =2(n-1) +=+=n-1(3) n (n1) 阶竞赛图基图为Kn的有向简单图.简单性质： m=n(n-1)/2, =n-1,正则图,K5 3阶有向完全图 4阶竞赛图,定义9.8 k-

9、正则图=k 的无向简单图简单性质：m=kn/2, 当k是奇数时, n必为偶数.例 Kn是 (n1)-正则图 彼得松图是3-正则图,子图,定义9.9 设两个图G=, G =（同为无向图或同为有向图）, 若VV且EE，则称G是G的子图，G为G 母图，记作G G. 又若VV或EE，则称G 为G的真子图. 若G G且V=V，则称G 为G的生成子图 设V1V且V1, 称以V1为顶点集, 以G中两个端点都在V1中的边组成边集的图为G中V1的导出子图, 记作GV1. 设E1E且E1, 称以E1为边集, 以E1中边关联的顶点为顶点集的图为G中E1的导出子图, 记作GE1例 G Ga,b,c Ge1,e3,18

10、,定义9.10 设G=为无向图 (1) 设eE，用Ge表示从G中去掉边e，称为删除边e又设EE，用 GE 表示从G中删除E 中的所有边，称为删除E (2) 设vV，用Gv表示从G中去掉v及所关联的所有边，称为删除顶点v又设V V，用GV 表示从G中删除V 中所有的顶点，称为删除V (3) 设e=(u,v)E，用Ge表示从G中删除e后，将e的两个端点u,v用一个新的顶点w（可以用u或v充当w）代替，并使w关联除e以外u,v关联的所有边，称为收缩边e (4) 设u,vV（u,v可能相邻，也可能不相邻），用G(u,v)（或G+(u,v)）表示在u,v之间加一条边(u,v)，称为加新边 在收缩边和加新

11、边过程中可能产生环和平行边,删除, 收缩与加新边,19,实例,20,9.2 通路与回路,定义9.11 设图G= (无向或有向的), G中顶点与边的交替序列 = v0e1v1e2elvl，如果vi1, vi 是 ei 的端点(始点和终点), 1il, 则称 为v0到vl的通路. v0,vl分别称作 的始点和终点. 中的边数l称作它的长度. 又若 v0=vl, 则称 为回路. 若所有的边各异, 则称 为简单通路. 又若v0=vl, 则称 为简单回路. 若 中所有顶点各异(除v0和vl可能相同外)且所有边也各异, 则称 为初级通路或路径. 若又有v0=vl, 则称 为初级回路或圈. 长度为奇数的圈称

12、为奇圈, 长度为偶数的圈称为偶圈. 若 中有边重复出现, 则 称为复杂通路. 若又有v0=vl, 则称 为复杂回路.,21,通路与回路,定理9.4 在n 阶图G中，若从顶点u 到v（uv）存在通路，则从u 到 v 存在长度小于或等于n1 的通路.推论 在 n 阶图G中，若从顶点u 到 v（uv）存在通路，则从u 到v 存在长度小于或等于n1的初级通路（路径）.定理9.5 在n 阶图G中，若存在 v 到自身的回路，则一定存在v 到自身长度小于或等于 n 的回路.推论 在n 阶图G中，若存在 v 到自身的简单回路，则一定存在v 到自身的长度小于或等于n 的初级回路.,22,同构意义下和定义意义下的

13、圈,例2 无向完全图Kn（n3）中有几种非同构的圈？,解 长度相同的圈都是同构的. 易知Kn(n3)中含长度3,4,n的圈，共有n2种非同构的圈,长度相同的圈都是同构的, 因此在同构意义下给定长度的圈只有一个. 在标定图中, 圈表示成顶点和边的标记序列. 如果只要两个圈的标记序列不同, 称这两个圈在定义意义下不同.,例3 无向完全图K3的顶点依次标定为a,b,c在定义意义下K3中有多少个不同的长度为3的圈？,解 在定义意义下, 不同起点(终点)的圈是不同的, 顶点间排列顺序不同的圈也是不同的, 因而K3中有3!=6个不同的长为3的圈：abca，acba，bacb，bcab，cabc，cbac,

14、23,带权图与最短路径,定义9.12 设图G= (无向图或有向图), 对G的每一条边e,给定一个数W(e),称作边e的权. 把这样的图称为带权图, 记作G=. 当e=(u,v)()时, 把W(e)记作W(u,v). 设P是G中的一条通路, P中所有边的权之和称为P的长度,记作W(P). 类似地, 可定义回路C的长度W(C). 设带权图G= (无向图或有向图), 其中每一条边e的权W(e)为非负实数. u,vV, 当u和v连通(u可达v)时, 称从u到v长度最短的路径为从u到v的最短路径, 称其长度为从u到v的距离, 记作d(u,v). 约定: d(u,u)=0; 当u和v不连通(u不可达v)时

15、, d(u,v)=+.,24,最短路问题,最短路问题: 给定带权图G=及顶点u和v, 其中每一条边e的权W(e)为非负实数, 求从u到v的最短路径.Dijkstra标号法 (求从s到其余各点的最短路径和距离)1. 令l(s)(s,0), l(v)(s,+) (vV-s), i1, l(s)是永久标号, 其余标号均为临时标号, us2. for 与u关联的临时标号的顶点v 3. if l2(u)+W(u,v) l2(v) then 令l(v)(u,l2(u)+W(u,v)4. 计算l2(t)=min l2(v) | vV且有临时标号, l(t)改为永久标号5. if in then 令ut, i

16、i+1, 转2对每一个u, d(s,u)= l2(u),根据l1(v)回溯找到s到u的最短路径.,25,实例,例9.5 一个总部和6个工地, 求从总部到各工地的最短路径解,26,实例,27,实例,28,实例,29,实例,v1v3v2, d(v1,v2)=13 v1v3, d(v1,v3)=10v1v3v5v4, d(v1,v4)=18 v1v3v5, d(v1,v5)=14v1v3v5v6, d(v1,v6)=16 v1v3v5v6v7, d(v1,v7)=22,30,9.3 图的连通性,定义9.13 设无向图G=，若u,vV之间存在通路，则称u,v是连通的，记作uv. 规定: vV vv 若

17、无向图G是平凡图或G中任何两个顶点都是连通的，则称G为连通图，否则称G为非连通图是V上的等价关系, 具有自反性、对称性和传递性定义9.14 设无向图G=，Vi是V关于顶点之间连通关系的一个等价类，称导出子图GVi为G的一个连通分支. G的连通分支数记为p(G),31,点割集与边割集,定义9.15 设无向图G=. 若VV使得p(GV )p(G), 且对于任意的V V, 均有p(GV)=p(G), 则称V是G的点割集.若V =v, 则称v为割点定义9.16 设无向图G=, 若EE使得p(GE )p(G), 且对于任意的EE, 均有p(GE)=p(G), 则称E是G的边割集，简称为割集. 若E =e

18、, 则称e为割边或桥,例3 v1,v4，v6是点割集，v6是割点. v2,v5不是.e1,e2，e1,e3,e5,e6，e8等是边割集，e8是桥. 而e7,e9,e5,e6 不是.,32,点连通度与边连通度,定义9.17 G为连通非完全图, 称 (G) = min |V |V 为点割集 为G的点连通度, 简称连通度. 若(G)k，则称G为 k-连通图 . 规定 (Kn) = n1, 非连通图的连通度为0.定义9.18 设G为连通图, 称 (G) = min|E|E为边割集为G的边连通度. 若(G)r，则称G是 r 边-连通图. 规定非连通图的边连通度为0.,例 =2, 2-连通图, 也是1-连

19、通. =2, 2边-连通图, 也是1边-连通.,33,几点说明,(Kn)=(Kn)=n1G非连通，则 =0若G中有割点，则=1，若有桥，则=1若(G)=k, 则G是1-连通图，2-连通图，k-连通图，但不是(k+s)-连通图，s1若(G)=r, 则G是1边-连通图，2边-连通图，r边-连通图，但不是(r+s)-边连通图，s1定理9.6 (G)(G)(G),34,有向图的连通性及分类,定义9.19 设D=为一个有向图, vi,vjV, 若从vi到vj存在通路, 则称vi可达vj, 记作vivj . 规定vi vi. 若vivj且vjvi，则称vi与vj是相互可达的, 记作vivj. 规定vivi

20、性质: 具有自反性(vi vi)、传递性 具有自反性、对称性、传递性 定义9.20 若有向图D=V,E)的基图是连通图, 则称D是弱连通图, 简称为连通图. 若vi,vjV, vivj与vjvi至少有一个成立，则称 D是单向连通图. 若vi,vjV, 均有vivj, 则称D是强连通图,35,有向图的连通性,强连通 单向连通 弱连通,定理9.7 有向图D=是强连通图当且仅当D中存在经过每个顶点至少一次的回路证 充分性显然. 证必要性. 设V=v1,v2,vn, i为vi到vi+1的通路( i=1,2,n1), n为vn到v1的通路. 依次连接1, 2, , n1, n所得到的回路经过D中每个顶点

21、至少一次定理9.8 有向图D是单向连通图当且仅当D中存在经过每个顶点至少一次的通路,例,扩大路径法,设G=为无向图, 为G中一条路径. 若此路径的两个端点都不与通路外的顶点相邻, 则称 是极大路径.任取一条边, 如果它有一个端点与其他的顶点相邻, 就将这条边延伸到这个顶点. 继续这一过程, 直至得到一条极大路径为止. 称此种方法为“扩大路径法”. 用扩大路径法总可以得到一条极大路径. 在有向图中可类似讨论.,例 由一条路径扩大出的极大路径不惟一，极大路径不一定是最长的路径,37,扩大路径法的应用,例4 设 G 为 n（n3）阶无向简单图， 2，证明G 中存在长度 +1 的圈.,证 设 = v0

22、v1vl 是一条极大路径, 则 l . 因为v0 不与 外顶点相邻, 又 d(v0) , 因而在 上除 v1外, 至少还存在1个顶点与 v0 相邻. 设 vx 是离 v0 最远的顶点, 于是v0v1vxv0 为 G 中长度 +1 的圈.,38,9.4 图的矩阵表示,无向图的关联矩阵定义9.21 无向图G=，|V|=n，|E|=m，令 mij为 vi 与 ej的关联次数，称(mij)nm为G 的关联矩阵，记为M(G).,例,39,无向图关联矩阵的性质,40,定义9.22 设有向图D=中无环，令则称 (mij)nm为D的关联矩阵，记为M(D).,例,有向图(无环)的关联矩阵,41,(1) 每列恰好

23、有一个+1和一个-1(2) -1的个数等于+1的个数，都等于边数m.第i行中，+1的个数等于d+(vi)，-1的个数等于d(vi)(4) 平行边对应的列相同,有向图关联矩阵的性质,42,有向图的邻接矩阵,定义9.23 设有向图D=, V=v1, v2, , vn, 令 为顶点 vi 邻接到顶点 vj 边的条数，称( )为D的邻接矩阵，记作A(D)，或简记为A.,例,43,有向图邻接矩阵的性质,定理9.9 设 A为有向图 D 的邻接矩阵, 顶点集V=v1,v2, vn，则 A 的 l 次幂 Al（l1）中元素,邻接矩阵的应用,45,例5 有向图D如图所示，求 A, A2, A3, A4，并回答诸

24、问题：(1) D 中长度为1, 2, 3, 4的通路各有多少条？其中回路分别为多少条？(2) D 中长度小于或等于4的通路为多少条？其中有多少条回路？,实例,46,(1) D中长度为1的通路为8条，其中有1条是回路. D中长度为2的通路为11条，其中有3条是回路. D中长度为3的通路为14条，其中有1条是回路. D中长度为4的通路为17条，其中有3条是回路. (2) D中长度小于等于4的通路为50条，其中有8条是回路.,实例求解,47,定义9.24 设D=为有向图. V=v1, v2, , vn, 令,有向图的可达矩阵,称 (pij)nn 为D的可达矩阵，记作P(D)，简记为P. P(D)的主

25、对角线上的元素全为1. D 强连通当且仅当 P(D)为全1矩阵.,例,48,第九章 习题课,主要内容无向图和有向图及其有关的概念; 握手定理及其推论；图的同构通路与回路无向图的连通性与连通度有向图的连通性及其分类图的矩阵表示,49,基本要求,深刻理解图及其有关的概念深刻理解和灵活地应用握手定理及推论记住通路与回路的定义、分类及表示法深刻理解与无向图连通性、连通度有关的诸多概念会判别有向图连通性的类型熟练掌握用邻接矩阵及其幂求有向图中通路与回路数的方法，会求可达矩阵,50,19阶无向图G中，每个顶点的度数不是5就是6. 证明G中至少有5个6度顶点或至少有6个5度顶点.,练习1,证 关键是利用握手

26、定理的推论. 方法一：穷举法设G中有x个5度顶点，(9x)个6度顶点，由于奇度顶点的个数是偶数，(x, 9x)只有5种可能：(0,9), (2,7), (4,5), (6,3), (8,1）它们都满足要求.,方法二：反证法否则，至多有4个5度顶点并且至多有4个6度顶点，这与G是 9 阶图矛盾.,51,2存在以2, 2, 2, 2, 3, 3为顶点度数的简单图吗？若存在，画出尽可能多的这种非同构的图来.,练习2,解,52,证 用扩大路径法证明.设 +, 证明D中存在长度 +1的圈. 设 = v0v1vl为极大路径, 则l . 在 上存在d(v0) 个顶点 邻接到v0, 设vk是其中离v0最远的顶

27、点, k . 于是, v0v1vkv0为D中长度 +1的圈 . 当 + 时, 类似可证.,3设D=为有向简单图, 已知 (D) 2, +(D)0, (D)0, 证明D中存在长度 max +, +1的圈.,练习3,53,(1) D中有几种不同构的圈？(2) D中有几种不同构的非圈简单回路？(3) D是哪类连通图?(4) D中v1到v4长度为1,2,3,4的通路各多少条？(5) D中v1到v1长度为1,2,3,4的回路各多少条？(6) D中长度为4的通路（不含回路）有多少条？(7) D中长度为4的回路有多少条？(8) D中长度4的通路有多少条？其中有几条是回路？(9) 写出D的可达矩阵.,4有向图D如图所示，回答下列诸问：,练习4,54,解答,解 (1) 有3种非同构的圈，长度分别为1,2,3.,(2) 有3种非同构的非圈简单回路，它们的长度分别为 4,5,6.,(3) D是强连通的.,为解(4)(8), 先求D的邻接矩阵的前4次幂.,55,(4) v1到v4长度为1,2,3,4的通路数分别为0,0,2,2. (定义意义下).,解答,(5) v1到v1长度为1,2,3,4的回路数分别为1,1,3,5.,(6) 长度为4的通路(不含回路)为33条.,(7) 长度为4的回路为11条.,(8) 长度4的通路88条，其中22条为回路.,(9) 44的全1矩阵.,