自动控制原理胡寿松 第五章 线性系统的频域分析法ppt课件.ppt
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1、第五章 线性系统的频域分析法,频域分析法的由来: 工程技术上常采用傅里叶分析法来分析线性系统(信号与系统)。 因为任何周期函数都可以展开为含有许多正弦分量或者余弦分量的傅里叶级数;而任何非周期函数都可表示为傅里叶积分,从而可将一个时间域的函数变换为频率域的函数。 在我们研究输入为非正弦函数的线性系统时,应用傅里叶级数和傅里叶变换的这个性质,可以通过研究对各种频率正弦波的响应特性来了解系统对非正弦输入的响应特性。 自动控制系统的频域分析法就是建立在这个基础上的。,参见信号与系统,控制系统的频率特性反映正弦信号作用下系统响应的性能,是系统的一种数学模型。应用频率特性来研究线性系统的经典方法称为频域
2、分析法。频域分析法具有以下特点:1.控制系统及其元部件的频率特性可以运用分析法或者实验法获得,并可用多种形式的曲线来表示,因而系统分析和控制器设计可以应用图解法进行。2.频率特性的物理意义明确。频域性能指标和时域性能指标之间有相应的对应关系。3.控制系统的频域设计可以兼顾动态响应和噪声抑制两方面的要求。4.还可以推广到研究某些非线性系统。,频域分析法的基本介绍,时域分析法与频域分析法比较: 时域分析法是分析控制系统的直接方法,比较直观、精确。当往往需要求解复杂的微分方程。 频域分析法是一种图解分析法。它依据系统的又一种数学模型频率特性,利用频域指标和时域指标之间的对应关系,间接地揭示系统的暂态
3、特性和稳态特性,简单迅速地判断某些环节或者参数对系统的暂态特性和稳态特性的影响,并能指明改进系统的方向。也是一种工程上常用的方法。,复域分析法(根轨迹法),根轨迹法与时域分析法联系较为紧密。,本章内容,5-1 频率特性(数学模型)5-2 典型环节与开环系统的频率特性(系统建模)5-3 频率域稳定判据(稳定性问题)5-4 Matlab在频率响应法中的应用5-5 稳定欲度(相对稳定性问题)5-6闭环系统的频率特性5-7 频域响应和时域响应之间的关系5-8 控制系统频域设计,频域分析法与时域分析法是截然不同的两种分析和设计系统的方法,但是本质是统一的。,教材这一章写的?,5-1 频率特性,1.频域特
4、性的基本概念(这种数学模型是怎样的?)2.频率特性的几何表示(这种数学模型怎样表示?),1.频域特性的基本概念,首先以RC滤波网络为例,引出频率特性的基本概念。,那么该性质是否具有一般性,即能否推广到一般的n阶线性定常系统中?,其中,,如果该结论成立,我们知道,控制系统中的信号均可以表示为不同频率正弦信号的合成。那么我们将各种不同频率的输入正弦信号对应该线性系统的响应情况都求出来,那么任何一种控制信号对系统的响应就可以通过叠加相应的正弦信号响应而得到。(信号与系统傅里叶变换。)这也是频率分析法的根本思想所在。,该结论成立的意义:,附录A 傅里叶变换和拉普拉斯变换P630,那么该性质是否具有一般
5、性,即能否推广到一般的n阶线性定常系统中?,其中,,证明:,对于一般的n阶线性定常系统中,若输入 ,则输出的稳态值为,频率特性的定义,对于一般的n阶线性定常系统中,若输入 ,则输出的稳态值为,也就是说, 对于稳定的线性系统,由谐波输入(正弦输入)产生的稳态分量仍然是与输入同频率的谐波函数,只是幅值和相位产生了变化,并且这种变化是频率的函数,这个函数与系统数学模型相关。,(重要概念),获取系统频率特性的途径有两个: 1. 分析法 当已知系统的传递函数时,用 代入传递函数可得到系统的频率特性G(j)。因此,频率特性是 特定情况下的传递函数。它和传递函数一样,反映了系统的内在联系。这种通过传递函数确
6、定频率特性的方法是求取频率特性的分析法(解析法)。 2. 实验法 当系统已经建立,尚不知道其内部结构或传递函数时,在系统的输入端输入一正弦信号 ,测出不同频率时系统稳态输出的振幅Y和相移,便可得到它的幅频特性 和相频特性 。这种通过实验确定系统频率特性的方法是求取频率特性的实验法(也叫系统辨识)。 系统辨识:由系统的输入与输出确定系统数学模型的方法。,曲线拟合,P189,图5-3,5、频率特性一般针对稳定的线性定常系统而言。,正弦输入稳态误差求法总结:1.定义法,求拉式反变换(不能用终值定理)2.动态误差系数法3.频率响应法,用频率特性求取正弦输入稳态误差的方法:,2.频率特性的几何表示法(图
7、示法)(重点),仅从 的表达式中看出的信息不直观,在工程分析和设计中,通常把线性系统的频率特性画成曲线,观察其在不同频率段上的变换,再运用图解法进行研究(包括稳态性能、暂态性能等)。常用的频率特性曲线有三种:,(伯德曲线或伯德图,波特图),(尼克尔斯曲线或尼克尔斯图),(极坐标图,奈奎斯特图,奈氏图,幅相曲线),Bode 图是重点,Nyquist图次重点。(考试、考研必考),本教材,写的跳跃性过大,也太难,建议参考其他作者书。,频率特性幅频特性相频特性实频特性虚频特性对数幅频特性,Remark:,给定一个环节或者系统的传递函数 ,可以马上得到:,以上特性,在频率特性的几何表示中,经常用到,通常
8、都需要事先计算出来,再绘图。,例 RC网络的奈奎斯特图,P190页证明,见图5-5(规范),单位:弧度/秒,半对数坐标系的优点:对数频率特性采用 的对数分度实现了横坐标的非线性压缩,便于在较大频率范围内反映频率特性的变化情况。对数幅频特性采用 则将幅值的乘法运算转化为加减运算,可以简化曲线的绘制过程。,例 RC网络的伯德图,RC网络Nichols图(T=0.5),5-2 典型环节与开环系统的频率特性,设典型的线性系统结构如图所示,闭环系统的很多性能可通过研究开环系统的频率特性来得到。 该线性系统的开环传递函数为 ,为了研究开环系统频率特性曲线,本节先研究开环系统典型环节的频率特性,进一步研究开
9、环系统的频率特性。,本节目录1.典型环节2.最小相位环节的频率特性(Nyquist图与bode图)3.非最小相位环节的频率特性(Nyquist图与bode图)4.系统的开环幅相曲线(Nyquist图)5.系统的开环对数频率特性曲线(bode图)6.传递函数的频域实验确定7.延迟环节和延迟系统,重点掌握最小相位情况的各个知识点,非最小相位情况的考试不考,考研可能考。,1.典型环节,2.最小相位环节的频率特性,(考试、考研重点,nyquist图与bode图必须会画,概率图),考试的标准画法,o,比例环节的nyquist图与bode图,考试的标准画法,注意考察几个特殊点:,注意横竖坐标交点处的的横坐
10、标值(如果交点处没标横坐标值,则斜线不到头),与横轴的交点。,o,积分环节的nyquist图与bode 图,纯微分环节的Bode图,比较交点不标记的情况,0,0,半对数坐标系中的直线方程(重要,bode图解计算时经常用到),其中, 和 为直线上的两点, 为直线斜率。,一定在第四象限,相角变化在0度到-90度。,考试的标准画法,惯性环节的误差曲线,注意考察几个特殊点:,与转折点,考试的标准画法,注意考察几个特殊点:,与转折点,惯性环节极坐标图,o,对吗?,也可写为尾一式,第四象限,第三象限,根据实频和虚频确定相角象限的方法(重要),为 的减函数 。当 时,谐振峰值 。,注意:,3.有谐振时,,2
11、. 与虚轴的交点,1.,(特殊点与趋势),(转折点,是阻尼比的减函数),4.无谐振时,对数幅频特性:,时,忽略 中的 和,二阶振荡环节的折线(渐近线)方程,区分谐振峰值和峰值(P80),注意:越小,最小为0, 出现的越晚;越大,最大为0.707, 出现的越早,比例环节bode 图,典型最小相位环节bode图汇总,P193 图5-11,振荡环节与二阶微分环节(折线图怎么画),转折频率?,最小相位系统:比例相频不衰减;积分相频衰减-90度一节惯性相频逐步衰减90度二阶振荡相频逐步衰减180度微分相频超前90度一阶微分逐步超前90度二阶微分逐步超前180度,3.非最小相位环节的频率特性,注意:运用实
12、频和虚频判断相角象限,与教材的非最小相位惯性环节表达式有区别,4. 系统的概略开环幅相曲线(Nyquist图)(考试、考研必考),1)将开环传递函数表示成若干典型环节的串联形式:,2)求系统的频率特性:,即,概略绘制的具体步骤,3)求,4)补充必要的特征点(主要指曲线与负实轴的交点,相交时所对应频率称为穿越频率)。5)根据 的变化趋势确定曲线历经的象限与单调性,画出Nyquist 图的大致形状。,例:,已知系统的开环传递函数试绘制系统的开环Nyquist图。,解:,1)系统的开环频率特性,2)起点和终点,3)曲线与实轴的交点。,例:,已知系统的开环传递函数试绘制系统的开环Nyquist图并求与
13、实轴的交点。,解:,1)系统的开环频率特性,2)起点和终点,3)曲线与实轴的交点。,相交时,满足,解得:,舍去,(虚频为零),又,解得,,例:,已知系统的开环传递函数试绘制系统的开环Nyquist图。,解:,1)系统的开环频率特性,2)起点和终点,最小相位系统nyquist图的一般形状:(考试、考研时利用此规律作图),考虑如下系统:,1),n为分母阶次,m为分子阶次,只包含惯性环节的0型系统Nyquist图,2),3),结论:(最小相位系统)(考试考研的快速作图方法) 开环含有v个积分环节系统,Nyquist曲线起自幅角为v90的无穷远处。 n = m时,Nyquist曲线起自实轴上的某一有限
14、远点,且止于实轴上的某一有限远点。 n m时,Nyquist曲线终点幅值为0 ,而相角为(nm)90。不含一阶或二阶微分环节的系统,相角滞后量单调增加。含有一阶或二阶微分环节的系统,由于相角非单调变化, Nyquist曲线可能出现凹凸。,例5-3 已知单位反馈系统开环传递函数为试绘制系统概略开环幅相曲线。,解:1).系统开环频率特性为,2)开环幅相曲线的起点:,终点:,3)与实轴的交点:,当,时,存在交点。,交点为,当时 ,交点不存在。,应该指出,由于开环传递函数具有一阶微分环节,系统开环幅相曲线有凹凸现象,因为绘制的是概略幅相曲线,故这一现象无需准确反映。,例5-4:已知系统开环传递函数为试
15、概略绘制系统开环幅相曲线。,解:系统开环频率特性为,非最小相位系统nyquist图绘制举例(考研),开环幅相曲线的起点幅频:,各环节在 时的相频特性范围:,开环幅相曲线的终点幅频:,因此,开环频率特性的相频范围为:,即:,(象限判断),与虚轴的交点:令虚部为零,解得,5.系统开环对数频率特性曲线(bode图),(考试、考研重点),最小相位系统,寻找最小相位系统开环Bode图特点(熟记)最低频段的斜率取决于积分环节的数目v,斜率为20vdB/dec。注意到最低频段的对数幅频特性可近似为:(会推导) L() = 20lgK 20vlg当1 rad/s时,L()=20lgK,即最低频段的对数幅频特性
16、或其 延长线在1 rad/s时的数值等于20lgK。(在1 rad/s处,只有比例环节能够提供增益,其它的环节在此处都为0;环节转折频率在1前例外,此时对应低频段的延长线。)如果各环节的对数幅频特性用渐近线表示,则对数幅频特性为一系列折线,折线的转折点为各环节的转折频率。 对数幅频特性的渐近线每经过一个转折点,其斜率相应发生变化,斜率变化量由当前转折频率对应的环节决定。对惯性环节,斜率下降20dB/dec;振荡环节,下降40dB/dec;一阶微分环节,上升20dB/dec;二阶微分环节,上升40dB/dec。,由以上特点,可以总结出绘制最小相位系统bode图的步骤(熟记),1)将开环传递函数表
17、示为典型环节的串联:,2)确定各环节的转折频率,并由小到大标示在对数频率轴上。,3)计算20lgK,在1 rad/s 处找到纵坐标等于20lgK 的点,过该点作斜率等于-20v dB/dec的直线,向左延长此线至所有环节的转折频率之左,得到最低频段的渐近线。,4)向右延长最低频段渐近线,每遇到一转折频率改变一次渐近线斜率。,5)对渐近线进行修正以获得准确的幅频特性(主要针对振荡环节和二阶微分环节)。,6)相频特性曲线由各环节的相频特性相加获得,计算几个点的值绘出大致曲线。,(尾一式),(整理成尾一式),考试标准绘图,相频特性bode图在同样的坐标系下绘制一条近似的曲线即可。注意相频的角度范围不
18、要错即可。,非最小相位系统开环环bode图的绘制(考研),6.传递函数的频域实验确定(系统辨识),可运用频率响应实验确定稳定系统的数学模型。,1)频率响应实验 频率响应实验原理图如图所示。,首先选择信号源输出的正弦信号的幅值,以使系统处于非饱和状态。在一定频率范围内(感兴趣的范围内),改变输入正弦信号的频率,记录每个频率点处系统输出信号的波形。由稳定段的输入输出信号的幅值比和相位差绘制对数频率特性曲线。,2)传递函数的确定(由Bode图确定传递函数)从低频段起,将实验所得的对数幅频曲线用频率为的直线分段近似,获得对数幅频渐近特性曲线。,3)由 反求传递函数实例(适用范围:最小相位系统,考试,考
19、研),课外阅读:用matlab中的levy函数曲线拟合得到传递函数的方法。,(非常重要),例5-7(考研)图为由频率响应实验获得的某最小相位系统的对数幅频曲线和对数幅频渐近特性曲线,试确定系统传递函数。,解:,1),(教材P205图为实验曲线拟合效果图。),2),3)求,直线方程:,4)求,作业,注意:最小相位系统的对数幅频特性和相频特性是一一对应的。渐近特性曲线可以确定最小相位系统的传递函数。值得注意的是,实际系统并不都是最小相位系统,而最小相位系统可以和某些非最小相位系统具有相同的对数幅频特性曲线,因此具有非最小相位环节的系统,还需依据相应环节对相频特性的影响并结合实测相频特性予以确定。,
20、7.延迟环节与延迟系统,延迟系统及其开环幅相曲线,5-3 频率域稳定判据(考试、考研重点),1.奈奎斯特稳定判据(由奈奎斯特图判断系统稳定性)2.对数频率稳定判据(由伯德图判断系统稳定性)3.条件稳定系统,本节目录,控制系统的闭环系统稳定性是系统分析和设计所需要解决的首要问题。奈奎斯特稳定判据和对数频率稳定判据是常用的两种频域稳定判据。频域稳定判据的特点是根据开环系统频率特性曲线判定闭环系统的稳定性。频域判据使用方便,易于推广。,1.奈奎斯特稳定判据,1),辅助函数,上式中,s为复变量,以s复平面上的s=+j来表示。F (s)为复变函数,以F (s)复平面上的F (s)= u+j v表示。点映
21、射关系,如左下图所示。s平面与F(s)平面的曲线映射关系,如右下图所示。,点映射关系,s平面与F(s)平面的映射关系,2)幅角原理,复变函数中的幅角原理是 奈奎斯特判据的数学基础。,如果在s平面上任取一条封闭曲线 ,且要求 曲线满足下列条件: (a)曲线 不通过F (s)的奇点(即F (s)的零点和极点); (b)曲线 包围F (s)的Z个零点和P个极点。 s平面上的封闭曲线 如下图所示。复变函数F (s),当s1 (封闭曲线 上任一点 )沿闭合曲线 顺时针转动一圈时,其矢量总的相角增量,式中,P和Z分别是被封闭曲线 包围的特征方程函数 的极点数和零点数。表明,当s平面上的试验点 沿封闭曲线
22、顺时针方向绕行一圈时,F(s)平面上对应的封闭曲线将按逆时针方向包围坐标原(P-Z)圈。,令 R为F (s)平面上封闭曲线 包围原点的圈数,则 R=P-Z,幅角原理总结:,F (s)包围原点的圈数= 内 F (s)极点数- 内 F (s)零点数,F (s)包围原点的圈数= 内系统开环传递函数极点数- 内系统闭环传递函数极点数,内系统闭环传递函数极点数= 内系统开环传递函数极点数- F (s)包围原点的圈数,奈奎斯特稳定判据的思路来源:,恰当的选择 ,使得 包围整个S右半平面,则根据 包围原点的圈数和已知的开环传递函数在右半平面的数目,可以判断系统闭环传递函数在右半平面的数目,进而可以判断系统的
23、稳定性。,F (s)包围原点的圈数= 内 F (s)极点数- 内 F (s)零点数,选择时 ,分了三种情况,0型系统非0型系统临界稳定系统,3)奈奎斯特稳定判据,A.,(P为右半平面系统的开环极点数目),(0型系统),a,b,c,(原点或者某常值点),课后练习5-14,(最小相位),在左图,当S沿着 顺转一周时,对应于 ,此时, 线围绕着-1点顺时针转了2圈。而系统不存在右半平面的开环极点,所以 ,所以系统不稳定。并且存在Z=P-R=0-(-2)=2个S右半平面的闭环极点。,由对称性可以简化绘图,只需做出的一半的曲线 , 即Nyquist图即可,如右图。但是 线围绕着-1点转的圈数,应该乘以2
24、再与右半平面的开环极点数作比较。,注:利用半闭合曲线 计算闭合曲线 包围原点圈数R的方法。,根据半闭合曲线 可获得 包围原点的圈数 。设 为穿越点 左侧负实轴的次数, 表示正穿越的次数和(从上向下穿越), 表示负穿越的次数和(从下向上穿越),则,此题中,,考试、考研标准答题格式,闭环系统不稳定,具有两个右半平面的极点。,系统开环右半平面的极点为0,所以P=0,(关键),思考,此题用劳斯判据怎么做?,例,在右半平面的极点数为P=1。当K1时, , R=2N=1=P 系统稳定;当K1时,N=0 ,系统不稳定;当K=1时,系统临界稳定。,B .,a,b,c,d,(也称为增补曲线),(非0型系统),为
25、,解:,开环Nyquist曲线不包围(-1, j0 )点,而P=0,因此,系统闭环稳定。,(考研),(如何顺时针增补的曲线?),最小相位系统增补曲线的基本形式,(考试),闭环系统稳定吗?,闭环系统稳定吗?,闭环系统稳定。,C .,(不要求掌握),(临界稳定系统),注1:奈奎斯特稳定性判据的另外一种形式,注2:利用半闭合曲线 计算闭合曲线 包围原点圈数R的方法。,根据半闭合曲线 可获得 包围原点的圈数 。设 为穿越点 左侧负实轴的次数, 表示正穿越的次数和(从上向下穿越), 表示负穿越的次数和(从下向上穿越),则,特殊情况:半次穿越。,半次正穿越,半次负穿越,某非最小相位系统,注3:临界稳定,当
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