分层介质中弹性波的传播ppt课件.ppt
《分层介质中弹性波的传播ppt课件.ppt》由会员分享,可在线阅读,更多相关《分层介质中弹性波的传播ppt课件.ppt(137页珍藏版)》请在三一办公上搜索。
1、第四章分层介质中弹性波的传播,在地震勘探中我们所研究的地球介质,按其物性变化是分层的,具有层状结构。因此,讨论在两种弹性性质不同的介质分界面上波的现象,是十分重要的。 地球表面是一个特殊的分界面、它将无限介质划分为两个半空间。地面以上空气介质,其密度与地面以下的岩石或海平面以下的海水层相比可以忽略。地球表面可以看成是一个弹性半空间表面,称为自由表面,其上的应力作用为零。本章中将介绍弹性波在自由表面上的反射、在内部两种不同的弹性介质分界面上的反射和折射以及其它与自由表面和内部分界面相联系的波的现象,41 平面波在自由表面上的反射,一、解题坐标及位函数的选择,研究一个平面波入射到自由表面时的反射问
2、题。如图41 ,取直角坐标系x、y 、z, z0为弹性半无限空间的自由表面,z轴垂直向下,指向介质内部。有一平面波入射到自由表面。设波的射线与y轴垂直 。,这样 波函数将与y轴无关 。包含入射波和反射波射线及界面法线的射线平面与xoz平面重合。,我们知道,位移向量可以分解为梯度场和旋度场两部分。考虑到波函数与 y 轴无关,质点位移分量用位函数表示,式(25)可以写作(x,y,z三个方向的位移):,(4-1),(2-5),其中位移分量可以分为两组,一是由位移位 和 表示的 、 分量,代表着在xoz平面上质点的振动;另一组是由位移向量位分量 和 表示的位移分量 ,代表着质点在yoz平面上的振动。用
3、 表示 , 代表在xoz平面传播的纵波,而 代表在xoz 平面传播的横波,它所引起的质点振动发生在垂直平面xoz内。所以称为SV横波。位移分量 是在xoz 平面内传播的横波所引起的在y轴方向上的振动,这种横波称为SH横波。SV和SH两类横波,以其所引起的质点振动方向相区别,称为极化波。,通常,在动力学中分别讨论纵波P和横波SV,以及SH横波。对P和SV波, , ;对SH波, , 对前一组波使用标量位函数 和 , 对后一组波另外引用一个标量位 ,定义如下:,用来表示位移向量位分量 , 的一个标量函数,可以证明,它将满足横波波动方程:,(4-2),其中 ,为横波传播速度。,(4-3),二、P波和S
4、V波在自由表面上的反射,P和SV波的传播,将引起介质质点在xoz平面的振动。取位移位 和 作为P波和SV波波函数,它们将满足波动方程:,其中 、 分别表示纵波和横波的传播速度。使用分离变量法寻求这两个方程的一般解,形式如下:,其中c是波沿x方向的视速度, 。,(4-4),(4-5),将(4-5)代入式(4-4)中的相应方程,可以得到以z为变量的常微分方程:,它们的解是:,(4-6),(4-7),(4-8),将上式代入式(4-5)将得到 和 的一般解,,其中第一项是沿x的正方向,z负方向传播的简谐波。第二项是沿x正方向,z正方向传播的简谐波。这个简谐波函数可化为其它常见形式。,(4-9),(4-
5、10),分析一下波函数的复合变量。如图42所见, 为入射线。e为出射角,取 为波沿x方向的视速度,KA为波前面,则 为波沿射线的传播速度。在三角形OAK中,将 延长。与OZ相交于B, 为波沿z方向的视速度,,(4-11),(4-12),因此,可有:,其中 为波数; , 为波的入射方向的方向余弦。上式也可以写成:,以式(4-13)或式(4-14)为复合变量的波函数,如图4 -2所见,显然表示的是沿x正方向、z负方向传播的入射波。,(4-13),(4-14),当到自由表面有一个P波和SV波入射时,将产生一个P波和SV波反射波。如图43所示。图中e、f表示P波和SV波到自由表面的出射角,它们的余角i
6、d和is,称为波的入射角.由于入射波和反射波,沿分界面ox的视速度相等,即有一个波入射到分界面,就立刻产生反射波,与分界面相联系的各个波的波函数表达式,取其简谐形式解为:,(1)入射P波,(2)入射SV波,(3)反射P波,(4)反射SV波,其中C为各个波沿 方向的视速度。,(4-15),(4-16),(4-17),(4-18),对半空间而言,两个位移位 和 分别为:,其中 , . 因为其中 、 对各类波是共同参数。通解中包含的未定系数 , , , , 是各个简谐波的振幅,可根据自由表面上的边界条件来确定。,(4-19),(4-20),在自由表面上,从自由空间一侧对半无限弹性介质表面作用力等于零
7、,因而在z0的边界上,正应力 和切应力 应等于零。我们有边界条件:,根据关系式(4-1)以及(1-36),(1-41 ) ,用位移位 和 表示边界条件(4-21),(4-22),经演算可以得到:,(1) (4-21),(2) (4-22),(4-23),(4-24),讨论P波入射的情况, (画图形),将 , 代入边界条件(4-23)、式(4-24),整理后得到:,使用入射角参数id ,is整理上式,可以得到,其中,求解振幅比 , 他们称为反射系数,(4-25),(4-26),因此,求解方程组(4-26)可以得到:,(4-27),(4-28),根据视速度相等,画图说明id 和is 的关系,与自由
8、表明反射系数有关的几个问题,1作为位移振幅比的反射系数,我们已经导出了反射波与入射波的位移位振幅比,这里将计算位移振幅比,以建立两者之间的关系。为此,将入射P波、反射P波和反射SV波位移位 、 、 分别代入式(4-1),得到各类波相应的位移分量 、 、 ;反射系数等于z0处的反射波与入射波位移的振幅比。位移S根据其分量计算,有关系式如下:,(4-29),将式(4-15)、式(4-17)、式(4-18)代入式(4-1),并考虑关系式(4-29),得到z0处的反射波和入射波振幅比:,因此,位移振幅比等于位移位振幅比乘以相应的波速之比的倒数。,(4-30),(4-31),对吗?,2自由表面反射特点,
9、图4-4中以泊松体为例,绘出了自由表面反射系数A2A1,和A4 A1与P波入射角id的关系曲线。,当P波垂直入射到自由表面时,e90。或id= 0。 则有 , ;表示存在P波反射波,无SV反射波;当P波平行入射到自由面时, e0。或id= 90。 ,同上。,当P波入射角id在090。之间,可以找到使 A2A1为零的两个值,表示以这样的角度入射时,无反射P波存在。对泊松体,两个无反射P波的入射角是60。和77。13,这时介质中存在着转换SV反射波。,3.关于负反射系数的解释,P波入射到自由表面在大多数情况下,反射系数为负。在波垂直入射或平行入射时,反射系数为-1。这时,反射波振幅和入射波振幅符号
10、相反。,也就是说,如果一个入射脉冲头部为极大相位,则经自由表面反射后,其头部应为极小相位。或者说,两个脉冲相位差为180。事实上对时间因子ejwt乘以1,相当于 ,振动相位变化180;反射波与入射波位移方向相反,称为反相位。见右图。,4自由表面反射时各类波的能量关系,根据位移位振幅比可以找出反射波和入射波能量关系。 为此,讨论一个射线束。如图46所示,P波以id角入射到自由表面,产生一个P波反射波,反射角为 id ,以及一个SV波反射波,反射角为is。取一个入射波和反射波射线束,射线束,与自由表面斜交,设其截面为1,则入射波射线束宽,cosid,P波反射波射线束宽为cosid、SV波反射波射线
11、束宽为cosis 。能流密度I(见公式1119)乘以射线束横截面将等于在单位时间内波通过截面积为1的自由表面上的能量。它将等于在同一时间内反射波P和SV波自该段自由表面带走的能量。因此,我们可以列出能量关系:,上式经整理后可以得到:,(4-32),考虑到关系式,,上式又可改为,根据位移振幅比与位移位振幅比的关系,上式可变换为,利用上面两式,已知P波反射系数就可以计算转换SV波反射系数。或相反,已知PSV转波反射系数可以计算P波反射系数。,(4-33),(4-44),三、SH波在自由表面上的反射,SH波,根据所选坐标系及位函数,此时 研究位函数 ,它满足波动方程(43)。该方程的一般解可以写作:
12、,其中 为波数, 为入射波入射方向的方向余弦。当有一SH波入射到自由表面z0时,则有一个反射SH波产生。如图47所示。,(4-35),写出入射波和反射波的波函数,其形式如下:,1SH入射波:,2SH反射波:,所求解的波函数应满足自由表面上的边界条件。这些条件是作用于自由表面上的应力应等于零。作用于z0面的应力有 ;考虑到SH波的情况,这里只存在:,(4-36),(4-37),(4-38),或者,将式(4-2)代入式(4-39)可得(利用4-3):,其中考虑到波动方程(43)。这样,在z0时,我们有边界条件:,对整个介质而言, 将式(4-36)、(4-37)代入式(4-41)得:,(4-39),
13、(4-40),(4-41),整理以后可得:,由此可见,SH波在自由表面的反射,其反射系数为1,与入射角无关。且无转换波产生。,4-2 平面波在介质分界面上的反射和透射,设有一个水平面把无限空间分为两部分,各部分介质具有不同的弹性性质,其参数分别为 和 ;在两种介质中,纵波和横波传播速度分别表示为 和 ;今有一纵波P平面波以id角入射到介质分界面。,如图4-8所示,选择直角坐标系,使其y轴与波前面平行,z0平面与介质分界面重合。Z轴垂直向下指向第二介质,入射波P来自z0第一介质,则在第一介质中特产生P1纵波反射波,S1横波SV反射波.,在第二介质中将产生P2纵波透射波、S2横波SV透射波。在这种
14、情况下我们讨论纵波的传播问题,波函数与y轴无关。,一、波函数表达式,为说明解题方法的多样性,我们以位移函数:来求解平面波反射和透射问题。,取一平面简谐波其时间因子为,对于纵波来说,位移方向与波的传播方向一致,对横波来说,位移方向与波的传播方向垂直。设IP为入射波入射方向单位向量,则入射波位移函数表达式为:,(4-43),据惠更斯原理,当P波入射到分界面时,分界面上的每一点都可以看成是二次子波点震源,产生向上半空间z0传播的振动为反射波,而产生向下半空间z0传播的振动为透射波。与入射波一样,反射波和透射波也都将是平面简谐波。如前所述,这类波有四个,即反射波P1和S1,透射波P2和S2。,如图49
15、所示,在分界面z0上确定两个入射点。O和O1,入射波波前面 到达O1 点比到达O点时间要晚一个t;在t 时间间隔内,波前向前传播了一个距离 。若取tT 为一周期,则,为纵波在第一介质中的波长。另一方面,因为 为一个波长,所以O和O1点为两个相同相位点, 也是一个波长。,这不是沿波的传播方向的波长,在这里是沿分界面方向的波长,称之为视波长 。它与波长 的关系是:,由分界面反射的纵波P1,在tT 的时间间隔内,传播距离为 ;透射纵波P2在第二介质中在这个时间间隔内传播的距离是 ,它等于第二介质中纵波的波长 ;对转换波S1、S2也不难作出类似的讨论。如图4-9上的透射横波S2,在tT 时间间隔内传播
16、的距离是 ,是横波在第二介质中的波长。同理,第一介质中横波波长为 ,所有的波沿分界面方向的视波长都等于 ,因而可有关系式:,(4-44),其中id为P波入射角,id、is 为P波、SV波反射角,td、ts为P波、SV波透射波折射角。关系式(4-45)包括了反射定律和折射定律,通常称为斯奈尔定律。考虑到 ,而周期T 对各个波都是相同的。所以斯奈尔定律又经常写成如下形式:,由上两式可以看出,对同类型的反射波,其反射角等于入射角,比如idid ;对转换型反射波和同类型、转换型透射波,其反射角或折射角与入射角正弦之比等于各个波波速之比。,(4-45),(4-46),关系式(4-46)中各项是各个波沿分
17、界面的视速度。因此,斯奈尔定律也可解释为入射波、反射波和透射波沿分界面视速度相等的原理。一个平面波入射到分界面上,各入射点处的入射角是恒定的,由(446)式可知,由此波的反射角和折射角也都一样,这些波的等相位面也是平面的,即都是平面波。 根据以上讨论,反射波和透射波位移函数表达式可以写作: (1)纵波反射波P1:,(2)横波反射波S1 :,(3)纵波透射波:,(4)横波透射波:,其中 为决定于反射波和透射波位移方向的单位向量,而 为反射波和透射波振幅。,(4-47),入射波振幅AP、入射角id以及第一、第二介质中的纵波和横波传播速度vp1、vs1、vp2、vs2是给定值,则借助于关系式(4-4
18、6)可以确定反射角和折射角id、 is 、td 、ts 。为了确定方程(4-47)中各个波的位移函数。 要求确定四个振幅系数Ap1、As1、Bp2、Bs2。为此将使用分界面z0的连续边界条件。,二、边界条件,根据分界面连续条件式(227)、式(228),并考虑到我们所讨论的二维问题,即位移y分量v=0,波函数与y轴无关, 在z=0上应该满足条件: (1)位移连续条件: , (2)应力连续条件: , 根据均匀各向同性完全弹性介质中的虎克定律式(1-74)、式( 1-75)以及关系式(1-36)、式(1-41),应力连续边界条件可以变为:,(4-48),其中使用了关系: , 为便于将位移函数式(4
19、-43)、式(4-47)代入边界条件方程,定义各个波对应的位移向量如图4-10所示。,(4-49),第一、二介质中的位移分量用带下标的u、w表示,其表达式为:,其中S表示位移向量的大小。将式(4-50)代入式(4-48)、式(4-49),并考虑到在z0, ;公共因子 可以消去,可以得到如下的方程组:,(4-50),其中,波的传播速度与介质密度乘积称为波阻抗。求解方程组(4-51),通常确定反射波和透射波振幅与入射波振幅之比。,(4-51),佐普里兹(Zoppritz)方程,对反射波有:,对透射波有:,R 称为反射系数,T 称为透射系数;其下标表示波的类型。反射或透射波与入射波同属一个类型,称为
20、同类型波;否则,称为转换波。,(4-52),(4-53),式(4-52)、式(4-53 )中对反射系数和透射系数的定义采用的是两种波的位移振幅比。要转换为位移位振幅比根据关系式(4-30)、式(4-31)中对透射波、转换型反射波要乘以透射波或反射波与入射波的速度比。 将分界面两侧介质的弹性常数和密度的实际数据代入方程组(4-51 ) ,求解反射系数R和透射系数T,表明它们与入射角和介质弹性和密度参数之间存在复杂的依赖关系。 为了分析反射系数、透射系数与入射角和介质参数的关系,通常根据计算结果,绘制反射系数和透射系数曲线图。,图4-11给出了一个入射波由声阻抗大的介质入射到声阻抗小的介质时,其分
21、界面的反射系数和透射系数曲线。,其中,如图4-11中所见,当P波入射角不大时id20-30。反射系数和透射系数变化不大。当入射角较大时,转换波反射系,数和透射系数为极大值、其振幅最大。当入射波垂直或平行入射到分界面时,无波的转换现象发生。,三、全反射现象,根据斯奈尔定律,当vp2vp1时,透射角td总大于入射角id。在id角到某一定值时,透射角td90。,这时的入射角称为临界角,用ip表示:,透射波沿分界面滑行。当第二介质中的横波速度Vs2大于第一介质中的纵波速度Vp1时,对纵波入射波也可以找到另一个临界角is ,此时转换型PS透射波沿分界面滑行。透射波沿界面滑行,这种现象称为全反射。,(4-
22、54),(4-55),当波的入射角超过临界角时,idiP或idis,则 或 显然透射角的正弦将大于1。这种情况只有当td或ts角为一复数时,才有可能。设 ,若 则根据公式(2-89),可有(根据式2-88):,这时,纵波透射波波函数为:,(4-56),(4-57),其中,公式(4-57)表示的是一个沿x正方向以vP2/chtd” 为速度传播的平面不均匀波,其振幅沿z方向以kshtd”为系数呈指数规律衰减。也就是说,当波的入射角大于临界角时,入射波在第二介质中将引起沿x方向传播的平面不均匀波,认为此时没有波进入第二介质是不准确的。当idis时,转换型P-S透射波也成为平面不均匀波,其性质与P-P
23、透射波相似。,通过计算可以表明,当纵波入射角idiP或idis时,透射系数T和反射系数R将变成复数。 任何一个复数都可以用它的模量和幅角表示。,在这种情况下,可以将透射系数和反射系数表示为:,其中 和 为幅角,是一实数。显然,用复数透射系数或反射系数乘以入射波函数,将使之发生相位畸变。这时,反射波脉冲或透射波脉冲相对入射波脉冲发生了波形改变。,(4-58),四、垂直入射情况讨论,当纵波沿分界面法线方向入射时id0。只产生纵波反射波和透射波,无波的转换现象发生。这时,波的传播问题变为求解一维波动方程。形式如同式(2-57)。对本节所选坐标系,可有:,为求解反射系数Rpp和透射系数Tpp,使用垂直
24、应力 和垂直位移 连续条件。在边界条件方程组中,将id0。代入其中第二、三式,可以得到对一维情况下式(4-59)的边界条件方程组:,(4-59),相对反射系数及Rpp和透射系数Tpp,求解方程组(4-60),可以得到:,由上两式可知,在波沿法线方向入射到分界面时,将产生反射波和透射波。为了形成反射波,分界面两侧介质波阻抗必须存在着差异。这样的分界面称为反射界面,反射界面也是波阻抗差异分界面。,(4-60),(4-61),(4-62),根据波阻抗差异大小,可以区分强反射界面和弱反射界面。波阻抗差异大,反射系数大,界面反射波强;相反,波阻抗差异小,反射系数小,界面反射波弱。 当波在波阻抗大的分界面
25、 反射时,反射系数为正,这意味着反射波相位与入射波相位相同。例如,在某一瞬间,入射波的压缩带入射到分界面,所发生的反射波也是压缩带;若到达分界面的入射波为疏松带,则在此一瞬间产生的反射波也是疏松带。,相反,当波入射到波阻抗小的分界面时,反射系数为负值。这时反射波相对入射波有180度相位差,称为半波消失现象。在这种情况下,入射波中的压缩带将引起反射波中的疏松带,或入射波中的疏松带将引起反射被中的压缩带。在有的书中把法向入射时的反射系数写作:,与公式(461)相比,其差别在于(463)式推导中考虑了波在反射时其传播方向变化了180。 根据公式(463),在波的法向入射时,在分界面另一侧产生的透射波
- 配套讲稿:
如PPT文件的首页显示word图标,表示该PPT已包含配套word讲稿。双击word图标可打开word文档。
- 特殊限制:
部分文档作品中含有的国旗、国徽等图片,仅作为作品整体效果示例展示,禁止商用。设计者仅对作品中独创性部分享有著作权。
- 关 键 词:
- 分层 介质 弹性 传播 ppt 课件

链接地址:https://www.31ppt.com/p-1395839.html