自用空间几何体的表面积和体积ppt课件.ppt

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1、1.3 简单几何体的表面积和体积,长丰一中：朱磊,1.3.1 柱体、锥体、台体的表面积与体积,1、表面积：几何体表面的面积,2、体积：几何体所占空间的大小。,回忆复习有关概念,1、直棱柱：,2、正棱柱：,3、正棱锥：,4、正棱台：,侧棱和底面垂直的棱柱叫直棱柱,底面是正多边形的直棱柱叫正棱柱,底面是正多边形，顶点在底面的射影是底面中心的棱锥,正棱锥被平行于底面的平面所截，截面和底面之间的部分叫正棱台,作直三棱柱、正三棱锥、正三棱台各一个，找出斜高,斜高的概念,棱柱、棱锥、棱台都是由多个平面图形围成的几何体，,棱柱、棱锥、棱台的表面积,它们的侧面展开图还是平面图形，,计算它们的表面积就是计算它的

2、各个侧面面积和底面面积之和,棱柱的侧面展开图是什么？如何计算它的表面积？,h,正棱柱的侧面展开图,2.棱柱、棱锥、棱台的展开图及表面积求法,把直三棱柱侧面沿一条侧棱展开，得到什么图形？侧面积怎么求？,棱锥的侧面展开图是什么？如何计算它的表面积？,正三棱锥的侧面展开图,棱锥的展开图,把正三棱锥侧面沿一条侧棱展开，得到什么图形？侧面积怎么求？,正五棱锥的侧面展开图,棱锥的展开图,例1 已知棱长为a，各面均为等边三角形的四面体S-ABC，求它的表面积 ,分析：四面体的展开图是由四个全等的正三角形组成,因为BC=a，,所以：,因此，四面体S-ABC 的表面积,交BC于点D,解：先求 的面积，过点作 ，

3、,典型例题,把正三棱台侧面沿一条侧棱展开，得到什么图形？侧面积怎么求？（类比梯形的面积）,正四棱台的侧面展开图,棱台的侧面展开图是什么？如何计算它的表面积？,棱台的展开图,例2:(1)一个正三棱柱的底面是边长为5的正三角形，侧棱长为4，则其侧面积为 _;,答：60,(2)正四棱锥底面边长为6 ,高是4，中截面把棱锥截成一个小棱锥和一个棱台，求棱台的侧面积.,例3：一个正三棱台的上、下底面边长分别是3cm和6cm，高是3/2cm，求三棱台的侧面积.,分析：关键是求出斜高，注意图中的直角梯形,O1,O,D,D1,E,思考：把圆柱、圆锥、圆台的侧面分别沿着一条母线 展开，分别得到什么图形?展开的图形

4、与原图 有什么关系？,宽,长方形,圆柱的侧面展开图是矩形,3.圆柱、圆锥、圆台的展开图及表面积求法,圆柱,思考：把圆柱、圆锥、圆台的侧面分别沿着一条母线 展开，分别得到什么图形?展开的图形与原图 有什么关系？,扇形,圆锥的侧面展开图是扇形,圆锥,思考：把圆柱、圆锥、圆台的侧面分别沿着一条母线 展开，分别得到什么图形?展开的图形与原图 有什么关系？,扇环,侧,圆台侧面积公式的推导,参照圆柱和圆锥的侧面展开图，试想象圆台的侧面展开图是什么 ,圆台的侧面展开图是扇环,圆台,圆柱、圆锥、圆台三者的表面积公式之间有什么关系？,例4 如图，一个圆台形花盆盆口直径20 cm，盆底直径为15cm，底部渗水圆孔

5、直径为1.5 cm，盆壁长15cm那么花盆的表面积约是多少平方厘米（ 取3.14，结果精确到1 ）？,解：由圆台的表面积公式得 花盆的表面积：,答：花盆的表面积约是999 ,典型例题,例5 圆台的上、下底面半径分别为2和4，高为 ，求其侧面展开图扇环所对的圆心角,答：1800,例6：圆台的上、下底半径分别是10cm和20cm，它的侧面展开图的扇环的圆心角是1800，那么圆台的侧面积是多少？（结果中保留）,小结：1、弄清楚柱、锥、台的侧面展开图的形状是关键； 2、对应的面积公式,柱体、锥体、台体的表面积,知识小结,圆台,圆柱,圆锥,几何体占有空间部分的大小叫做它的体积,一、体积的概念与公理:,公

6、理1、长方体的体积等于它的长、宽、高的积。,V长方体= abc,推论1 、长方体的体积等于它的底面积s和高h的积。,V长方体= sh,推论2 、正方体的体积等于它的棱长a 的立方。,V正方体= a3,定理1： 柱体（棱柱、圆柱）的体积等于它的底面积 s 和高 h 的积。,V柱体= sh,二：柱体的体积,三:锥体体积,例2：,如图：三棱柱AD1C1-BDC,底面积为S,高为h.,答:可分成棱锥A-D1DC, 棱锥A-D1C1C, 棱锥A-BCD.,问：（1）从A点出发棱柱能分割成几个三棱锥？,3.1锥体（棱锥、圆锥）的体积 （底面积S，高h）,注意：三棱锥的顶点和底面可以根据需要变换，四面体的每

7、一个面都可以作为底面，可以用来求点到面的距离,问题:锥体(棱锥、圆锥）的体积,定理如果一个锥体（棱锥、圆锥）的底面 积是，高是，那么它的体积是：,推论：如果圆锥的底面半径是，高是， 那么它的体积是：,锥体 ,圆锥 ,h,x,四.台体的体积,V台体=,上下底面积分别是s/,s,高是h，则,推论：如果圆台的上,下底面半径是r1.r2,高是，那么它的体积是：,圆台 h,五.柱体、锥体、台体的体积公式之间有什么关系？,S为底面面积，h为柱体高,S分别为上、下底面面积，h 为台体高,S为底面面积，h为锥体高,例7 有一堆规格相同的铁制（铁的密度是 ）六角螺帽共重5.8kg，已知底面是正六边形，边长为12

8、mm，内孔直径为10mm，高为10mm，问这堆螺帽大约有多少个（ 取3.14）？,解：六角螺帽的体积是六棱柱的体积与圆柱体积之差，即:,答：这堆螺帽大约有252个,典型例题,例8从一个正方体中，如图那样截去4个三棱锥后，得到一个正三棱锥ABCD，求它的体积是正方体体积的几分之几？,1 球的概念和性质,2球的体积,3 球的表面积,4 例题讲解,5 课堂练习,6 课堂小结,7 课堂作业,球,球的概念和性质,球的概念,A,B,O,R,C,一,如图所示，半圆以它的直径为旋转轴，旋转所成的曲面叫做球面. 球面所围成的几何体叫做球体，简称球. 半圆的圆心叫球心,图中点O. 连结球心和球面上任意一点的线段叫

9、做球的半径，(图中线段R). 连结球面上两点并且经过球心的线段叫做球的直径，(图中线段AB).,球的概念和性质,球的概念,一,Q,P,O,球面被经过球心的平面截得的圆叫做大圆（如图中红色部分），被不经过球心的截面截得的圆叫做小圆（如图中绿色部分）.,球面上两点之间最短连线的长度，就是经过这两点的大圆在这两点间的一段劣弧的长度，这个弧长叫做两点的球面距离（如图中 的长度就是P、Q两点之间的球面距离 ）.,球的概念和性质,球的性质,二,d,o1,o2,R,r,用一个平面（如图中平面 ）去截一个球，截面是圆面，球的截面有下面的性质：,、球心和截面圆心的连线 垂直于截面（如图直线o1o2垂直于平面 ）

10、；,、球心到截面的距离d与球的半径R及截面的半径r有下面的关系：,球的表面积和体积,:,球的表面积,例题讲解,例9、,如图，圆柱的底面直径与高都等于球的直径.求证：,（1） 球的表面积等于 圆柱的侧面积；,（2） 球的表面积等于 圆柱全面积的2/3.,O,R,证明：（1）设球的半径为 R，则圆柱的底面半径 为R，高为2R，得,O,R,例题讲解,(2),例3.如图，正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为a,它的各个顶点都在球O的球面上，问球O的表面积。,分析：正方体内接于球，则由球和正方体都是中心对称图形可知，它们中心重合，则正方体对角线与球的直径相等。,略解：,变题1.如果球O和这个正方体的

11、六个面都相切，则有S=。变题2.如果球O和这个正方体的各条棱都相切，则有S=。,关键：,找正方体的棱长a与球半径R之间的关系,例10已知过球面上三点A、B、C的截面到球心O的距离等于球半径的一半，且AB=BC=CA=cm，求球的体积，表面积,解：如图，设球O半径为R，截面O的半径为r，,例11、有三个球,一球切于正方体的各面,一球切于正方体的各侧棱,一球过正方体的各顶点,求这三个球的体积之比.,作轴截面,习题课,柱、锥、台和球的侧面积和体积,2rl,Sh, r2h, rl,(r1r2)l,Ch,Sh,4 R2,答案： C,解析：设正方体的棱长为a，则a38，a2.而此正方体的内切球直径为2，S

12、表4r24.,1(教材习题改编)一个正方体的体积是8，则这个正方体的内切球的表面积是()A8 B6C4 D,答案： A,答案： C,4(教材习题改编)在ABC中，AB2，BC3，ABC120，若使ABC绕直线BC旋转一周所形成的几何体的体积为_,答案： 3,5如图所示，某几何体的正视图、侧视图均为等腰三角形，俯视图是正方形，则该几何体的外接球的体积是_,1求体积时应注意的几点(1)求一些不规则几何体的体积常用割补的方法转化成已 知体积公式的几何体进行解决(2)与三视图有关的体积问题注意几何体还原的准确性及 数据的准确性2求组合体的表面积时注意几何体的衔接部分的处理,题型一 几何体的展开与折叠

13、有一根长为3 cm，底面半径为1 cm的 圆柱形铁管，用一段铁丝在铁管上缠绕2圈，并 使铁丝的两个端点落在圆柱的同一母线的两端, 则铁丝的最短长度为多少？ 把圆柱沿这条母线展开，将问题转 化为平面上两点间的最短距离.,题型分类 深度剖析,解 把圆柱侧面及缠绕其上的铁丝展开，在平面上得到矩形ABCD（如图所示），由题意知BC=3 cm，AB=4 cm，点A与点C分别是铁丝的起、止位置，故线段AC的长度即为铁丝的最短长度.故铁丝的最短长度为5 cm.,题型二 旋转体的表面积及其体积 如图所示,半径为R的半圆内的 阴影部分以直径AB所在直线为轴,旋 转一周得到一几何体,求该几何体的 表面积(其中BA

14、C=30)及其体积. 先分析阴影部分旋转后形成几何体的 形状,再求表面积.,解 如图所示,过C作CO1AB于O1,在半圆中可得BCA=90,BAC=30,AB=2R,AC= ,BC=R,S球=4R2,解决这类题的关键是弄清楚旋转后所形成的图形的形状，再将图形进行合理的分割，然后利用有关公式进行计算.,知能迁移2 已知球的半径为R，在球内作一个内 接圆柱，这个圆柱底面半径与高为何值时，它 的侧面积最大？侧面积的最大值是多少？ 解 如图为轴截面. 设圆柱的高为h，底面半径为r， 侧面积为S，则,题型三 多面体的表面积及其体积 一个正三棱锥的底面边长为6，侧棱长 为 ，求这个三棱锥的体积. 本题为求

15、棱锥的体积问题.已知底面 边长和侧棱长，可先求出三棱锥的底面面积 和高，再根据体积公式求出其体积. 解 如图所示， 正三棱锥SABC. 设H为正ABC的中心， 连接SH， 则SH的长即为该正三棱锥的高.,连接AH并延长交BC于E，则E为BC的中点，且AHBC.ABC是边长为6的正三角形，,答案C,巧练模拟(课堂突破保分题，分分必保！),答案： A,2(2012烟台模拟)如图所示是一个几何体的三视图，根据图中数据，可得该几何体的表面积是_,解析：此几何体的上部为球，球的直径为2，下部为一圆柱，圆柱的高为3，底面圆的直径为2，所以S表42312.,答案： 12,冲关锦囊1在求多面体的侧面积时，应对

16、每一侧面分别求解后再相加，对于组合体的表面积应注意重合部分的处理2以三视图为载体考查几何体的表面积，关键是能够对给出的三视图进行恰当的分析，从三视图中发现几何体中各元素间的位置关系及数量关系3圆柱、圆锥、圆台的侧面是曲面，计算侧面积时需要将这个曲面展为平面图形计算，而表面积是侧面积与底面圆的面积之和.,答案B,若本例的三视图变为如图所示，求该几何体的体积,解：该几何体下部是一个正方体，棱长为4，上部为圆柱，底面半径为1，高为4，则V444124644.,答案： D,冲关锦囊1计算柱、锥、台体的体积，关键是根据条件找出相应的底面面积和高，应注意充分利用多面体的截面和旋转体的轴截面，将空间问题转化

17、为平面问题求解2注意求体积的一些特殊方法：分割法、补体法、转化法等，它们是解决一些不规则几何体体积计算常用的方法，应熟练掌握,3等积变换法：利用三棱锥的任一个面可作为三棱锥的底面求体积时，可选择容易计算的方式来计算；利用“等积法”可求“点到面的距离”.,精析考题例3 (2011陕西高考)如图，在ABC中，ABC45，BAC90，AD是BC上的高，沿AD把ABD折起，使BDC90.(1)证明：平面ADB平面BDC；(2)若BD1，求三棱锥DABC的表面积,自主解答(1)折起前AD是BC边上的高，当ABD折起后，ADDC，ADDB.又DBDCD，AD平面BDC.又AD平面ABD，平面ABD平面BD

18、C.,巧练模拟(课堂突破保分题，分分必保！),答案：C,6(2012湖州模拟)如图所示，已知一个多面体的平面展开图由一个边长为1的正方形和4个边长为1的正三角形组成，则该多面体的体积是_,冲关锦囊,解决折叠问题时要注意1对于翻折前后，线线、线面的位置关系，所成角及距离加以比较，观察并判断变化情况2一般地，分别位于两个半平面内的元素其相对位置关系和数量关系发生变化，位于同一个半平面的元素，其相对位置和数量关系不变3对于某些翻折不易看清的元素，可结合原图形去分析、计算，即将空间问题转化为平面问题,数学思想 函数与方程思想在空间几何体中的应用,考题范例(2011四川高考)如图，半径为R的球O中有一内

19、接圆柱当圆柱的侧面积最大时，球的表面积与该圆柱的侧面积之差是_,巧妙运用法一:设圆柱的轴与球的半径的夹角为，则圆柱高为2Rcos ，圆柱底面半径为Rsin ，S圆柱侧2Rsin 2Rcos 2R2sin 2.当sin 21时，S圆柱侧最大为2R2，此时，S球表S圆柱侧4R22R22R2.,答案：2R2,柱体、锥体、台体的体积,锥体,台体,柱体,知识小结,柱体、锥体、台体的表面积,知识小结,圆台,圆柱,圆锥,规律方法总结,1直棱柱的侧面展开图是一些矩形，正棱锥的侧面展开图是一些全等的等腰三角形，正棱台的侧面展开图是一些全等的等腰梯形2斜棱柱的侧面积等于它的直截面(垂直于侧棱并与每条侧棱都相交的截

20、面)的周长与侧棱长的乘积,3如果直棱柱的底面周长是c，高是h，那么它的侧面积是S直棱柱侧ch.4应注意各个公式的推导过程，不要死记硬背公式本身，要熟悉柱体中的矩形、锥体中的直角三角形、台体中的直角梯形等特征图形在公式推导中的作用,规律方法总结,5如果不是正棱柱、正棱锥、正棱台，在求其侧面积或全面积时，应对每一个侧面的面积分别求解后再相加6求球的体积和表面积的关键是求出球的半径反之，若已知球的表面积或体积，那么就可以得出其半径的大小7计算组合体的体积时，首先要弄清楚它是由哪些基本几何体构成，然后再通过轴截面分析和解决问题,8计算圆柱、圆锥、圆台的体积时，关键是根据条件找出相应的底面面积和高，应注

21、意充分利用多面体的截面和旋转体的轴截面，将空间问题转化为平面问题求解,方法与技巧1.对于基本概念和能用公式直接求出棱柱、棱 锥、棱台与球的表面积的问题，要结合它们的 结构特点与平面几何知识来解决.2.要注意将空间问题转化为平面问题.3.当给出的几何体比较复杂，有关的计算公式无 法运用，或者虽然几何体并不复杂，但条件中 的已知元素彼此离散时,我们可采用“割”、 “补”的技巧，化复杂几何体为简单几何体 （柱、锥、台），或化离散为集中，给解题提供 便利.,思想方法 感悟提高,（1）几何体的“分割”几何体的分割即将已知的几何体按照结论的要求,分割成若干个易求体积的几何体,进而求之.(2)几何体的“补形

22、”与分割一样，有时为了计算方便，可将几何体补成易求体积的几何体，如长方体、正方体等.另外补台成锥是常见的解决台体侧面积与体积的方法,由台体的定义，我们在有些情况下，可以将台体补成锥体研究体积.（3）有关柱、锥、台、球的面积和体积的计算，应以公式为基础，充分利用几何体中的直角三角形、直角梯形求有关的几何元素.,失误与防范1.将几何体展开为平面图形时,要注意在何处剪 开，多面体要选择一条棱剪开，旋转体要沿一 条母线剪开.2.与球有关的组合体问题，一种是内切，一种是 外接.解题时要认真分析图形，明确切点和接点 的位置，确定有关元素间的数量关系，并作出 合适的截面图，如球内切于正方体，切点为正 方体各个面的中心,正方体的棱长等于球的直 径；球外接于正方体，正方体的顶点均在球面 上，正方体的体对角线长等于球的直径.球与 旋转体的组合，通常作它们的轴截面进行解题, 球与多面体的组合，通过多面体的一条侧棱和 球心，或“切点”、“接点”作出截面图.,