《弦切角定理》ppt课件.ppt

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1、弦切角,P,A,B,使PA与圆相切,弦切角,顶点在圆上， 一边与圆相交，另一边与圆相切,PAB的顶点及两边与圆的位置关系是怎样？,的角叫做弦切角,是弦切角PAB所夹的弧。,顶点在圆上，一边与圆相交，另一边与圆相切的角叫做弦切角。,下面五个图中的BAC是不是弦切角？,从数学的角度看，弦切角能分成几大类？,求证：BACP, BACQ,( 1 ) 圆心O在BAC的外部,BAQACQ90,BAC90CAQ,Q90CAQ,作O的直径AQ，连结CQ,( 2 )圆心O在BAC的边AC上, AB是O的切线， BAC90, BACP,Q,( 3 ) 圆心O在BAC的内部, BACP,DACQ,P180Q,作O的

2、直径AQ，连结CQ,BAC180DAC,弦切角等于所夹弧对的圆周角。,D,1= ；2= ；3= ；4= 。,课堂练习：,1、已知AB是O的切线A为切点,由图填空：,O,O,O,A,A,A,B,B,B,30,70,25,3,1,2,4,30,70,65,80,40,弦切角等于它所夹的弧对的圆心角的一半.,2、选择： AB为O直径，PC为O的切线，C为切点，若BPC=30，则BCP=（ ）。A、 30B、 60C、 15D、22. 5,A,3、如图：四边形ABCD为圆内接四边形，AB是直径，MN切O于C点，BCM=38，那么ABC的度数是（ ）。A、38B、52C、68 D、42,38,B,O,A

3、,B,C,M,N,D,弦切角定理：弦切角等于它所夹的弧对的圆周角。, DAB EAC,推论：两个弦切角所夹的弧相等， 那么这两个弦切角相等。,如图，DE切O于点A，AB、AC是O的弦，若 ，那么DAB与EAC是否相等？为什么？,例1：如图：已知AB是O的直径，AC是弦，直线CE和O切于点C，ADCE于D。求证：(1)AC平分BAD(2)AC2=2ADAO,例题解析,你还能用其他方法解答吗？试试看！,有弦切角，常连结弦切角所夹弧所对的圆周角。,O,A,B,C,D,E,2,1,3,例1:如图，已知AB是O的直径，AC是弦，直线CE和O切于点C，ADCE，垂足是D，求证：AC平分BAD.,例题解析(

4、思路2),连结OC,由切线性质,可得OCAD,于是有2=3,又由于1=3,可证得1=2,变式练习 如上图，连结DE、DF， 你能找出图中有哪些相等的角,哪些相似三角形?,例2: 如图,AD是ABC中BAC的平分线,经过点A的O与BC切于点D,与AB、AC分别相交于E、F. 求证：EFBC.,证明：连结DF.,AD是BAC的角平分线，BAD=DAC.,又EFD=BAD， EFD=DAC.,又O切BC于D, FDC= DAC.,FDC= EFD, EFBC,1.如图，AC是O的弦，BD切O于C，则图中弦切角有 个.,4,若AOC=1200,则 ACD = .,600,2.如图，直线MN切O于C，A

5、B是O的直径,若 BCM=400,则 ABC等于（ ）A.400 B. 500 C. 450 D.600,3.已知O是ABC的内切圆,D,E,F为切点,若 A: B: C=4:3:2, 则DEF = , FEC= .,B,500,700,课堂练习：,ACD, ACB, OCD, OCB.,A=800,B=600,C=400.,DOF=1000, DEF=500 .,C=400,CE=CF. FEC=700 .,6.如图,AB为O的直径,BC 、CD为O的切线, B 、D切点.求证:(1) AD/OC; (2)若O 的半径等于1,求AD OC 的值.,证明:(1)BC 、CD是O 的切线， B

6、、D切点.,OBC=ODC=900.,又 OA=OD, OAD=ODA.,而 BOD= OAD+ODA=2 OAD, 且 BOD2 BOC., BOC=DOC.,又OB=OD,OC=OC., OADBOC, AD/OC.,RtOBCRtODC.,(2)连接BD, OADBOC,RtOBCRtADB.,2、定理的发现,1、概念的引入,小结：,顶点在圆上，一边与圆相交，另一边与圆相切的角叫做弦切角。,弦切角定理：弦切角等于它所夹的弧对的圆周角。,推论：两个弦切角所夹的弧相等， 那么这两个弦切角相等。,一般情况下，弦切角、圆周角、圆心角都是通过它们夹的（或对的）同一条弧（或等弧）联系起来，因此，当已

7、知有切线时常添线构建弦切角或添切点处的半径应用切线的性质。,4、应用与推论,3、定理的证明,小结：,你掌握了吗？,相交弦定理、切割线定理、割线定理,CPPD=AP PB,1、如右图，由射影定理可以得出什么关系式？,2、根据垂径定理，改写上式：,将AB、CD改为两条对一般情形的相交弦，上式还会成立吗？,同学们，你们现在可以写出证明吗？,一1、定理：圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等。 2、弦AB和CD交与O内一点P，那么 PAPB=PCPD,P,相交弦定理,二1、推论：如果弦与直径垂直相交，那么弦的一半是它分直径所成的两条线段的比例中项。 2、CD是弦，AB是直径，CD AB，垂足

8、是P， PC2=PAPB,交点P在圆内,思考,？,已知：点P为O外一点，割线PBA、PDC分别 交O于A、B和C、D（如下图）求证：PAPB=PCPD,证明：连接AC、BD，四边形ABDC为O 的内接四边形PDB= PAC，又 P=P PBD PCA PD ：PA=PB ：PC PAPB=PCPD,割线定理： 从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每一条割线与圆的交点的两条线段的乘积相等,PAPC=PBPD,PAPB=PCPD,点C、D重合为一点会有什么结论？,切割线定理： 从圆外一点引圆的一条割线和一条切线，这一点到割线与圆的交点的两条线段的乘积等于切线长的平方,PC切O于点C点 = PAPB=

9、PC2,思考：从这几个定理的结论里大家能发现什么特征？,结论都为乘积式,几条线段都是从同一点出发,都是通过三角形相似来证明（都隐含着三角形相似）,我们学过的定理中还有结论为乘积式的吗？,交端交端=交端交端,PAPB = PDPC,PT2 =PAPB,PCPD =PAPB,相交弦定理,切割线定理,切割 推线 定 论理,1.填空题 (1) 如图，弦AB和CD相交于O内一点G，则有GCGD= ,GBGA,(3) 如图，弦AB垂直于O直径MN于Q，MN：QN=5：1，AB=8，则MN= ，,10,(2) 已知：如图，弦AB与CD相交于P且PC=PD,AP=3，PB=1，CD=,(4)O中，弦CD把AB

10、分成4cm和3cm两部分，CD被AB分为3：1两部分，则这两部分长分别是 cm和 cm.,2,6,A,C,例2：已知：如图，AB是圆O的弦，P是AB上的一点，AB=8.5cm，OP=3cm，PA=6cm，求圆O的半径。,例3、如图：在O中，P是弦AB上一点，OPPC，PC 交O于C 求证：PC2PAPB,例3 已知:如图, O的割线PAB交O于点A和B，PA=6cm，AB=8 cm，PO=10.9cm，求O的半径。,解:设O的半径为r,PO和它的延长线交O于C、D，由切割线定理的推论，有：,PAPB = PDPC,PA=6 PB=6+8=14 PC=10.9-r PD=10.9+r,故 (10

11、.9-r ) (10.9+r)=614,取正数解,得r=5.9(cm),答: O的半径为5.9cm,另解,利用垂径定理,法三:,利用切割线定理,T,练习三：如图，圆o1和圆o2都经过点A和 B，点P在BA的延长线上。过点P作圆O1的割线PMN交圆O1于M .N，作圆O2的切线PC交圆O2于C。求证：PMPN =PC2。,P,N,B,A,C,M,o1,o2,证明:,PC切圆O2于CPAB是圆O2的割线,PC2 = PAPB,PAB是圆O1的割线PMN是圆O1的割线,PAPB = PMPN,PMPN =PC2,P,B,A,o1,o2,练习四：如图，圆o1和圆o2都经过点A和 B，点P在BA的延长线

12、上。过点P作圆O1的切线PC切圆O1于C，作圆O2的切线PD切圆O2于D。求证：PC =PD。,C,D,P,B,A,o1,C,D,练习五：如图，圆o1，圆o2，圆o3都经过点A和 B，点P是BA的延长线上一点。PC，PD，PE 分别与圆o1，圆o2，圆o3 相切于C，D，E ，求证：C，D，E 在同一个圆上。,提示：PC = PD = PE ,E,o3,o2,提高题：如图，PA切圆O于A，PBC是圆O的割线，D是PA的中点，DC交圆O于E。 求证：1）PD2=DEDC；2） 1= C。,P,A,E,B,C,O ,1,F,G,分析：,思考题: 若延长PE交圆O于F,BF交CD于G求证: PCBG=PD BC,D,P,1. PD=DA,且DA2=DE DC,2. PD:DE=DC:PD, PDE= CDP,则: PDE CDP,从而: 1= C,