傅里叶级数ppt课件.ppt

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1、1 傅里叶级数,一个函数能表示成幂级数给研究函数带来便利, 但对函数的要求很高(无限次可导). 如果函数没有这么好的性质, 能否也可以用一些简单而又熟悉的函数组成的级数来表示该函数呢? 这就是将要讨论的傅里叶级数. 傅里叶级数在数学、物理学和工程技术中都有着非常广泛的应用, 是又一类重要的级数.,返回,一、三角级数正交函数系,三、收敛定理,二、以 为周期的函数的傅里叶级数,一、三角级数正交函数系,在科学实验与工程技术的某些现象中, 常会碰到一,种周期运动. 最简单的周期运动, 可用正弦函数,来描述. 由(1)所表达的周期运动也称为简谐振动,常常是几个简谐振动,的叠加：,对无穷多个简谐振动进行叠

2、加就得到函数项级数,若级数(3)收敛, 则它所描述的是更为一般的周期运,动现象.,代换x )的情形. 由于,所以,它是由三角函数列(也称为三角函数系),所产生的一般形式的三角级数.,容易验证,若三角级数(4)收敛,则它的和一定是一,个以 为周期的函数.,则级数( )可写成,定理 15.1 若级数,收敛,则级数(4)在整个数轴上绝对收敛且一致收敛.,证 对任何实数x,由于,根据优级数判别法, 就能得到本定理的结论.,关于三角级数(4)的收敛性有如下定理:,为进一步研究三角级数(4)的收敛性, 先讨论三角函,数系 (5) 的特性. 首先容易看出三角级数系(5)中所,有函数具有共同的周期,其次, 在

3、三角函数系(5)中, 任何两个不相同的函数,的乘积在 上的积分等于零,即,不等于零, 即,或者说(5)是正交函数系.,交性.,现应用三角函数系(5)的正交性来讨论三角级数(4),定理15.2 若在整个数轴上,且等式右边级数一致收敛, 则有如下关系式:,二、以 为周期的函数的傅里叶级数,(9)式逐项积分得,由关系式(6)知, 上式右边括号内的积分都等于零.,所以,即,从第十三章1 习题4知道, 由级数(9)一致收敛,可,得级数(11)也一致收敛. 于是对级数(11)逐项求积,有,项积分,外,其他各项积分都等于0,于是得出:,即,同理,(9)式两边乘以sin kx,并逐项积分, 可得,f (关于三

4、角函数系(5) ) 的傅里叶系数,以 f 的傅里,叶系数为系数的三角级数(9)称为 f (关于三角函数,系) 的傅里叶级数, 记作,这里记号“”表示上式右边是左边函数的傅里叶级,数, 由定理15.2知道: 若(9)式右边的三角级数在整,个数轴上一致收敛于和函数 f , 则此三角级数就是,f 的傅里叶级数,即此时(12)式中的记号“”可换为,函数 f 出发, 按公式(10)求出其傅里叶系数并得到,傅里叶级数(12) , 这时还需讨论此级数是否收敛.,如果收敛, 是否收敛于 f 本身. 这就是下一段所要,叙述的内容.,Fourier级数,问题:,f 的傅里叶级数(12)收敛于f 在点x 的左、右极

5、限的,算术平均值, 即,定理15.3(傅里叶级数收敛定理) 若以 为周期的,三、收敛定理,注 尽管傅里叶级数的收敛性质不如幂级数,但它对,函数的要求却比幂级数要低得多, 所以应用更广.,而且即将看到函数周期性的要求也可以去掉.,概念解释,断点,其导函数在a, b上除了至多有限个点外都存,在a, b上按段光滑的函数 f ,有如下重要性质:,还有,从几何图形上讲, 在,区间a, b上按段光滑,光滑函数,是由有限个,多有有限个第一类间,断点与角点 (图15-1).,光滑弧段所组成,它至,收敛定理指出, f 的傅里叶级数在点 x 处收敛于 在,该点的左、右极限的算术平均值,而当 f 在点 x 连续时,

6、则有,于 f .,推论 若 f 是以 为周期的连续函数, 且在,其中 c 为任何实数.,注1 根据收敛定理的假设,f 是以 为周期的函数,设 f (x) 是周期为 2 的周期函数 , 它在,上的表达式为,解: 先求傅里叶系数,将 f (x) 展成傅里叶级数.,例1.,根据收敛定理可知,时,级数收敛于,说明:,上的表达式为,将 f (x) 展成傅里叶级数.,解:,设 f (x) 是周期为 2 的周期函数 , 它在,例2.,说明: 当,时, 级数收敛于,周期延拓,傅里叶展开,上的傅里叶级数,定义在 ,上的函数 f (x)的傅氏级数展开法,其它,解 函数 f 及其周期延拓后的图像如图15-3 所示,

7、显然 f 是按段光滑的.,故由傅里叶级数收敛定理, 它可以展开成傅里叶级,数. 由于,开式.,当n1时,所示( 注意它与图15-3 的差别 ).,解 f 及其周期延拓的,图形如图15-5 所示.,显然 f 是按段光滑的,因此可以展开成傅里,叶级数.,例2 将下列函数展开成傅里叶级数:,所以,由(14)或(15)都可推得,因此,简谐振动的叠加, 在电工学中称为谐波分析.,求该矩形波函数的傅里叶展开式.,例3 在电子技术中经常用到矩形波(如图15-6所示),反映的是一种复杂的周期运动, 用傅里叶级数展开,后, 就可以将复杂的矩形波看成一系列不同频率的, 所以,级数收敛到 0( 实际上级数每一项都为

8、 0 ).,级数 .,则,解: 将 f (x)延拓成以,展成傅里叶,2为周期的函数 F(x) ,例4. 将函数,利用此展式可求出几个特殊的级数的和.,当 x = 0 时, f (0) = 0 , 得,说明:,设,已知,又,一般说来,一个函数的傅里叶级数既含有正弦项,又含有余弦项.但是,也有一些函数的傅里叶级数只含有正弦项或者只含有常数项和余弦项.,四、正弦级数和余弦级数,1. 周期为2 的奇、偶函数的傅里叶级数,定理 对周期为 2 的奇函数 f (x) , 其傅里叶级数为,周期为2的偶函数 f (x) , 其傅里叶级数为余弦级数 ,它的傅里叶系数为,正弦级数,它的傅里叶系数为,定义,的表达式为

9、 f (x)x ,将 f (x) 展成傅里叶级数.,是周期为2 的周期函数,它在,解: 若不计,周期为 2 的奇函数,因此,例4. 设,根据收敛定理可得 f (x) 的正弦级数:,观察两函数图形,展成傅里叶级数, 其,中E 为正常数 .,解:,是周期为2 的,周期偶函数 , 因此,例5. 将周期函数,2. 在0,上的函数展成正弦级数与余弦级数,周期延拓 F (x),f (x) 在 0 , 上展成,周期延拓 F (x),余弦级数,奇延拓,偶延拓,正弦级数,f (x) 在 0 , 上展成,分别展成正弦级,数与余弦级数 .,解: 先求正弦级数.,去掉端点, 将 f (x) 作奇周期延拓,例6.将函数

10、,注意:,在端点 x = 0, , 级数的和为0 ,与给定函数,因此得,f (x) = x + 1 的值不同 .,将,则有,作偶周期延拓 ,再求余弦级数.,说明: 令 x = 0 可得,即,内容小结,1. 周期为 2 的函数的傅里叶级数及收敛定理,其中,注意: 若,为间断点,则级数收敛于,2. 周期为 2 的奇、偶函数的傅里叶级数,奇函数,正弦级数,偶函数,余弦级数,3. 在 0 , 上函数的傅里叶展开法,作奇周期延拓 ,展开为正弦级数,作偶周期延拓 ,展开为余弦级数,1. 在 0 , 上的函数的傅里叶展开法唯一吗 ?,答: 不唯一 , 延拓方式不同级数就不同 .,思考与练习,处收敛于,2.,则它的傅里叶级数在,在,处收敛于 .,提示:,设周期函数在一个周期内的表达式为,傅氏级数的和函数 .,答案:,4.写出函数,法国数学家.,他的著作热的解析,理论(1822) 是数学史上一部经典性,书中系统的运用了三角级数和,三角积分,他的学生将它们命名为傅,里叶级数和傅里叶积分.,最卓越的工具.,以后以傅里叶著作为基础发展起来的,文献,他深信数学是解决实际问题,傅里叶分析对近代数学以及物理和工程技术的发展,都产生了深远的影响.,傅里叶 (1768 1830),