ch15 02一般周期函数的傅里叶级数ppt课件.ppt

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1、第二节,以2 l 为周期的 函数的傅里叶展开,第15章,*二、傅里叶级数的复数形式,一、以2 l 为周期的函数的傅里叶级数,一、以2 l 为周期的函数的傅里叶级数,周期为 2l 函数 f (x),周期为 2 函数 F(t),变量代换,将F(t) 作傅氏展开,f (x) 的傅氏展开式,设 f (x) 是以 2l为周期的函数，,则它的傅里叶,其中,定理.,展开式为,证明:, 则,令,则,所以,那么F 的傅里叶,展开式为:,变成,是以 2 为周期的周期函数 ,令,其中,令,证毕.,说明:,1),如果 f (x) 按段光滑，,则有,2),其中,如果 f (x) 为偶函数, 则有,其中,如果 f (x)

2、 为奇函数, 则有,例1.,(1,1 上的表达式为,将 f (x) 展开成傅里叶级数，并作出级数和函数的图形.,设函数 f (x) 是周期为 2 的周期函数，它在区间,解：,由收敛定理可知,故级数和函数的图形为,例2.,经半波整流后负压消,失,试求半波整流函数的,解: 这个半波整流函数,它在,傅里叶级数.,上的表达式为,的周期是,交流电压,n 1 时,由于半波整流函数 f ( t ),直流部分,说明:,交流部分,由收,收敛定理可得,2 k 次谐波的振幅为,k 越大振幅越小,因此在实际应用中展开式取前几项就足以逼近f (x)了.,上述级数可分解为直流部分与交流部分的和.,例3.,展开成,(1)

3、正弦级数; (2) 余弦级数.,解: (1) 将 f (x) 作奇周期延拓, 则有,将,(2) 将,作偶周期延拓,则有,例4.,期的傅里叶级数, 并由此求级数,解:,为偶函数,因 f (x) 周期延拓后在,展开成以2为周,的和.,故得,得,故,注:,方法1,令,即,在,上展成傅里叶级数,周期延拓,将,在,代入展开式,上的傅里叶级数,其傅里叶展开方法:,当函数定义在任意有限区间上时,方法2,令,在,上展成正弦或余弦级数,奇或偶式周期延拓,将 代入展开式,在,即,上的正弦或余弦级数,例5.,展成傅里叶级数.,解: 令,设,将F(z) 延拓成周期为 10 的周期函数,理条件.,由于F(z) 是奇函数

4、, 故,则它满足收敛定,将函数,利用欧拉公式,*二、傅里叶级数的复数形式,设 f (x)是周期为 2 l 的周期函数 , 则,注意到,同理,傅里叶级数的复数形式:,因此得,式的傅里叶级数 .,例6.,解: 在一个周期,它的复数形式的傅里叶系数为,内矩形波的函数表达式为,把宽为 ,高为 h ,周期为 T 的矩形波展成复数形,为正弦 级数.,内容小结,1. 周期为2l 的函数的傅里叶级数展开公式,(x 间断点),其中,当f (x)为奇 函数时,(偶),(余弦),2. 在任意有限区间上函数的傅里叶展开法,变换,延拓,*3. 傅里叶级数的复数形式,利用欧拉公式导出,思考与练习,1. 将函数展开为傅里叶

5、级数时为什么最好先画出其图形?,答: 易看出奇偶性及间断点,2. 计算傅里叶系数时哪些系数要单独算 ?,答: 用系数公式计算,如分母中出现因子nk,从而便于计算系数和写出,收敛域 .,必须单独计算.,作业 P77 1 (1) , (3) ; 2 ; 4; 6.,第三节,收敛定理的证明,第15章,二、收敛定理的证明,一、预备定理,预备定理1(贝塞耳(Bessel)不等式),证：,令,考察积分,利用三角函数系的正交性，又有,所以,因而,进而,推论1,推论2,预备定理2,收敛定理的证明.,证:,习题课,傅立叶级数,一、基本概念,二、傅里叶级数展开法,第15章,一、主要内容,(在收敛域内进行),基本问

6、题：判别敛散；,求收敛域；,求和函数；,级数展开.,为傅立叶级数.,为傅氏系数) 时,时为数项级数;,时为幂级数;,时为三角级数;,(1) 三角函数系,三角函数系,1.傅里叶级数,其中,称为傅里叶级数.,(2) 傅里叶级数,定义,三角级数,上的表达式,将其展为傅氏级数 .,设 f (x)是周期为2的函数,它在,解：,例1.,为,解:,周期的正弦级数 , 展开成以 为,将函数,将函数,在,内进行奇延拓,例2.,例3.,并由此求级数,解:,在区间 上的傅里叶级数,的和.,求,将 f (x) 延拓为周期为 的周期函数,则 f (x) 的傅里叶系数为,所以 f (x) 的傅里叶级数为,当 时，,级数收

7、敛于,即当 时，有,于是有,例4. 设,是周期为,的周期函数，,在,上的表达式为,(1) 求傅里叶系数 .,(2) 写出 上傅里叶系数的和函数的表达式,解:,分段表示.,(略),(1),(3) 求,时的值,解：由图与函数的周期性可知：,例5.设周期函数 的周期为2，证明:,如果,则 傅立叶系数,证:,同理,所以,例6. 设,是以 2 为周期的函数 ,其傅氏系数为,则,为常数) 的傅氏系数,解:,令,例7.,为区间 上可积函数.,设 f,证明：若 f 的,傅里叶级数在,上一致收敛于 f ，则成立,帕塞瓦尔(Parseval)等式：,这里 an,bn 为 f 的傅里叶系数.,证：,由于 f 的傅里叶级数在,上一致收敛于 f ，,因此,由此得,即,例8.,为 f 的傅里叶系数,试证明：当,时，积分,Tn(x)是一个三角多项式，即,取最小值，且最小值为,证：,其中,利用三角函数系的正交性，又有,所以,由此可见，当且仅当,时，,的值最小，且最小值为,P83(总练习题 ) 1; 4.,作业,