《计算电磁学》第三讲ppt课件.ppt

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1、11/16/2022,第三讲 边界条件及有限差分法应用,Dr. Ping DU (杜平),E-mail: ,School of Electronic Science and Applied Physics， Hefei University of Technology (HFUT),11/16/2022,2,边界条件及其处理,积分形式的麦克斯韦方程,微分形式的麦克斯韦方程,(3.1a),(3.1b),(3.1c),(3.1d),(3.2a),(3.2b),(3.2c),(3.2d),其中, H为磁场强度;B为磁感应强度; D为电通量密度；,为电荷密度;,为电流密度,11/16/2022,3,对

2、线性、均匀、各向同性媒质，有 ， 。,其中 、 分别为介质的介电常数和磁导率。,1不同介质分界面上的处理方法 在实际问题中，常遇到所分析的场域存在不同介质。在不同介质分界面上，电通量是连续的，有,其中， 为电位，,-,(3.3),在不同介质分界面处，电位也是连续的。,切向电场强度也是连续的,11/16/2022,4,图3-1 直线形介质分界面处的差分格式,对式(3-3)进行面积分，并利用二维Gauss定理，得,式中，是垂直于区域S围线l的外法线矢量。将S区域各边上的 用其所在边中心点处的两点差分表示，可得（3-4）式左边的积分值。如，对a-a边，沿线的积分为,(3.4),(3.5),11/16

3、/2022,5,对其他三个边类似处理，可得,经过整理，可得,从式(3-7)可以看出，在分界面上的等效相对介电常数为 ，即取平均值。,对于具有角点的介质交界面情形,(3.7),(3.6),11/16/2022,6,图3-2 含角点的介质分界面,角点处的电位 为,(3.8),11/16/2022,7,2. 边界条件的处理,三类边界条件,第一类边界条件：,当网格节点位于边界C上时，则取所在位置的值。,若节点不位于边界C上时，有三种处理办法。,(2)线性插值法,(3.10),(3.9),(1)直接转移法,11/16/2022,8,图 3-3 第一类边界条件的差分网格,(3.11),11/16/2022

4、,9,(3)双向插值法,若 ， ， 代入Poisson方程，则有,第二类边界条件：,(a),(b),图3-4 第二类边界条件的差分网格,(3.13),(3.12),11/16/2022,10,若网格点和边界点重合，,否则，可令 ，再利用不等距差分公式计算。,当 为0时，为齐次边界条件。,第三类边界条件：,当 时，降为第二类边界条件。,(3.15),(3.14),11/16/2022,11,图3-5 第二类和第三类边界条件的差分网格,处理办法：过点O向边界作垂线PQ，与边界交于Q点。令OP、PR、VP的长度分别为ah，bh和ch。对点O有，,点P的值由点V和R的插值得到，,(3.16),(3.1

5、7),11/16/2022,12,代入（3-16）,且由于,有,由式(3-15),有,由式(3-19)和(3-20)，得点O的差分格式为,(3.21),(3.18),(3.19),(3.20),11/16/2022,13,有限差分法的应用 (Application of the Finite Differential Method ),差分方程组的建立,分析二维Poisson方程的第一类边界问题为例。设场域D为正方形：,假设x方向和y方向的步长相等 。, 。,以这样的网格离散该区域，如图3-6所示。,图3-6 正方形区域的差分网格,11/16/2022,14,五点差分格式为：,提示：用一个例子

6、加以说明；把 写成一维列向量。在确定了网格格式后，就要据此建立线性方程组。用矩阵符号可写成，,其中，K为系数矩阵， 为未知量,F为已知量,引入x方向的层向量,(3.23),(3.22),11/16/2022,15,一般地，,先确定矩阵K。假设一共有33个内节点(N=4)，并以此为例。,图3-7 含33个内节点的区域,(3.24),11/16/2022,16,对节点(1,1)，其差分格式为,图3-7 含33个内节点的区域,对节点(2,1)，其差分格式为,对节点(3,1)，其差分格式为,(3.27),(3.25),(3.26),11/16/2022,17,对节点(1,2)，其差分格式为,对节点(2

7、,2)，其差分格式为,对节点(3,2)，其差分格式为,对节点(1,3)，其差分格式为,对节点(2,3)，其差分格式为,对节点(3,3)，其差分格式为,(3.28),(3.31),(3.29),(3.30),(3.32),(3.33),11/16/2022,18,我们将所有的内节点 ( , )写成一列向量 ，其为,系数矩阵K为,(3.34),(3.35),11/16/2022,19,F为,差分方程具有如下特征：,系数矩阵K是大型稀疏矩阵；,矩阵K往往是对称正定的，且其前主子式都大于零；但当边界和网格节点不重合时，K的对称性将遭到破坏；（如果具有对称性，则利用这一特性可减少约一半的存储量）,(3.

8、36),11/16/2022,20, K通常不可约，因而方程组不能有其中的一部分单独求解。,差分方程组的求解：,(1) 直接法，如高斯消元法，LU分解。在MATLAB中，可以用phi=KF求得。,(2) 迭代法，Jacobi法，Gauss-Seidel法，SSOR法.,若用Jacobi法，第次的近似值可由第次的近似值得到，其公式为,若用Gauss-Seidel法，第n+1次的迭代中，部分值是第n次迭代得到的；有些是刚更新的，其公式为,(3.37),(3.38),11/16/2022,21,观察这两个公式可以看出，前者需要存储第n、n+1这两次迭代的近似值；后者只需要存储第n+1次的近似值。,另

9、外，由数值分析知道，Jacobi法的收敛速度慢于Gauss-Seidel法。,为了进一步加快迭代速度，我们引入加速因子 。由公式(b)构造，可构造新的迭代公式,这就是所谓的超松弛迭代法(SSOR) .,(3.39),11/16/2022,22,加速因子 满足： 。当 时，公式(3.39)变为(3.38)。当 时，迭代公式会发散。,的值对收敛速度有很大影响。对正方形场域的第一类边值问题，最佳的 为,其中，l为每边的节点数。对于用矩形网格分割的矩形区域，假设每边的节点数分别为l+1，m+1，则,(3.40),(3.41),11/16/2022,23,两个算例(Two numerical examp

10、les)：,算例一：二维区域中的电位分布 (The potential distribution in a 2-D domain);,算例二：矩形波导的截止波长(The cutoff wavelength of the rectangular waveguides).,首先分析第一个例子。,例1 一无限长接地金属槽，其侧壁及底面电位均为0，顶的电位为100，如图3-8所示。计算槽内的电位分布。,图3-8 无限长接地金属槽,11/16/2022,24,Analytical solution:,(1),(矩形区域，x、y方向长度分别为a，b；上边界的电位为 ，其他三个边界电位均为0)；,(2),(

11、矩形区域，x、y方向长度分别为a，b；右边界的电位为 ，其他三个边界电位均为0)；,步骤：,(1) 离散场域。我们采用正方形网格离散该区域，每边的节点为l+1=5。,(3.42),(3.43),11/16/2022,25,图3-9 无限长接地金属槽的差分网格,(2) 推出采用SSOR法的差分方程形式。在区域内，由于无自由电荷，则f=0。 加速因子 .,(3) 给出边界条件。该问题中，是第一类边界条件，则直接赋值即可。,(4)选初值。令除边界节点外的其他节点电位为0。,11/16/2022,26,(5)给定迭代收敛的条件。如可令每个节点第n和n+1次近似值的误差绝对值小于 。,(6) 程序流程图

12、。,(7) 编写程序。,(8) 计算结果。,(To be contd),11/16/2022,27,图 3-10 程序流程图,(continued),11/16/2022,28,例2 用有限差分法求解矩形金属波导的截止波长和场分布。,我们假设： 波导壁为完纯导体(PEC); 波导内的介质线性、均匀、各向同性； 波导内无自由电荷和传导电流。 波导工作在匹配状态，具有均匀的截面。波导内部不存在反射波。,由电磁学(电磁场与电磁波，电动力学或工程电磁学等)知道，矩形波导内传播的波可分为TE波和TM波。,对于这两类波，可以归结为求解相应的纵向分量 或 所描述的问题。,以 来标记纵向分量，波导场的分析是定

13、义在波导横截面平面内的二维标量波动方程的定解问题，即,(在波导内部),边界条件：,(1)对TE波( ), ;,(2)对TM波( ), .,(3.45),(3.44),11/16/2022,29,分析TE波模式下的截止波长。假设在x和y方向的步长相等，其差分格式为,当节点位于边界上时，在边界外侧设置一排虚设的网格节点。其边界条件是,。,则差分格式分四种情况 (参考图3-11)：,(1) 位于左边界时，差分格式为,(2) 位于右边界时，差分格式为,(3) 位于上边界时，差分格式为,(3.46),(3.47),(3.48),(3.49),11/16/2022,30,图3-11 矩形金属波导的差分网格

14、,11/16/2022,31, 位于下边界时，差分格式为,拐角：,左下拐角：,右下拐角：,左上拐角：,右上拐角：,(3.50),(3.51),(3.52),(3.53),(3.54),11/16/2022,32,将以上个差分格式应用于网格节点，可得到网格节点上的未知量 的n个差分方程。这样，就构成了矩阵方程,观察该矩阵方程，可知求解截止波长变为求解矩阵K的特征值。截止波长公式为,(3.56),(3.55),* 矩形波导截止波长的解析解,矩形波导中可能存在TE波和TM波。截止波长为,(3.57),( ; ),11/16/2022,33,补充：如何求矩阵的特征值。对于方阵A来说，其特征值就是满足,

15、的所有的值。其中,v为相应的本征向量。,求取矩阵的特征值可以用直接法和迭代法。其中迭代法有Lanczos 法、Davidson 法等。这些方法可以在数值分析或计算方法等书中找到，在此不再讨论。,科学计算软件MATLAB里面提供了求取矩阵本征值(特征值)和本征向量(特征向量)的内置函数eig。,例子 求矩阵A的特征值和特征向量。其中A为,用MATLAB可以得到，其命令为：, A=3 7 5;4 8 3;5 0 9; eig(A) % 求取矩阵A的特征值,11/16/2022,34,输出结果为ans = 15.0000 -1.2749 6.2749,求取矩阵A的特征值和特征向量。, v,d=eig

16、(a) % 求取矩阵A的特征值(d)和特征向量(v)；,v = -0.5774 -0.8802 -0.2653 -0.5774 0.2489 -0.6395 -0.5774 0.4041 0.7215d = 15.0000 0 0 0 -1.2749 0 0 0 6.2749,11/16/2022,35,Homework:,Write the code for the No.1 example and analyze the results.,Write the code for calculating the cutoff wavelength of a rectangular wavegu

17、ide (1.5m1m).,Analyze the relation between the step and the accuracy.,Analyze the relation between the step and the accuracy.,You can choose one of them. A complete report (Title, author, abstract, key terms, introduction, formulas, results &analysis, and conclusion) needs to be turned in. In addition, the code is also required.,11/16/2022,36,Thank you!,