误差理论与数据处理第三章ppt课件.ppt

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1、第三章 误差合成与分配,第一节函数误差第二节 随机误差的合成 第三节 未定系统误差与随机误差合成第四节 误差分配第五节 微小误差取舍准则第六节 最佳测量方案的确定,第三章 主要内容,第一节函数误差,基本概念一、函数系统误差二、函数随机误差 1、 函数标准差的计算 2、 相关系数估计,基本概念,间接测量,函数误差,一、函数系统误差,间接测量数学模型,函数系统误差 公式,几种简单函数的系统误差,1、线性函数,2、三角函数形式,【例3-1】,用弓高弦长法间接测量大工件直径。如图所示，车间工人用一把卡尺量得弓高 ，弦长，工厂检验部门又用高准确度等级的卡尺量得弓高，弦长 试问车间工人测量该工件直径的系统

2、误差，并求修正后的测量结果。,【解】,建立间接测量大工件直径的函数模型,不考虑测量值的系统误差，可求出在处的直径测量值,车间工人测量弓高、弦长的系统误差,直径的系统误差,故修正后的测量结果,计算结果,误差传播系数为,第一节函数误差,基本概念一、函数系统误差二、函数随机误差 1、 函数标准差的计算 2、 相关系数估计,二、函数随机误差,数学模型,变量中有随机误差，即,泰勒展开，并取其一阶项作为近似值，可得,函数的一般形式,得到,1、 函数标准差计算,函数随机误差计算,为求得用各个测量值的标准差表示的函数y的标准差公式，设对各个测量值皆进行了N 次等精度测量，其相应的随机误差为：,函数随机误差计算

3、,对x1,对x2,对xn,函数y的随机误差为：,将上面方程组中每个方程平方得,由数理统计的结论,将上面方程组中每个方程平方得,按标准差表示的函数 y 的随机误差评价指标,若定义,相关系数的统计计算公式,由(xi,xj)的多组测量对应值(xik,xjk) 按如下统计公式计算相关系数,或,则可得,其中： 是第i个测量值和第j个测量值之间的误差相关系数。,误差传播系数,测量值随机误差相互独立, N适当大,相关系数 也为0，则,令,则,用极限误差表示则,相互独立的函数标准差计算,若各测量值的随机误差是相互独立的，相关项,令,函数的极限误差公式,三角形式的函数随机误差公式,函数形式为,函数随机误差公式为

4、,【例3-2】,用弓高弦长法间接测量大工件直径。车间工人用一把卡尺量得弓高，弦长，工厂检验部门又用高准确度等级的卡尺量得弓高，弦长。已知车间工人测量该工件弓高的标准差，弦长的标准差，试求测量该工件直径的标准差，并求修正后的测量结果。,【解】,有,故修正后的测量结果,第一节函数误差,基本概念一、函数系统误差二、函数随机误差 1、 函数标准差的计算 2、 相关系数估计,2、 相关系数估计,相关系数对函数误差的影响,相关系数的确定直接判断法,可判断 的情形,断定xi与xj 两分量之间无相互依赖关系,当一个分量依次增大时，引起另一个分量呈正负交替变化，反之亦然,当xi与xj属于完全不相干的两类体系分量

5、,当xi与xj虽相互有影响，但影响甚微，视为可忽略不计的弱相关,相关系数的确定直接判断法,断定xi与xj 两分量间近似呈现正、负线性关系,当一个分量依次增大时，引起另一个分量依次增大或减小，反之亦然,当xi与xj 属于同一体系的分量，如用1m基准尺测2m尺，则各米分量间完全正相关,可判断 或 的情形,相关系数的统计计算公式,由(xi,xj)的多组测量对应值(xik,xjk) 按如下统计公式计算相关系数,第一节小结,基本概念一、函数系统误差二、函数随机误差 1、 函数标准差的计算 2、 相关系数估计,第一节函数误差第二节 随机误差的合成 第三节 未定系统误差与随机误差合成第四节 误差分配第五节

6、微小误差取舍准则第六节 最佳测量方案的确定,第三章 主要内容,第二节 随机误差的合成,一、按标准差合成二、按极限误差合成,一、按标准差合成,合成标准差的特殊情形,二、按极限误差合成,单项极限误差,合成极限误差,合成极限误差计算公式,合成极限误差特殊情形,第二节 小结,一、按标准差合成二、按极限误差合成,第一节函数误差第二节 随机误差的合成 第三节 未定系统误差与随机误差合成第四节 误差分配第五节 微小误差取舍准则第六节 最佳测量方案的确定,第三章 主要内容,第三节 未定系统误差与随机误差的合成,一、未定系统误差的合成 二、未定系统误差与随机误差的合成 按标准差合成 n次重复测量情形 按极限误差

7、合成 n次重复测量情形,一、未定系统误差的合成,对已定系统误差，在处理测量结果时应先修正而不宜合成,对未定系统误差，估计出其可能范围，视为随机误差进行合成,第三节 未定系统误差与随机误差的合成,一、未定系统误差的合成 二、未定系统误差与随机误差的合成 按标准差合成 n次重复测量情形 按极限误差合成 n次重复测量情形,二、未定系统误差与随机误差的合成,按标准差合成,N 次重复测量情形,按极限误差合成,各个误差互不相关且K=ki,N 次重复测量情形,n次重复测量,总极限误差,单次测量,最后结果的总误差,【例3-3】,在万能工具显微镜上用影像法测量某一平面工件的长度共两次，测得结果分别为 ， ，已知

8、工件的高度为 。根据工具显微镜的工作原理和结构可知，测量过程中主要的误差见表。求测量结果及其极限误差,【例3-3】测量过程中主要的误差,序号,1,2,3,4,5,6,误差因素,极限误差,随机误差,未定系统误差,备注,阿贝误差,光学刻尺刻度误差,温度误差,读数误差,瞄准误差,光学刻尺检定误差,0.8,1,0.5,0.35,1.25,1,未修正时计入总误差,修正时计入总误差,【例3-3】的测量结果,【解】,两次测量结果的平均值为,【例3-3】的极限误差计算结果,设各误差都服从正态分布且互不相关，则测量结果（两次测量的平均值）的极限误差为,当未修正光学刻尺刻度误差时,测量结果可表示为,当已修正光学刻

9、尺刻度误差时,【例3-4】,用TC328B型天平，配用三等标准砝码称一不锈钢球质量，一次称量得钢球质量 ，求测量结果的标准差,【例3-4】中的主要误差分析,【例3-4】测量结果的标准差,三项误差互不相关，且各个误差传播系数均为1，因此误差合成后可得到测量结果的总标准差为,最后测量结果应表示为（倍标准差）,第一节函数误差第二节 随机误差的合成 第三节 未定系统误差与随机误差合成第四节 误差分配第五节 微小误差取舍准则第六节 最佳测量方案的确定,第三章 主要内容,第四节 误差分配,基本思想 一、按等影响原则分配误差 二、按可能性调整误差 三、验算调整后的总误差,误差分配基本思想,第四节 误差分配,

10、基本思想 一、按等影响原则分配误差 二、按可能性调整误差 三、验算调整后的总误差,一、按等影响原则分配误差,第四节 误差分配,基本思想 一、按等影响原则分配误差 二、按可能性调整误差 三、验算调整后的总误差,二、按可能性调整误差,(1) 对各分项误差平均分配的结果，会造成对部分测量误差的需求实现颇感容易，而对令一些测量误差的要求难以达到。这样，势必需要用昂贵的高准确度等级的仪器，或者以增加测量次数及测量成本为代价。,按等影响原则分配误差的不合理性,(2) 当各个部分误差一定时，则相应测量值的误差与其传播系数成反比。所以各个部分误差相等，相应测量值的误差并不相等，有时可能相差较大。,在等影响原则

11、分配误差的基础上，根据具体情况进行适当调整。对难以实现测量的误差项适当扩大，对容易实现的误差项尽可能缩小，其余误差项不予调整。,第四节 误差分配,基本思想 一、按等影响原则分配误差 二、按可能性调整误差 三、验算调整后的总误差,三、验算调整后的总误差,误差按等影响原理确定后，应按照误差合成公式计算实际总误差，若超出给定的允许误差范围，应选择可能缩小的误差项再进行缩小。若实际总误差较小，可适当扩大难以实现的误差项的误差，合成后与要求的总误差进行比较，直到满足要求为止。,【例3-5】,【解】,测量一圆柱体的体积时，可间接测量圆柱直径及高度，根据函数式,求得体积，若要求测量体积的相对误差为1，已知直

12、径和高度的公称值分别为，试确定直径及高度 的准确度。,计算体积,体积的绝对误差,按等影响分配原则分配误差，得到测量直径与高度的极限误差,【例3-5】极限误差计算结果,用这两种量具测量的体积极限误差为,因为,【例3-5】理论极限误差,查资料，可用分度值为0.1mm的游标卡尺测高，在50mm测量范围内的极限误差为，用0.02mm的游标卡尺测直径，在20mm范围内的极限误差为。,调整后的实际测量极限误差为,因为,因此调整后用一把游标卡尺测量直径和高度即能保证测量准确度。,显然采用的量具准确度偏高，选得不合理，应作适当调整。若改用分度值为0.05mm的游标卡尺来测量直径和高度，在50mm测量范围内的极

13、限误差为。此时测量直径的极限误差虽超出按等作用原则分配所得的允许误差，但可从测量高度允许的多余部分得到补偿。,调整后的测量极限误差,第四节 小结,基本思想 一、按等影响原则分配误差 二、按可能性调整误差 三、验算调整后的总误差,第一节函数误差第二节 随机误差的合成 第三节 未定系统误差与随机误差合成第四节 误差分配第五节 微小误差取舍准则第六节 最佳测量方案的确定,第三章主要内容,第五节 微小误差取舍准则,一、基本概念 二、基本取舍准则,基本概念,微小误差,测量过程包含有多种误差时，当某个误差对测量结果总误差的影响，可以忽略不计的误差,测量结果的标准差：,将其中的部分误差取出后，则得 ：,若有

14、,则称为微小误差,测量误差的有效数字取一位,某项部分误差舍去后，满足,则对测量结果的误差计算没有影响。,测量误差的有效数字取二位,或,或,对于随机误差和未定系统误差，微小误差舍区准则是被舍去的误差必须小于或等于测量结果的十分之一到三分之一。,对于已定系统误差，按百分之一到十分之一原则取舍。,基本取舍准则,第一节函数误差第二节 随机误差的合成 第三节 未定系统误差与随机误差合成第四节 误差分配第五节 微小误差取舍准则第六节 最佳测量方案的确定,第三章主要内容,第六节 最佳测量方案的确定,基本概念 一、选择最佳函数误差公式二、使误差传播系数尽量小 最佳测量方案,基本概念,最佳测量方案的确定,当测量

15、结果与多个测量因素有关时，采用什么方法确定各个因素，才能使测量结果的误差最小。,函数的标准差,欲使为最小，可从哪几方面来考虑？,一、选择最佳函数误差公式,间接测量中如果可由不同的函数公式来表示，则应选取包含直接测量值最小的函数公式。,不同的数学公式所包含的直接测量值数目相同，则应选取误差误差较小的直接测量值的函数公式。,【例3-6】,用分度值为O.05mm游标卡尺测量两轴的中心距L，试选择最佳测量方案。,已知测量的标准差分别为：,计算结果,【解】,测量中心距L有下列三种方法,方法一,方法二,方法三,计算结果可知，方法三误差最小。,二、使误差传播系数尽量小,若使各个测量值对函数的误差传播系数或为

16、最小，则函数误差可相应减少。,根据这个原则，对某些测量实践，尽管有时不可能达到使 等于零的测量条件，但却指出了达到最佳测量方案的趋向。,【例3-7】,用弓高弦长法测量工件直径，已知其函数式为,试确定最佳测量方案。,直径函数误差的误差公式,【解】,最佳测量方案,欲使 为最小，必须,(1) 使 。满足此条件，必须 ，但由图中几何关系可知，此时有 ，因而无实际意义。,(2)使 为最小。若满足 为最小，则 值愈大愈好，即 值愈接近直径愈好,(3)使 。满足此条件，必须使 ，即要求直接测量直径， 才能消除 对函数误差 的影响,结论,欲使为 最小，必须测量直径，此时弓高的测量误差 已不影响直径的测量准确度

17、，而只有弦长的测量误差 影响直径的测量准确度。但对大直径测量，此条件难以满足，不过他指出了当 值愈接近值 时，直径的测量误差也越小,本章总结,1、函数系统误差2、函数随机误差3、随机误差的合成4、未定系统误差和随机误差的合成5、误差分配6、微小误差取舍准则7、最佳测量方案的确定,要点一,解决随机误差的合成问题一般基于标准差方和根合成的方法，其中还要考虑到误差传播系数以及各个误差之间的相关性影响,要点二,已定系统误差经修正后，影响测量过程的总误差只要考虑未定系统误差与随机误差的合成。总误差可用极限误差来表示，也可用标准差来表示,要点三,在单次测量的总误差合成中，不需严格区分各个单项误差为未定系统误差或随机误差 在多次重复测量中的总误差合成中，则必须严格区分各个单项误差的性质,要点四,在误差分配时，随机误差和未定系统误差同等看待。,将误差合成与仪器或系统的精度分析与综合结合起来；,要点五,将误差分配与仪器或系统的精度设计结合起来；,要点六,