机械工程控制基础5稳定性课件.ppt
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1、,2009.11,主讲人:张燕,机械类专业必修课,机械与动力工程学院,2009.11主讲人:张燕 机械类专业必修课机械与动力工程学,教学内容,1、课程准备,7、系统的性能指标与校正,2、绪 论,4、系统的时间响应分析,3、系统的数学模型,5、系统的频率特性分析,6、系统的稳定性分析,教学内容1、课程准备7、系统的性能指标与校正2、绪 论4、,教学内容,第一讲 稳定性概念 Routh判据,教学内容第一讲 稳定性概念 Routh判据,4,a, b 称为系统的平衡点,小球在a处稳定,在b处不稳定,a,b,摆在a处稳定,在b处不稳定。,稳定性的基本概念,4a, b 称为系统的平衡点小球在a处稳定,在b
2、处不稳定a,c) 稳定d) 临界稳定e) 不稳定Ab、不稳定的摆AAA,6,:闭环控制的磁悬浮系统 可以稳定。,:开环控制的磁悬浮系统 不稳定,6:闭环控制的磁悬浮系统 可以稳定。+VLig,7,针对不稳定对象的反馈控制,大部分受控对象是稳定的,但反馈控制所构成的闭环系统可能稳定,可能不稳定。,针对稳定对象的反馈控制,7针对不稳定对象的反馈控制大部分受控对象是稳定的,但反馈控制,1)系统不稳定现象,例:液压位置随动系统,原理:外力阀芯初始位移Xi(0)阀口2、4打开活塞右移阀口关闭(回复平衡位置)(惯性)活塞继续右移阀口1、3开启活塞左移 平衡位置(惯性)活塞继续左移阀口2、4开启, 随动:活
3、塞跟随阀芯运动 惯性:引起振荡 振荡结果:, 减幅振荡(收敛,稳定), 等幅振荡(临界稳定), 增幅振荡(发散,不稳定),一、系统的稳定性与稳定条件,1)系统不稳定现象例:液压位置随动系统原理: 随动:活塞跟,系统的稳定性稳定性概念,系统的稳定性稳定性概念,机械工程控制基础5稳定性课件,机械工程控制基础5稳定性课件,机械工程控制基础5稳定性课件,三、关于稳定性的相关提法,1. 李亚普诺夫意义下的稳定性,系统的稳定性稳定性概念,三、关于稳定性的相关提法1. 李亚普诺夫意义下的稳定性,2. 渐近稳定性,就是线性系统的稳定性,要求由初始状态引起的响应最终衰减为零。渐近稳定性满足李氏稳定性定义;对非线
4、性定义,这两种稳定性是不同的。,系统的稳定性稳定性概念,控制工程中希望大范围渐近稳定,基于精度要求,也需要确定最大范围。,3. “小偏差”稳定性 系统初始偏差(初态)不超过某一微小,四、Routh稳定判据,1. 系统稳定的必要条件,设系统的特征方程为:,两边同除an,系统的稳定性Routh稳定判据,四、Routh稳定判据1. 系统稳定的必要条件设系统的特征方,依据上式,s的同次幂前系数应对等,按习惯,一般取最高阶次项的系数为正,上述两个条件可以归结为系统特征方程的各项系数全大于0,此即系统稳定的必要条件。,依据上式,s的同次幂前系数应对等 要使系统稳定,,从根与系数的关系可以看出,仅仅有各项系
5、数大于0,还不能判定特征根均具有负实部,也许特征根中有正有负,它们组合起来仍能满足“根与系数的关系”中的各式。也就是说上式为系统稳定的必要条件,而不是充要条件。,从根与系数的关系可以看出,仅仅有各项系数大于0,,机械工程控制基础5稳定性课件,实例分析1 系统特征方程,试用Routh表判断其稳定性。,改变符号一次,改变符号一次,解:,由Routh判据:系统不稳定。,实例分析1 系统特征方程试用Routh表判断其稳定性。改变,机械工程控制基础5稳定性课件,低阶系统的劳斯稳定判据,二阶系统,低阶系统的劳斯稳定判据 二阶系统劳斯阵列为:s2a0,三阶系统,三阶系统劳斯阵列为:s3a0a2从而,三阶系统
6、稳定,3. Routh判据的特殊情况,(1)如果在Routh表中任意一行的第一个元素为0,而其后各元不全为0,则在计算下一行的元素时,将趋向于无穷大。于是Routh表计算无法继续,为了克服这一困难,用一个很小的正数代替第一列的0,然后计算Routh表的其余各元。若上下各元符号不变,且第一列元素符号均为正,则系统特征根中有共轭的虚根。此时,系统为临界稳定系统。,(2)如果Routh表中任意一行的所有元素都为0,Routh表的计算无法继续。此时,可以利用该行的上一行的元素构成一个辅助多项式,并用多项式的导数的系数组成Routh表的下一行。这样,Routh表就可以计算下去。,出现这种情况,一般是由于
7、系统的特征根中,或存在两个符号相反的实根(系统自由响应发散,系统不稳定),或存在一对共轭的纯虚根(即系统自由响应维持某一频率的等幅振荡,系统临界稳定),或是以上几种根的组合。,系统的稳定性Routh稳定判据,3. Routh判据的特殊情况(1)如果在Routh表中任意,实例分析2 系统特征方程:,试用Routh表判断其稳定性。,解:列Routh表如下:,改变符号一次,改变符号一次,由Routh判据:系统不稳定。,系统的稳定性Routh稳定判据,实例分析2 系统特征方程:试用Routh表判断其稳定性。解,实例分析3 系统特征方程:,试用Routh表判断其稳定性。,解:列Routh表如下:,Rou
8、th表中出现0元行,构造辅助多项式如下:,取F(s)对s的导数得新方程:,用上式中的系数8和96代替0元行,继续进行运算。,改变符号一次,此表第一列各元符号改变次数为1,该系统包括一个具有正实部的特征根,系统是不稳定的。,实例分析3 系统特征方程:试用Routh表判断其稳定性。解,根据Routh判据,2p的辅助多项式应该存在p对实部符号相异、虚部数值相同的共轭复根。这些特征根可以通过解辅助多项式得到。,系统的稳定性Routh稳定判据,根据Routh判据,2p的辅助多项式应该存在p对实部符号相异,五、相对稳定性的检验,应用Routh判据可检验稳定系统的相对稳定性方法如下:,将s平面的虚轴向左移动
9、某个数值,即令sz( 为正实数),代入系统特征方程,则得到关于z的特征方程;,利用Routh表和Routh判据对新的特征方程进行稳定性判别。如果新系统稳定,则说明原系统特征方程的根均在新的虚轴之左边, 越大,系统相对稳定性越好。,系统的稳定性Routh稳定判据,五、相对稳定性的检验应用Routh判据可检验稳定系统的相对稳,系统传递函数方框图如下图所示,已知T10.1s,T20.25s,试求:,实例分析4,解:(1)求系统稳定时K值的取值范围,(1)系统稳定时K值的取值范围;,(2)若要求系统的特征根均 位于s1线的左侧,K值的取值范围。,系统的稳定性Routh稳定判据,系统传递函数方框图如下图
10、所示,已知T10.1,因为:,将T1和T2代入得:,列Routh表如下:,解之得系统稳定时K的取值范围为:,由Routh表和Routh判据得:,系统的稳定性Routh稳定判据,因为:将T1和T2代入得:列Routh表如下:解之得系统稳定,(2)令sz1,代入特征方程得:,即:,列Routh表如下:,解之得:,由Routh表和Routh判据得:,与(1)的结果比较可知,K的取值范围变小了。,系统的稳定性Routh稳定判据,(2)令sz1,代入特征方程得:即:列Routh表如下:,系统稳定性是指系统在干扰作用下偏离平衡位置,当干扰撤除后,系统自动回到平衡位置的能力;,六、本讲小结,系统稳定的充要条
11、件是所有特征根具有负实部,或系统传递函数的所有极点均分布在s平面的左半平面;,Routh稳定判据是Routh表的第一列元素均大于0。利用Routh稳定判据不仅可判定系统的稳定性,而且可以确定某些参数的取值范围和相对稳定性。,系统的稳定性Routh稳定判据,系统稳定性是指系统在干扰作用下偏离平衡位置,当干扰撤除后,系,系统的稳定性Nyquist稳定判据,第二讲 Nyquist 稳定判据,系统的稳定性Nyquist稳定判据第二讲 Nyquist,K=8,K=6,乃奎斯特图及时间响应,K=8K=6乃奎斯特图及时间响应,K=4,K=1,K=4K=1,K=0.5,由以上可以看出:极坐标图离(-1,j0)
12、点的远近程度是系统的相对稳定性的一种度量,这种度量常用相角裕量(度)和幅值裕量(度)来描述。,K=0.5 由以上可以看出:极坐标图离(-1,j,一、 Nyquist稳定判据,判据提出:,该稳定性判据由H.Nyquist于1932年提出,在1940年以后得到广泛应用。,判据原理:,将闭环系统的特征方程 1+G(s)H(s)=0 与开环频率特性GK(j)=G(s)H(s)联系起来,从而将系统特性从复域引入频域来分析。,判断方法:,通过GK(j)的Nyquist图,利用图解法来判明闭环系统的稳定性。,Nyquist稳定判据的数学基础是复变函数中的幅角原理。,系统的稳定性Nyquist稳定判据,一、
13、Nyquist稳定判据判据提出:该稳定性判据由H.Ny,幅角原理(Cauchy定理),例如:,幅角原理(Cauchy定理)例如:,进一步,我们考虑S平面上的一个围线(封闭曲线),如图(a)平面中的ABCDEFGH所示,要观察该围线在F(S)平面上的映射,先求A、C、E、G四个点,有如下结果,进一步,我们考虑S平面上的一个围线(封闭曲线),如图(a),分析一下F(s),零点:-2极点:0,第一次s平面上的曲线包围了F(s)的,极点,未包含零点,F(s)包围原点,旋转方向:,逆时针方向,s平面选择方向:顺时针,F(s)包含坐标原点,方向:逆时针!,记住:,分析一下F(s)零点:-2第一次s平面上的
14、曲线包围了F(s),如果让s平面上的围线同时包围F(s)的极点和零点,F(s)曲线会?,不包含坐标原点,如果让s平面上的围线同时包围F(s)的极点和零点F(s)曲线,如果再把S平面围线的CDE段移到的-1点,这时包围了零点,但不包围其极点。此时,F(s)平面上的围线包围了原点,而方向都是顺时针的!如下图,包含坐标原点,方向:顺时针!,如果再把S平面围线的CDE段移到的-1点,这时包围了零点,但,注意:,S平面的曲线如果只包含F(s)的极点:F(s)曲线将包含原点,且曲线旋转方向为逆时针。,S平面的曲线如果只包含F(s)的零点:F(s)曲线将包含原点,且曲线旋转方向为顺时针。,S平面的曲线如果既
15、包含F(s)的零点,又包含极点? 刚才我们看见的F(s)不包含零点,即包围零点圈数=0。,结论:,如果s平面上的曲线包含F(s)的Z个零点,P个极点,那么F(s)绕零点的旋转圈数为:N=Z-P (顺时针)。,注意:S平面的曲线如果只包含F(s)的极点:F(s)曲线将包,单域问题 N1,N=-1,单域问题 N=-1,N = m - n = 3 1= 2,零点,极点,N = m - n = 3 1= 2零点极点,Z=3P=1N=2,Z=0P=1N=-1,Z=3Z=0,1.幅角原理(Cauchy定理),设F(s)在s平面上除有限个奇点外为单值的连续正则函数,并设s平面上解析点s映射到F(s)平面上为
16、点F(s),或为从原点指向此映射点的向量F(s)。若在s平面上任意一封闭曲线Ls,只要此曲线不经过F(s)的奇点,则在F(s)平面上必有一条对应的曲线LF,也是一条封闭曲线。,当解析点s按顺时针方向沿Ls变化一周时,向量F(s)将按顺时针方向旋转N 周,即F(s)以原点为中心顺时针旋转N 周,这就等于曲线LF顺时针包围原点N 次。若令Z 为包围于Ls内的F(s)的零点数,P 为包围于Ls 内的F(s)的极点数,则有N ZP,取任意拉氏函数:,系统的稳定性Nyquist稳定判据,1.幅角原理(Cauchy定理) 设F(s)在,向量F(s)的相位为,系统的稳定性Nyquist稳定判据,简要说明,向
17、量F(s)的相位为系统的稳定性Nyquist稳定判据简要,系统的稳定性Nyquist稳定判据,假设 Ls 内只包围了F(s)的一个零点zi ,其它零极点均位于Ls 之外,当s沿Ls 顺时针移动一周时,向量(szi )的相位角变化为2弧度,而其余相位角的变化为0。即向量F(s)的相位角变化为2,或者说 F(s) 在F(s)平面上沿 LF 绕原点顺时针转了一圈。,系统的稳定性Nyquist稳定判据 假设 Ls 内只,系统的稳定性Nyquist稳定判据,若s平面上的封闭曲线包围F(s)的Z个零点,则在F(s)平面上的映射曲线LF将绕原点顺时针Z圈,而若s平面内的封闭曲线包围这F(s)的P个极点,则平
18、面上的映射曲线LF将绕原点逆时针转P圈。若Ls包围了F(s)的Z个零点和P个极点,则F(s)平面上的映射曲线LF将绕原点顺时针转N=Z-P圈。,系统的稳定性Nyquist稳定判据 若s平面上的,2. Nyquist 稳定判据:利用开环频率特性判断闭环系统的稳定性,设闭环传递函数方框图对应的开环传递函数为:,其闭环传递函数为:,特征方程,令,则有:,系统的稳定性Nyquist稳定判据,2. Nyquist 稳定判据:利用开环频率特性判断闭环系统,因为:特征方程为:,由此可知,s1,s2,sn是F(s)的零点,即为GB(s)的极点,亦即系统特征方程的根;F(s)的极点p1,p2,pn即GK(s)的
19、极点。,上述各函数零点与极点之间的对应关系如下:,因为:由此可知,s1,s2,sn是F(s)的零点,即为,定常线性系统稳定的充要条件是其闭环特征方程的全部根具有负实部,即在s右半平面内没有极点,也就是说,F(s)在s平面的右半平面没有零点。,系统的稳定性Nyquist稳定判据,下面我们通过幅角原理导出Nyquist稳定判据,零点极点零点极点零点极点相同相同 定常线性系统稳定的充,为研究F(s)有无零点位于s平面的右半平面,可选择一条包围整个s右半平面的封闭曲线Ls,如图。Ls由两部分组成,其中,L1为到+的整个虚轴,L2为半径R趋于无穷大的半圆弧。因此,Ls封闭地包围了整个s平面的右半平面。这
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