自动控制原理第七章线性离散系统ppt课件.ppt

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1、第七章 线性离散系统,7.1 离散系统的基本概念7.2 采样过程及采用定理7.3 信号恢复与信号保持7.4 Z变换理论7.5 线性离散系统的脉冲传递函数7.6 线性离散系统的稳定性与稳态误差7.7 动态响应与闭环零、极点分布的关系7.8 线性离散系统的数字校正7.9 最少拍离散系统的分析与校正,连续系统:r(t)、c(t)和e(t)等是时间t的连 续函数，这样的系统称为连续系统。 计算机广泛应用于控制系统，微机是以数字 方式传递和处理信息，控制系统中的信号定 义在离散时间上的系统称为离散系统。 离散系统与连续系统既有差别，又有相似 性。连续系统通过Z变换，可以将连续系统中 的概念应用到离散系统

2、。,7.1 离散系统的基本概念,一、信号分类,1、模拟信号 信号是时间的连续函数；,2、离散信号 信号是时间上的离散序列；,3、数字信号,离散量化信号，是时间上、幅值上的离散序列。,7.1.1 离散系统的特点,二、控制系统分类,1、连续系统,2、采样系统,3、计算机控制系统,采样周期：一个非常重要、特殊的参数，会影响系统的 稳定性、稳态误差、信号恢复精度！,三、连续系统与采样控制系统的区别,相同点: 1、采用反馈控制结构; 2、由被控对象、测量元件和控制器组成; 3、控制系统的目的相同; 4、系统分析的内容相同。,不同点：信号的形式（采样器、保持器）。,采样控制的优点： 精度高、可靠、有效抑制

3、干扰、通用性好。,采样开关的工作方式，指采样速度和采样开关的周期性采样之间的相位问题；采样误差信号 是通过采样开关对连续信号 采样后得到的；采样开关经过一定的时间T闭合一次，采样时间为，T。T为采样周期，s=1/T及s=2s分别为采样频率和采样角频率。,7.1.2 采样开关的工作方式,采样的方式 周期采样：采样时刻为nT(n=0、1、2),T 为常量；多阶采样：采样时间是周期性重复的； 多速采样：用两个具有不同采样周期的采样器对信号同时采样；随机采样：采样时间是随机变量。 本章讨论等周期采样,数字计算机作为控制器的控制系统多点巡回检测与控制系统,常见的采样系统,采样器（采样开关）：将连续信号变

4、为脉冲序列的装置；,采样过程：对连续信号采样后变为时间上离散的脉冲序列的过程；,T采样周期,-采样时间 T n整数,7.2.1采样过程,7.2 采样过程及采用定理,时间内,e(t)变化甚微，可近似为宽度为 ,高度为e(nT)的矩形脉冲序列,信号采样,理想采样序列：,采样过程是脉冲调制过程,对采样器的输出拉氏变换,由拉氏变换实位移定理,采样过程相当脉冲调制过程,采样输出是两个信号的乘积,-决定采样信号幅值,-决定采样时间,为了从采样信号中不失真地复现原连续信号,离散系统设计者必须遵循采样定理;,7.2.1 采样定理,如果 (采样角频率)，就不能准确恢复原来的连续信号。,s 2m,e(t)就可以从

5、e*(t)中恢复过来,也可表示为,若采样器输入信号e(t)带宽有限，且有直到m (rad/s)的频率分量，当采样周期T满足下列条件,采样定理(香农定理),单位脉冲理想响应序列,e*(t)对应的离散信号,e （t)连续信号,以T为周期的复式函数，可展开成傅立叶级数(或指数形式),表示为,采样信号的频谱（证明）,T(t) =,s=2/T为采样角频率,Cn是傅氏系数,其值为：,连续信号的频谱为,采样信号的频谱为,s,2s,3s,-3s,-2s,-s,s满足什么条件时,才能从,恢复出,?,s 2m,或：,T/m,s = 2m,7.2.3 采样周期的选择,采样周期T选得越小，即采样角频率s选得越高，信息

6、获得的越多，控制效果越好;T过短，控制规律复杂，T过长，控制误差大，动态性能降低，甚至导致系统不稳定;采样周期T参考选择；,T的选取，主要取决于系统的性能指标。,频域闭环:闭环频率响应有低通滤波特性输入频率高于r时，信号快速衰减，可认为通过系统的控制信号最高频率分量为r 。频域开环：近似有cr，频率分量超过c的分量通过系统后被大幅度衰减。随动系统的采样角频率近似为s=10cT=2/s ,采样周期公式可表示为时域指标:T可以通过tr，ts选取，按经验公式确定,采样 定理,信号复现,理想滤波器,采样开关,7.3 信号恢复与信号保持,T选择得当，e(t) 从e*(t)中完全复现。但理想滤波器不存在，

7、只能用保持器代替。,保持器将离散信号 连续信号的元件,采样时，连续信号值与脉冲序列强度相等，nT时刻，有,(n+1)T时刻，有,保持器要解决nT与(n+1)T之间(即0tT)，连续信号e(nT+ t) 有多大？它与e(nt)的关系？,保持器有外推功能，外推作用即现在时刻的输出取决于过去时刻离散信号的外推,用公式描述,该式说明现在时刻的输出e(nT+t)，由过去 (m+1)个离散信号e*(nT)、e*(n-1)T、e*(n-2)T、e*(n-m)T确定。i（i=0,1,m）为待定系数，由过去(m+1)个e*(n-i)T 确定，i 有唯一解;t0、T、2T、mT为过去时刻。,m=0，为零阶保持器；

8、m=1，为一阶保持器；m=m，为m阶保持器。一般采用零阶保持器,t是以nT为坐标原点。,主要特点：,1、输出信号是阶梯波，含有高次谐波。,2、相位滞后。,零阶保持器：,7.3.1 零阶保持器,最简单、使用最广泛；采用恒值外推规律，即将前一采样时刻nT的采样值e(nT)不增不减地保持到下一个采样时刻(n+1)T，,零阶保持器,零阶保持器的单位脉冲响应,由拉氏变换的相似性,零阶保持器的幅频特性,注意：,2、除了主频谱外，还有高频分量；,3、零阶保持器将产生相角滞后，滞后角,1、幅值随角频率的增大而衰减，有低通滤波特性；,零阶保持器的近似实现,取前两项,取前三项,取前三项时无源网络实现形式如图,更高

9、阶的近似，使无源网络变得非常复杂。,一般不使用！,解：,例7.7已知微分方程：,时域数学模型 差分方程,将其离散化，用采样控制方式(T=1)，求相应的前向差分方程，并解之。,解：,差分方程解法一：迭代法,解,差分方程解法二：z变换法,Z变换是采样函数拉氏变换的变形，又称为采样拉氏变换，是研究线性离散系统的重要数学工具。,7.4 Z变换理论,线性连续系统的性能，用拉氏变换分析，,线性离散系统的性能，用Z变换分析。,7.4.1 Z变换的定义,被定义为采样函数*(t)的Z变换,对Z变换强调两点：,2.Z变换中，仅采样时刻上的采样值，,信息，不反映采样时刻之间的信息，f(t)与* (t) 有相同的Z变

10、换，即Zf(t)Z* (t) =F(z),该式仅表达采样时刻的,已知,当,1. 级数求和法,7.4.2 Z变换的求法,f(t）的离散函数为*(t) , 将*(t)展开,逐项拉氏变换，得,上式为* (t) 的Z变换的级数表达式。显然，知道f(t) 采样时刻nT（n=0,1,2,）的值f(nT），则可求得Z变换的级数展开式。,例7.2求 的F(Z)。,例7.1求1*（t）的Z变换 。,|z-1 | 1 ，级数收敛，利用求和公式，得1（t）的Z变换,例7.3求 f(t)=t的Z变换,两边求导,求出 Pi 及 Ai ，可求出F(s)对应的Z变换F(z)：,f(t) 的拉氏变换为F(s)，其部分分式之和

11、为,2、部分分式法,Ai常系数,Pi 是极点,n为极点数,已知f(t），求F(z) ，可以按图示虚线箭头的步骤，也可以按实线箭头的步骤。,可以根据F(s)查Z变换表得F(z),解：,例7.4,求f(t)= t1(t)的Z变换,查Z变换表得,例7.6求,解：,例7.5求,的Z变换 。,解：,所以,3、留数计算法,F(s)的全部极点已知, 留数计算法公式为,F(s)有一阶极点,s=P1,留数为,F(s)在有q阶重复极点,留数为,为 在 时的留数,Z变换表见P.219表(72),例7.8求,的Z变换,解:,例7.9求,的Z变换,解:,为两阶重极点!,例7.10已知,用留数法求F(z)。,解:,1、线

12、性定理2、滞后定理3、初值定理4、终值定理5、复数偏移定理6、卷积和定理,7.4.3 Z变换的性质,Z变换常用的定理,设：,则：,函数线性组合的Z变换，等于各函数Z变换的线性组合。,2、平移定理,t0时，f(t)的值为零， f(t)的Z变换为F（z）则,原函数延迟的采样周期数为k，象函数则乘z-k。算子z-k的含义表示时域中时滞环节，把脉冲延迟k个周期。,1、线性定理,平移定理,3、初值定理,f(t)的Z变换为F（z），并且,存在，,4、终值定理,经常用于分析计算机系统的稳态误差！,则,6、卷积和定理,设,式中,为正整数，当n为负数时,则有,式中,5、复数偏移定理,f(t)的Z变换为F（Z），

13、则,7.4.4 Z反变换,Z反变换是已知F（Z），求f(nT)的过程，即,只能求出序列的表达式，而不能求出它的连续函数！,求解方法:长除法(幂级数法)、 部分分式法、 留数法。,1、长除法（幂级数法）,要点：将F（Z）用长除法变为降幂排列的形式。,F(z) 展开成 的无穷幂级数，即,如果幂级数收敛，按Z变换定义，式中系数 即采样脉冲序列 的脉冲强度f(nT)。可以直接写出 的脉冲序列表达式,即：,例7.11求,的Z反变换,解：,为方便求取，将分母首项变成1。为此，用分母首项（Z2） 去除全式,例7.12已知 ，求Z反变换解:展开成有理分式将分母首项变成1, 用分母首项（Z2）去除全式得：,按长

14、除法，用分母多项式去除分子多项式，得：,查Z变换表,两端乘以Z,1.部分分式法（因式分解法，查表法）,例7.13求,的Z反变换,解：,3.留数法（反演积分法）,函数F(z)zn-1在极点pi处的留数，,曲线C是包含F(z)zn-1全部极点的任意封闭曲线。,若Zi为一重极点,若Zi为q重极点,由Z变换的定义,两端同乘,由复变函数理论,例7.14求,的Z反变换,解：,有一个两重极点,例7.15求,的Z反变换,解：,有两个一重极点,例7.16已知 ，求Z反变换。,解:,有两个二重极点，,Z变换是为了求出线性离散系统的脉冲传递函数。,零初始条件下，线性系统输出的Z变换与输入的Z变换之比为系统的脉冲传递

15、函数（或z传递函数）。即,7.5.1 脉冲传递函数的定义,系统的离散输出信号,7.5 线性离散系统的脉冲传递函数,局限性: (1) 原则上不反映非零初条件下系统响应的全部信息; (2) 只适合描述单输入单输出系统; (3) 只适线性定常离散系统。,本次课程作业,7 - 1(1,2),自动控制原理,7 - 2 (1,4),7 - 4 (1,2),多数系统的输出是连续信号c(t)，而非采样信号c*(t)，在输出端虚设一个采样开关，如图虚线，该开关与输入采样开关同步，有相同的采样周期；若实际输出c(t)较平滑，且采样频率较高，则可用c*(t)近似描述c(t)；虚设的采样开关不存在，它只表明输出连续函

16、数c(t)在采样时刻上的离散值c*(t) 。,线性定常离散系统的位移不变性,推导脉冲传递函数，理解其物理意义,推导脉冲传递函数，理解其物理意义(续),系统响应速度越快，即g(t)衰减越快, G(z) 展开式中包含的项数越少,根据离散卷积定义得知,下式右边的Z变换为R(z)G(z),C(z)=R(z)G(z),开环离散系统由几个环节串联组成时，脉冲G(z)的求法与连续系统的G(s)情况不完全相同。两个开环离散系统的组成相同，但采样开关的数目和位置不同，求出的开环脉冲传递函数也会不同。对开环系统的脉冲传递函数，应注意以下两种不同的情况。,7.5.2 开环系统的脉冲传递函数,串联各环节之间有采样器,

17、串联各环节之间无采样器,由于求和与符号无关,再令m=n,证得,采样拉氏变换的两个重要性质,1）采样函数的拉氏变换具有周期性,G*(s)=G*(s+jks),由Pg211公式(7-11)得：,E*(s)G1(s) G2(s)*=E*(s)G1(s) G2(s)*,2）离散信号可从离散符号中提出来,设G1(s)G2(s)=G (s)，,则有：,E*(s)G(s)*=,E*(s)与无关，,=E*(s)G(s)*,所以有：,=E*(s)G*(s),1、串联各环节之间有采样器,脉冲传递函数等于两个环节的脉冲传函之积。,如图，G1 (s) 和G2 (s)之间有理想采样开关隔开。根据脉冲传递函数定义，得,2

18、、串联各环节之间无采样器,两个串联环节之间没有采样开关，脉冲传递函数为这两个环节传递函数积的Z变换。,开环离散系统结构图等效变换1,C*(s),d(s),d*(s),开环离散系统结构图等效变换2,R(z),R(z),z-1R(z),(1-z-1)R(z),开关位置的等效变换,1(t)+t*,1(t)*,=,t*,+,1(t),t,1(t)+t,例7.17 设,两个环节串联，求出中间有采样开关和无采样开关时系统的开环脉冲传递函数。,解：,两个环节中间有采样开关时,两个环节中间无采样开关时,连续系统:闭环与开环传递函数之间有确定的关系，可以用典型的结构图来描述闭环系统。离散系统:采样开关的位置不同

19、，结构形式就不一样，没有唯一的典型结构图，因而闭环脉冲传递函数没有一般的计算公式，只能根据具体结构而具体求取。闭环脉冲传递函数是闭环离散系统输出信号的Z变换与输入信号的Z变换之比，即,7.5.3 闭环系统的脉冲传递函数,P.228表7-3列出了典型的闭环离散系统及其输出的Z变换函数,闭环离散系统结构图等效变换1,C*(s),R*(s),B*(s),E(z)=R(z)-B(z),B(z)=E(z)G1G2(z),C(z)=E(z)G1(z),闭环离散系统结构图等效变换2,R(s)G1(s),B(s),RG1*,B*(s),E(z)=RG1(z)-B(z),B(z)=E(z)G1G2G3(z),C

20、(z)=E(z)G2(z),(z),不存在,闭环离散系统结构图等效变换3,C*(s),C(s),闭环离散系统结构图等效变换4,C*(s),A*(s),C (s),闭环脉冲传递函数,误差脉冲传递函数,对于单位反馈系统,闭环脉冲传递函数,误差脉冲传递函数,闭环采样系统的特征方程,有干扰信号的采样系统，令R(s)=0,例7.18如图(T=1),试确定 （1）系统的脉冲传递函数； （2）在 z平面绘出系统零极点图； （3）系统的差分方程。,解. (1),(3),(2)系统z平面零极点图,开环系统脉冲传递函数,(1) 环节之间有开关时,(2) 环节之间无开关时,(3) 有ZOH 时,注：加ZOH不改变系

21、统的阶数，不改变开环极点，只改变开环零点。,解:,例7.19求采样系统的输出C(z)。,本节讨论离散系统的稳定性，同时指出计算离散系统在采样瞬时稳态误差的方法。,7.6.1离散系统的稳定条件,（一）S平面和Z平面的映射关系,设复变量,则,因为,由于,S平面,Z平面,变化一周,变化一周,Z平面以原点为圆心的单位圆上的点（显然有|z|= et=1),S平面是虚轴上的点,z平面的单位圆映射到s平面为虚轴；z平面单位圆内的点（|z|= et1 ）映射到s平面则位于右半平面的点（0) 。,S平面,Z平面,7.6 线性离散系统的稳定性与稳态误差,（二）线性采样系统稳定的充要条件,闭环脉冲传递函数,闭环系统

22、特征方程,闭环系统稳定的充要条件,劳斯判据用到离散系统，必须引入Z域到 w域的线性变换，使Z平面上的单位圆，映射成w平面上的左半平面，这种新的坐标变换，称为双线性变换，或称为w变换。,7.6.2 离散系统的稳定性判据,双线性变换法,Z和W均为复变量,将Z带入,（2）W平面的左半平面,对应Z平面单位圆内,（3）W平面的右半平面,对应Z平面单位圆外,讨论,（1）W平面的虚轴,对应Z平面单位圆,例7.20 如图,，求系统稳定的K1。,解:,整理得:,劳斯表,例7.21如图示，T=1s，求使系统稳定的K1 值范围。,解：,闭环特征方程,劳斯判据，系统稳定的充要条件是,即,所以使系统稳定的范围是,T、k

23、对离散系统性能的影响,T=0 k=0.2,k=0.8,k=1.2,k=10,k=100,(T为采样周期),本次课程作业,7 - 5(1,3),自动控制原理,7 - 6 (1,2,4),7 - 9,7 - 11,朱利判据,朱利判据是直接在z域应用的稳定性判据,类似连续系统中的赫尔维茨判据。,朱利判据是根据特征方程D(z)=0的系数，判断其根是否位于z平面的单位圆内；,闭环特征方程,利用闭环特征方程系数，构造（2n-3）行、（n+1）列朱利阵列,朱利阵列的2k+2行各元，是2k+行各元的反序排列，从第三行起，阵列中各元的定义如下页,从第三行起，阵列中各元的定义：,朱利稳定判据：(z)=的根全部位于

24、单位圆内的充分必要条件是,以及下列(n-1)个约束条件成立,当上述条件满足时，离散系统才稳定，否则不稳定。,朱利判据,D(z)=z4-1.368z3+0.4z2+0.08z+0.002=0,z0 z1 z2 z3 z4,1 2 3 4 5,-1,1 -1.368 0.4 0.08 0.002,0.002 0.08 0.4 -1.368 1,1.368,-0.399,-0.082,-0.082,-0.399,1.368,-1,0.993,-1.401,0.511,0.511,-1.401,0.993,稳定的必要条件：,n为偶数时 D(1)0,D(-1)0,n为奇数时 D(1)0,D(-1)0,2

25、(n-1)行,2n-行,两种计算方法,一种用Z变换终值定理求稳态误差;,7.6.3 线性离散系统的稳态误差,另一种方法用误差脉冲传递函数求稳态误差。,如图,系统稳定，1/1+G(z) 的全部极点都在Z平面的单位圆内。应用Z变换终值定理，得稳态误差,个z=1的极点的系统称为型系统，= 012时，对应0型型型系统。,称为无差度,采样系统为型系统时,采样系统为型系统时,1.单位阶跃输入时的稳态误差,静态位置误差系数,采样系统为型系统时,采样系统为0型系统时,2.单位斜坡输入时的稳态误差,静态速度误差系数及稳态误差,3.单位加速度输入时的稳态误差,静态加速度误差系数及稳态误差,例7.22如图示，T=1

26、s, r(t)=2t,n(t)=t， （1）无零阶保持器时，求稳态误差。 （2）有零阶保持器，稳态误差如何变化？,无零阶保持器，设,解 (1),n(t)=0, 考虑r(t)=2t的作用，则,稳态误差与输入信号、系统的结构参数和采样周期有关，T小会减小稳态误差。,输入信号2t,r(t)=0，考虑n(t)=1(t)的作用，误差信号的Z变换表达式为,得,将,代入上式得,由Z变换的终值定理,r(t)和n(t)同时作用，总的稳态误差为,注意：线性离散系统中，可应用叠加原理求多个输入信号作用的稳态误差。,(2) 有零阶保持器，则,Z变换为,n(t)=0误差系数和稳态误差,设r(t)=0时，系统误差信号的Z

27、变换表达式为,稳态误差为,总的稳态误差为,零阶保持器的引入使稳态误差不受采样周期的影响。实际上，有零阶保持器的离散系统和相同传递函数的连续系统的稳态误差相同。,a,b为实常数，试在参数a,b的平面上画出使闭环稳定的参数取值范围。,由朱利判据的必要条件得：,1+a+b0，1-a+b0，1-b+a0,由朱利判据的充分条件得：,阴影部分即为所求,n为偶数时 D(1)0,D(-1)0,n为奇数时 D(1)0,D(-1)0,例7.23下图所示离散系统的开环脉冲传递函数,1.判断系统的稳定性；2.求r(t)=1(t)时系统的稳态输出c()。,提示：,解：特征方程：z2+0.038z+0.05=0，系统稳定

28、；,线性离散系统的闭环脉冲传递函数为,zi 为零点, pk为极点,r(t)=1(t) ，输出的Z变换为,将C(z)展开成部分分式，得,第一项是c*(t) 的稳态分量,第二项为c*(t) 的瞬态分量。,7.7 动态响应与闭环零、极点分布的关系,分析pk 0,对应暂态分量 指数函数的情况。,k 在单位圆内的位置确定c*(t) 的动态形式，分三种情况。,1.正实轴上的闭环单极点,(1) pk1，闭环极点在单位圆外的正实轴上，指数函数发散型。Ck(nT) 是按指数规律发散的脉冲序列;,(2) pk =1，闭环极点在单位圆上，指数函数为恒值函数。Ck(nT) 为等幅脉冲序列;(3) 0 pk 1时，闭环

29、极点在单位圆内的正实轴上，指数函数为衰减型函数。 Ck(nT) 按指数规律衰减的脉冲序列， pk 越接近原点，衰减越快。,k -1，极点 pk 在单位圆外的负实轴上，指数函数振荡发散，系统不稳定。Ck(nT)是振荡发散的脉冲序列；(2) -1 pk 0，极点pk在单位圆内的负实轴上，指数函数振荡收敛， Ck(nT)是振荡收敛的脉冲序列，系统稳定；,(3)pk =-1，极点 pk 左半Z平面的单位圆周上，指数函数等幅振荡。Ck(nT) 是等幅振荡的脉冲序列。,Ak 与Ak+1 必为共轭复数，即,3.Z平面上的闭环共轭复数极点,k 为复数共轭极点，如图,| pk |为共轭复数的模,k为共轭复数的幅

30、角,暂态分量,以余弦规律振荡,|Pk| 1 ，系统发散振荡，不稳定；|Pk| 1 ，系统衰减振荡，Pk，Pk+1越靠近原点（即|Pk|越小）衰减越快。,振荡周期Tk与k 有关，k 越大Tk越小；用采样周期T的倍数来表示Tk ， Tk 的值可通过下式获得。,k 对应幅角k=/4 ，对应Ck(nT)的Tk为,闭环实极点分布与相应的动态响应形式,Z平面,Im,Re,0,1,-1,pk0,Pk0,Im,Re,1,1,闭环复极点分布与相应的动态响应形式,|Pk| 1 ,发散振荡，不稳定,|Pk| 1 ,衰减振荡,稳定,例7.24如图， , T=0.5s，用根轨迹法确定K值的稳定范围。,解:,根轨迹始点为

31、1和0.6065，终止点为-0.8469。特征方程为,特征根,06.37时，Z12为实根，0.211K6.37时， Z12为共轭复根。特别是 K=0， Z1=1 ，z2=0.6065 K=0.211， Z12 =0.7915（重根） K=6.73， Z12 =2.475（重根）为求共轭复根轨迹，取Z=+j 代入特征方程，实部与虚部为,圆方程,共轭复根位于所描述的圆上。做出图示根轨迹,从单位圆看出，04.36 ,系统不稳定。,注：离散系统的根轨迹与连续系统相似。,离散系统的校正也是设计满足系统性能的校正装置。离散系统可以用串联并联局部反馈和复合校正。,根据传递信号的特点，校正分为连续校正和脉冲或

32、数字校正，如图示。但大多采用数字装置实现校正。,7.8 线性离散系统的数字校正,闭环特征方程表示为,Z域中的根轨迹作图方法与S域中的根轨迹作图规则一致。,7.8.1 用根轨迹法综合数字校正装置,连续系统中稳定边界是根轨迹与虚轴的交点，离散系统的稳定边界是根轨迹与单位圆的交点。,当系统有一对闭环主导极点，且指标是误差系数或阻尼比等形式给出时，可以应用根轨迹法。,抵消不希望的极点，使系统达到要求。,如图，先绘出校正前系统的根轨迹图。如果不满足给定的要求，利用校正装置引入新零点，,7.8.2数字校正装置的实现,数字校正装置可以用简单低廉的RC网络。,数字计算机控制时，脉冲传递函数D(z)可以用数字程

33、序来实现，又称为数字滤波器方式。,RC网络实现 Gc(s)时，Gc(s)的极点通常为负的实数，所以Gc(s) /s 可以展开成,1. 用RC网络实现D(z),如图示，Gc(s)表示RC校正网络的传递函数,有,于是有,常系数,由上两式可以直接求出RC网络的传递函数,数字控制系统中，数字控制器D(z)又称为数字补偿器或数字滤波器，可以直接用计算机程序来实现D（z）。常用的编程方法: 直接程序法， 串联程序法 并联程序法。,2.用计算机程序实现D（z）,采样时刻的输入e1和计算结果e2要送入存储单元，以备下一采样时刻的计算。程序编制框图如图示,D(z)为,可写成,求Z反变换，并整理得,表示现在采样时

34、刻,过去采样时刻与现在采样时刻距i个采样周期,由图可知,例:已知,用直接程序法编求脉冲传递函数的实现程序的表达式,解:已知,求Z反变换，得,其中（k=0,1,2），e2(kT)就是要编制的程序表达式，用直接程序法容易很实现。,最少拍离散控制系统，是在指定输入下快速响应，且无稳态误差的离散控制系统，典型输入信号（如单位阶跃信号单位斜坡信号或单位加速度信号）作用下，系统的过渡过程最短，能在极少的几个采样周期（通常一个采样周期时间为一拍）内结束过渡过程，并且稳态误差为零，实现对输入信号的完全跟踪，最少拍离散系统又称为最快响应系统。,7.9 最少拍离散系统的分析与校正,如图示,7.9.1 最少拍系统的

35、闭环脉冲传递函数,误差的Z变换为,幂级数展开得,则,则,最少拍系统设计，是针对典型输入（单位阶跃函数单位速度函数单位加速度函数）的作用下进行的。它们的Z变换分别为,7.9.2 最少拍系统的设计,上述典型输入信号的一般表达式,A(z)是不含(1-z-1)因子的 z-1 多项式,要使稳态误差为零,e(z)中应包含有(1-z-1)m的因子，,由最少拍定义，需求稳态误差的表达式e() ,e(t)的Z变换,Z变换的终值定理，离散系统的稳态误差为,为使D(z)简单，阶数最低，取F(s)=1。目的是使(z) 的全部极点位于Z平面的原点。因此得到,即,不含(1-z-1) 因子的多项式,上两式即无稳态误差的最少

36、拍系统的闭环脉冲传递函数。,若广义被控对象G(z)无迟延,且在Z平面单位圆上及单位圆外无零极点，要求选择闭环脉冲传递函数 (z)，使系统在典型输入作用下，经历最少采样周期后能使输出序列在各采样时刻的稳态误差为零，从而达到完全跟踪的目的，最后确定出所需要的数字控制器的脉冲传递函数D(z)。,最少拍系统的设计原则：,(1) 输入信号是r(t)=1(t)，,几种典型输入信号作用时的情况。,m=1，所以,（2）输入信号是m=2，所以,(3)输入信号是，,m=3，所以,最少拍系统在前述输入信号作用下的暂态响应 c*(t) 如图所示。,不同的输入，相应最少拍系统的闭环脉冲传递函数与过渡时间列于P243表7

37、5所示。,最少拍单位阶跃响应 最少拍单位斜波响应,最少拍单位加速度响应,例7.25如图示，已知为单位阶跃函数，c(0)=0。设计D(z)，使系统为无稳态误差的最少拍系统。（e-1 =0.368, e-2 =o.136 ）。,为实现阶跃输入是无稳态误差的最少拍系统，闭环脉冲传递函数为,解：,t=1秒时，z变换为,所以,D(z)是可实现的,校正后系统输出Z变换为,如图所示。,系统在单位阶跃输入作用下，瞬态过程将在一个采样周期内结束，且在采样时刻的稳态误差为零。,按某种典型输入信号设计的最少拍系统，对其它形式的输入信号，响应不一定理想。如前述校正后系统改用加速度输入，系统误差的Z变换为,注意,稳态误

38、差为,以上讨论的最少拍系统的校正方法，及P243表7-5中的基本结论，是G(z)在Z平面以原点为圆心的单位圆上和圆外无零、极点，且系统不包含迟后环节的情况下得到的。如果不满足这些条件，就不能直接应用相关的结论。,(z)和e(z) 都不含Z平面单位圆上或圆外极点。G(z)中所包含的单位圆上或圆外的零、极点也不希望用D(z)来补偿，以免参数漂移会对这种补偿带来不利的影响。这样一来，G(z)中所包含的单位圆上或圆外的极点便只能靠 e(z) 的零点来抵消，而G(z)所含单位圆上或圆外的零点则只能用(z)的零点来抵消。,Z平面单位圆上或圆外有零、极点时,由式,得到,G(z) 含Z平面单位圆上或圆外零、极

39、点时，按下法选择闭环脉冲传递函数：,（1）用e(z)的零点补偿G(z)在单位圆上或圆外的极点； （2）用(z)的零点抵消G(z)在单位圆上或圆外的零点；（3）由于在G(z)中常含有 z-1 的因子，为了使D(z)在实际中能实现，要求(z)也含有 z-1 因子。考虑到(z)=1-e(z),所以,e(z)应包含常数项为1的z-1的多项式。,例7.26如图示, 设计D(z)使系统对单位阶跃输入为无稳态误差的最小拍系统。某设计人员设计的D(z)满足如下差分方程试问：(1)审查上述设计是否正确 (2)如上述设计不正确，作出正确设计。解:已知D(z)满足下差分方程,Z变换,整理,有一个极点在单位圆外，D(

40、z)不稳定,设计不正确。,因G(z)有单位圆外和圆上的零极点，则闭环脉冲传递函数中必须含有(1+1.1z-1 )和z-1因子，故设,如图，设,b1是待定的常系数,可见，e (z) 应是一个不低于2阶的关于z-1 的多项式。根据系统阶跃输入稳态误差为零的要求，有,a1是待定系数,代入,得到,比较等式两边系数有,所以,得,D(z)是稳定的，满足物理可实现的条件。校正后系统的输出响应 c*(t) 的Z变换,例7.27如图，K=10, T=0.2 求r(t)=1(t),t,t2/2时系统的e()。,解,系统稳定,Jury:,T=0.2, K=10,解,例7.28如图示,r(t)=2t，试讨论有或没有Z

41、OH 时的e() 。,无ZOH时,有ZOH时, 与T有关, 与T无关,例7.29如图,T=0.25,r(t)=21(t)+t,要求e()0.5,求K范围。,解,判定稳定性,Jury:,例7.30如图示,T=K=1， 求%, ts 。,解,长除法得单位阶跃响应序列 h(k),主要内容：(1)将连续信号变换为离散信号。为无失真地恢复连续信号，采样频率必须满足香农采样定理；(2)实际中不存在理想滤波器，常用零阶保持器来实现信号的恢复；,总结,(3)离散系统输出多数是连续信号c(t)，为了应用研究，c(t)虚拟离散为c*(t) ，用 c*(t)来描述c(t)；,(4)零初始条件下，离散输出信号的Z变换

42、与离散输入信号Z变换之比是脉传递函数。求系统的脉冲传递函数时应注意各环节间是否设有采样开关。,(5)双线性变换，将Z域中的特征方程变为W域中的特征方程，而且连续系统中的频率法经稍加修改，也可推广用于离散系统的分析与综合。,(6)根轨迹法也适用于线性采样系统。,(7) 双线性变换后，设计校正装置的频域方法也能用于线性采样系统,(8)采样控制系统多用计算机的硬件和软件来实现，应尽量用软件实现。(9)离散系统校正，采用数字校正装置实现。设计时，注意最小拍系统的设计方法与设计原则，关键是根据给定的输入形式和约束条件，找出对应的最少拍系统的闭环脉冲传递函数(z)，获得了(z) ，就可以求出D(z)。,谢谢 ！,