ch17 4 泰勒公式与极值问题ppt课件.ppt

《ch17 4 泰勒公式与极值问题ppt课件.ppt》由会员分享，可在线阅读，更多相关《ch17 4 泰勒公式与极值问题ppt课件.ppt（66页珍藏版）》请在三一办公上搜索。

1、1,4 泰勒公式与极值问题,三、极值问题,一、高阶偏导数,二、中值定理和泰勒公式,2,一、高阶偏导数,如果它们关于 x 与 y 的偏导数也,导数有如下四种形式:,3,类似地可以定义更高阶的偏导数, 例如,的三阶偏导数共有八种情形:,4,解 由于,例1,5,因此有,6,数为,例2,7,注意 在上面两个例子中都有,8,数为混合偏导数). 但是这个结论并不对任何函数都,成立，例如函数,它的一阶偏导数为,数相等 (称这种既有关于 x, 又有关于 y 的高阶偏导,9,的混合偏导数:,10,由此看到, 这两个混合偏导数与求导顺序有关. 那么,在什么条件下混合偏导数与求导顺序无关呢? 为此,式. 由于,11

2、,因此有,12,类似地有,这两个累次极限相等. 下述定理给出了使 (1) 与 (2),相等的一个充分条件,连续，则,13,证 令,于是有,(4),(3),14,由 (4) 则有,(5),如果令,15,则有,用前面相同的方法, 又可得到,(6),16,在且相等，这就得到所要证明的 (3) 式,合偏导数都与求导顺序无关,注2 这个定理对 n 元函数的混合偏导数也成立. 例,17,若在某一点都连续，则它们在这一点都相等,今后在牵涉求导顺序问题时, 除特别指出外, 一般,都假设相应阶数的混合偏导数连续,复合函数的高阶偏导数 设,18,偏导数. 具体计算如下:,19,20,同理可得,21,例3,改写成如

3、下形式:,22,由复合函数求导公式，有,自变量的复合函数所以,23,24,二、中值定理和泰勒公式,二元函数的中值公式和泰勒公式, 与一元函数的拉,也有相同的公式，只是形式上更复杂一些,先介绍凸区域 若区域 D 上任意两点的连线都含于,D, 则称 D 为凸区域 (图17- 6). 这就是说, 若 D 为,25,上连续, 在 D 的所有内点都可微, 则对 D 内任意两,26,的一元连续函数, 且在 (0, 1) 内可微. 根据一元函数,其中,(10),27,(9), (10) 两式即得所要证明的 (8) 式,注 若 D 为严格凸区域，即,，都有,28,式成立 ( 为什么? ),公式 (8) 也称为

4、二元函数 (在凸域上) 的中值公式.,它与定理17.3 的中值公式 (12) 相比较, 差别在于这,请读者作为练习自行证明此推论,29,分析 将上式改写成,理，证明存在某个,30,之间应用微分中值定理,计算偏导数:,31,内任一点,内有直到 阶的连续偏导数, 则对,32,其中,33,证 类似于定理17.8 的证明，先引入辅助函数,34,件，于是有,(12),35,公式 (11),将 (13), (14) 两式代入 (12) 式, 就得到所求之泰勒,时的特殊情形.,36,此时的 n 阶泰勒公式可写作,37,将它们代入泰勒公式 (15)，即有,38,与1 例7 的结果 (1. 32) 相比较，这是

5、更接近于真,微分近似相当于现在的一阶泰勒公式,39,三、极值问题,多元函数的极值问题是多元函数微分学的重要应,用, 这里仍以二元函数为例进行讨论.,有定义. 若,极大值点、极小值点统称极值点,的极大 (或极小) 值点. 极大值、极小值统称极值; 极,40,注意 这里讨论的极值点只限于定义域的内点,点, 是 g 的极大值点, 但不是 h 的极值点这是因,41,得到二元函数取极值的必要条件如下:,值 (,42,的稳定点.,上述定理指出: 偏导数存在时, 极值点必是稳定点.,但要注意: 稳定点并不都是极值点在例 6 中之所,以只讨论原点, 就是因为原点是那三个函数的惟一,稳定点；而对于函数 h, 原

6、点虽为其稳定点,但却不,是它的极值点.,与一元函数的情形相同, 多元函数在偏导数不存在,原点没有偏导数, 但,43,(17),定点, 则有如下结论:,44,于是有,45,二次型,连续函数 ( 仍为一正定二次型 ),46,极大值,47,亦取,48,的或负半定的，这与假设相矛盾,系，定理17.11又可写成如下比较实用的形式,根据对称矩阵的定号性与其主子行列式之间的关,49,是否取得极值,解 由方程组,例7,取得极小值;,取得极大值;,50,51,得极值?,52,由极值定义知道, 极值只是函数的一个局部性概念.,想求出函数在有界闭域上的最大值和最小值, 方法,与一元函数问题一样：需先求出在该区域上所

7、有稳,定点、无偏导数点处的函数值, 还有在区域边界上,的这类特殊值；然后比较这些值, 其中最大 (小)者,即为问题所求的最大 (小) 值,以 f (0, 0) = 0 不是极值 ( 参见图17-7 ),53,例10 证明: 圆的所有外切三角形中, 以正三角形的,面积为最小,证 如图17- 8 所示, 设圆的半径为 a, 任一外切三角,54,式为,形为 ABC, 三切点处的半径相夹的中心角分别为,55,在定义域内, 上述方程组仅有惟一解:,的二阶偏导数:,56,此稳定点处取得极小值,因为 , 面积函数 S 在定义域中处处存在偏,正三角形的面积为最小,解 (i) 求稳定点：解方程组,导数，而具体问题存在最小值，故外切三角形中以,57,因此,得稳定点,58,59,算出,单调增, 算出两端值,60,图形, 上面的讨论都能在图中清晰地反映出来,一点与一元函数是不相同的，务请读者注意！,61,图 17 - 9,62,例12 ( 最小二乘法问题 ) 设通过观察或实验得到一,上，即大体上可用直线,方程来反映变量 x 与 y,之间的对应关系 ( 参见,图17-10 ). 现要确定一,直线, 使得与这 n 个点,的偏差平方之和为最小,( 最小二乘方 ),63,解 设所求直线方程为,为此令,64,把这组关于 a, b 的线性方程加以整理并求解，得,65,66,并由实际意义可知这极小值即为最小值.,