质点动力学ppt课件.ppt

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1、,课堂教学软件,制作：支希哲 朱西平 侯美丽,动 力 学,一、 动力学的任务,质点系一群具有某种联系的质点，刚体可以看成不变形的质点系。,质 点具有一定质量但可以忽略其尺寸大小的物体。,研究物体的机械运动与作用力之间关系的科学。,二、 动力学的应用,动力学的形成与发展是和生产的发展密切联系的，特别是在现代工业与科学技术迅猛发展的今天，对动力学提出了更加复杂的课题。,例如：高速转动机械的动力计算、航空航天高技术、动强度分析、机械手、机器人、系统的动力稳定性等都需要动力学理论。,三、 动力学的分类,绪论,动 力 学,西北工业大学 支希哲 朱西平 侯美丽,质点动力学基础,第一章,1-1 动力学的基本

2、定律,1-2 质点运动微分方程,1-3 质点动力学基本问题,1-4 质点动力学问题的例子,第一章质点动力学基础,1-5 质点的相对运动动力学,动 力 学,目录, 第一定律 惯性定律, 第二定律 力与加速度关系定律, 第三定律 作用与反作用定律,1-1 动力学的基本定律,质点因受力作用而产生的加速度,其方向与力相同，其大小与力成正比而与质量成反比。,1-1 动力学的基本定律,第一定律 惯性定律,质点如不受力作用,则保持其运动状态不变,即作直线匀速运动或者静止。,第二定律 力与加速度关系定律,第三定律 作用与反作用定律,任何两个物体间相互作用的力,总是大小相等，方向相反,沿同一直线，同时分别作用在

3、这两个物体上。,第一定律说明了任何物体都具有惯性。,F = ma,第二定律说明了物体机械运动状态的改变，不仅决定于作用于物体的力，而且与物体的惯性有关。,第三定律说明了二物体间相互作用力的关系。,(11),1-1 动力学的基本定律,2. 牛顿第一定律和第二定律不是在任何参考系中皆成立的。,说 明：,3. 牛顿定律适用的参考系称为基础坐标系。,4. 惯性参考系相对于基础参考系作惯性运动的坐标系。,5. 在惯性参考系中牛顿定律也同样适用。,加速度可分为aa，ae，ar，ac， 公式F = ma中的a指的是什么加速度。, 思考题, 矢量形式, 直角坐标形式, 自然形式,1-2 质点运动微分方程,1-

4、2 质点运动微分方程,设有可以自由运动的质点 M，质量是 m，作用力的合力是 F，加速度是 a 。,这就是质点运动微分方程的矢量形式。,一、矢量形式,1-2 质点运动微分方程,把上式沿固定直角坐标系 Oxyz 的各轴投影,得,Fx , Fy , Fz 是作用力 F 的合力在各轴上的投影。式(1-3)是直角坐标形式的质点运动微分方程。,二、直角坐标形式,这就是质点运动微分方程的矢量形式。,如采用自然轴系 Mtnb,并把式(1-2)向各轴投 影,可得,式中,是加速度 a 在切线、主法线和副法线正向的投影;Ft , Fn 和 Fb 是合力 F 在相应轴上的投影。式(1-4)就是自然形式的质点运动微分

5、方程。,1-2 质点运动微分方程,x,y,z,r,M,F,a,O,三、自然形式,这就是质点运动微分方程的矢量形式。, 质点动力学的第一类问题, 质点动力学的第二类问题,1-3 质点动力学基本问题,1-3 质点动力学基本问题,质点动力学的两类问题:,质点动力学的第二类问题：已知力，求运动。,质点动力学的第一类问题：已知运动，求力。, 解决第一类问题，只需根据质点的已知运动规律 r = r (t)，通过导数运算，求出加速度，代入(1-1) (1-4)，即得作用力 F。,m a = F (1-1), 求解第二类问题，是个积分过程。,必须注意：在求解第二类问题时，方程的积分中要出现积分常数，为了完全确

6、定质点的运动,必须根据运动的初始条件定出这些积分常数。,1-3 质点动力学基本问题,例题 1-1 设电梯以不变的加速度a 上升,求放在电梯地板上重W 的物块M 对地板的压力。,分析物体 M ，它受重力 W 和地板反力 FN 的作用。,ma = FN W,注意到 m = W /g ，则由上式解得地板反力,M,根据,F = ma,可得,解:,例题 1-1,1-3 质点动力学基本问题, 例题1-1,上式第一部分称为静压力，第二部分称为附加动压力， FN 称为动压力。,令,则,1. n1, 动压力大于静压力，这种现象称为超重。,2. n1, 动压力小于静压力，这种现象称为失重。,所以地板所受的压力为,

7、 讨论,磅秤指针如何变化,？,1-3 质点动力学基本问题,磅秤指针如何变化,？,1-3 质点动力学基本问题,1-3 质点动力学基本问题,1. 明确研究对象；,质点动力学解题步骤：,2. 进行受力分析，并画出受力图；,3. 进行运动分析，并画出相应的运动学量，如速度、加速度、角速度、 角加速度等；,4. 选择动力学定理进行分析求解。,例题 1-2 单摆 M 的摆锤重 W ,绳长 l ,悬于固定点 O ,绳的质量不计。设开始时绳与铅垂线成偏角 0 /2 ,并被无初速释放，求绳中拉力的最大值。,1-3 质点动力学基本问题,例题 1-2,任意瞬时，质点的加速度在切向和法向的投影为,写出质点的自然形式的

8、运动微分方程,1-3 质点动力学基本问题,O,M,M0,0,解:,摆锤M 在绳的约束下只能沿已知圆弧运动，用自然形式的质点用自然形式的运动微分方程求解较方便。,以摆锤M为研究对象。,选择如图自然轴系。, 例题 1-2,考虑到,则式(1)化成,对上式采用定积分,把初条件作为积分下限，有,从而得,把式(4)代入式(2)，得绳拉力,FN = W(3cos 2cos 0),显然，当摆球 M 到达最低位置 = 0 时，有最大值。故,FNmax = W(3 2cos 0),1-3 质点动力学基本问题, 例题 1-2,（3）,例题 1-3 小车载着质量为m物体以加速度a沿着斜坡上行，如果物体不捆扎，也不致于

9、掉下，物体与小车接触面的摩擦系数至少应为多少？,a,解：,取物体为研究对象。,解得,1-3 质点动力学基本问题,例题 1-3,要保证物体不下滑，应有,即,1-3 质点动力学基本问题, 例题 1-3,例题1-4 粉碎机滚筒半径为R，绕通过中心的水平匀速转动，筒内铁球由筒壁上的凸棱带着上升。为了使铁球获得粉碎矿石的能量，铁球应在=0 时（如图）才掉下来。求滚筒每分钟的转数n。,n,1-3 质点动力学基本问题,n,例题1-4,视铁球为质点。铁球被旋转的滚筒带着沿圆弧向上运动，当铁球到达某一高度时，会脱离筒壁而沿抛物线下落。,铁球在上升过程中，受到重力mg、筒壁的法向反力FN和切向反力F的作用。,解：

10、,列出质点的运动微分方程在主法线上的投影式,铁球在未离开筒壁前的速度，等于筒壁上与其重合点的速度。即,n,1-3 质点动力学基本问题,根据,F = ma, 例题 1-4,解得,当=0 时，铁球将落下，这时FN =0，于是得滚筒转速,2 . 当 时， ，铁球就会紧贴筒壁转过最高点而不脱离筒壁落下，起不到粉碎矿石的作用。,1-3 质点动力学基本问题,1. 显然， 越小，要求n 越大。, 讨论, 例题 1-4,例题 1-5 弹簧质量系统，物块的质量为m ，弹簧的刚度系数为k，物块自平衡位置的初始速度为v0。求物块的运动方程。,1-4 质点直线运动微分方程积分的典型例子,例题 1-5,解：这是已知力(

11、弹簧力)求运动规律，故为第二类动力学问题。,以弹簧未变形时的平衡位置为原点建立Ox坐标系，将物块置于任意位置 x 0 处。物块在 x 方向只受有弹簧力Fk x i。根据直角坐标系中的质点运动微分方程,1-4 质点直线运动微分方程积分的典型例子, 例题 1-5,1-4 质点直线运动微分方程积分的典型例子, 例题 1-5,例题 1-6 弹簧质量系统，物块的质量为m，弹簧的刚度系数为k，物块自平衡位置的初始速度为v0。求物块的运动方程。,1-4 质点直线运动微分方程积分的典型例子,例题 1-6,解：以物块为研究对象。这是已知力(弹簧力)求运动规律的问题，故为第二类动力学问题。,以弹簧在静载mg作用下

12、变形后的平衡位置（称为静平衡位置）为原点建立Ox坐标系，将物块置于任意位置 x 0 处。,m,k,x,O,1-4 质点直线运动微分方程积分的典型例子,列出物块的运动微分方程,根据,F = ma,因为,所以上式为, 例题 1-6,1-4 质点直线运动微分方程积分的典型例子,求解可得,注意到,故可得物块的运动方程, 例题 1-6,计算结果分析,1. 重力mg只改变了系统的平衡位置，对运动规律并无影响。,2. 物块垂直悬挂时，坐标原点选择不同，对运动微分方程的影响这一问题请同学们自己研究。,1-4 质点直线运动微分方程积分的典型例子, 例题 1-6,1-4 质点直线运动微分方程积分的典型例子,取坐标

13、轴 Ox 铅直向下，原点在物体的初始位置。写出物体 M 的运动微分方程,1-4 质点直线运动微分方程积分的典型例子,例题 1-7 质量是 m 的物体 M 在均匀重力场中沿铅直线由静止下落，受到空气阻力的作用。假定阻力 F 与速度平方成比例，即 F=v2 ，阻力系数 单位取 kg/m ，数值由试验测定。试求物体的运动规律。,解:,加速度为零时,以 m 除式(1)两端，并代入 u 的值，得,x,x,F,W,v,例题 1-7,分离变量,并取定积分,有,由上式求解v,得,于是物体速度随时间而变化的规律为,th 是双曲正切。,1-4 质点直线运动微分方程积分的典型例子, 例题 1-7,于是求得物体的运动

14、方程为,为了求出物体的运动规律，只需把式(3)再积分一次，有,1-4 质点直线运动微分方程积分的典型例子, 例题 1-7,质点相对运动动力学基本方程,几种特殊情形,1-5 质点的相对运动微分方程,1-5 质点的相对运动微分方程,设已知坐标系 O1x1y1z1 对于基础坐标系 Oxyz 进行着某种运动。,以 F 和FN 代表作用于质点 M 的主动力和约束力，,对于基础坐标系 Oxyz ，有,m aa = F + FN,由运动学知，绝对加速度 aa 等于牵连加速度 ae ，相对加速度 ar 和科氏加速度 aC 三者的矢量和，即,aa = ae + ar + aC,M,x,y,z,O,y1,z1,O

15、1,x1,一、质点相对运动动力学基本方程,代入上式得,m(ae + ar + aC) = F + FN,则有,mar = F + FN + Fe* + FC*,这就是质点的相对运动微分方程，又叫质点相对运动的动力学基本方程。,令,Fe* = mae , FC*= maC,1-5 质点的相对运动微分方程,m(ae + ar + aC) = F +FN,m ar = F + FNmae m aC,Fe*和 FC*分别称为质点的牵连惯性力和科氏惯性力，通称为欧拉惯性力。,设动系 O1x1y1z1 对于基础坐标系 Oxyz 作匀速直线运动。 牵连加速度、科氏加速度都等于零。故,设动系 O1x1y1z1

16、 相对基础坐标系作平动。在此情况下,没有科氏加速度和对应的科氏惯性力。故,这时质点的相对加速度就等于对基础坐标系的绝对加速度。,1.相对于平动坐标系的运动,mar = F + FN + Fe*,2.相对于惯性坐标系的运动,mar = F + FN,1-5 质点的相对运动微分方程,二、几种特殊情形,mar = F + FN + Fe* + FC*,m ar = F + FNmae m aC,（1）相对平衡,F + FN +Fe* + FC*= 0,当质点相对于动系作匀速直线 运动时，称为相对平衡。,F + FN + Fe* = 0,3.相对平衡和相对静止,1-5 质点的相对运动微分方程,几种特殊

17、情形,此时ar = 0，有,（2）相对静止,当质点在动系中的位置不变时，称为相对静止。,此时 vr = 0 , ar = 0 , aC = 0 , 有,mar = F + FN + Fe* + FC*,m ar = F + FNmae m aC,例题 1-8 设车厢以匀加速度 a 沿水平直线轨道向右行驶。求由车厢棚顶 M0 处自由落下的质点 M 的相对运动。,1-5 质点的相对运动微分方程,例题 1-8,解:,分析质点M，取动坐标系 O1x1y1z1 固连于车厢。,根据质点相对运动动力学基本方程,mar = W + Fe* (1),其中：Fe* = mae，方向与车厢加速度 a 相反。,把式(

18、1)向动坐标系各轴上投影,得相对运动微分方程,即,1-5 质点的相对运动微分方程,mar = F + FN + Fe* + FC*,注意到动系作直线平动，有, 例题 1-8,当 t = 0 时,把式(2)积分，并利用初始条件(3)确定积分常量，求得质点的相对运动规律为,消去时间 t 后，得到相对轨迹方程,这表示轨迹是一条向后方偏斜的直线。,根据所选坐标系,质点运动的初始条件写成,1-5 质点的相对运动微分方程, 例题 1-8,例题 1-9 细管 AB 以匀角速度 绕铅直轴 O1z1 转动，管内放一质量是 m 的光滑小球 M 。欲使小球在管内任何位置处于相对静止，或沿管作匀速相对运动，则细管应在

19、铅直平面 O1y1z1 内弯成何种曲线?,1-5 质点的相对运动微分方程,M,y1,z1,O1,c,A,B,例题 1-9,动 画 演 示,1-5 质点的相对运动微分方程,小球相对静止,小球作匀速相对运动, 例题 1-9,解:,设细管弯成图示形状， 取动系与弯管固连。,分析小球，实际作用于小球的力有重力 W 和管壁的法向反力 FN。此外，当研究小球 M 相对于转动坐标系O1y1z1 的运动时，还要加入小球的牵连惯性力和科氏惯性力。,小球牵连惯性力 Fe*的大小等于 Fe* = m 2| y1 | ,其方向水平而背离铅直转轴 O1z1。,1-5 质点的相对运动微分方程,M,y1,z1,O1,c,A

20、,B,vr,科氏惯性力 FC*方向垂直于相对速度 vr 和转轴 O1z1，即垂直于 O1y1z1平面向里；, 受力分析, 运动分析, 例题 1-9,mar = W + FN + Fe* + FC*,投影到细管曲线的切线方向，注意到相对静止时ar =0，相对匀速运动时art = 0，则得,Fet* Wt = 0,即 my12cos mgsin = 0,其中 是切线对O1y1 轴的倾角，由此求得切线的斜率,求出积分，并确定积分常量，得,可见细管应弯成抛物线形状。,由相对运动动力学基本方程,1-5 质点的相对运动微分方程, 例题 1-9,1-5 质点的相对运动微分方程,例题 1-10 一质量是 m

21、的小环 M 套在半径是 R 的光滑圆环上，并可沿大圆环滑动，而大圆环在水平面内以匀角速度 绕通过点 O 的铅垂轴转动。在初瞬时， = 0， = 2 ，试写出小环 M 相对于大圆环的运动微分方程，并求出大圆环对小环M 的约束力。,例题 1-10,解:,分析小环。 取动坐标系与大圆环固连，小环 M 相对于大圆环的位置用弧坐标 s = R 表示。,1-5 质点的相对运动微分方程,作用与小环 M 的力有大圆环的约束力 FN 。为了写出小环的相对运动微分方程，还要加上相应的牵连惯性力Fe*和科氏惯性力 FC* 。,其中, 受力分析, 运动分析,O,C,O,R,M,s,vr, 例题 1-10,由式(1)得

22、,这就是小环 M 相对于大圆环的运动微分方程。,应用循环变换 ，将式( a )的变量分离并代入初始条件进行积分,在相对切向和法向投影，得,1-5 质点的相对运动微分方程, 例题 1-10,于是有,而,所以，大圆环对小环的约束力为,将上式代入式,1-5 质点的相对运动微分方程,应用循环变换 ，对 进行积分,得, 例题 1-10,1-5 质点的相对运动微分方程,工 程 实 例,在北半球的南北向河流冲刷河岸分析,1-5 质点的相对运动微分方程,工 程 实 例,在北半球的南北向河流冲刷河岸分析,1-5 质点的相对运动微分方程,工 程 实 例,北半球向东发射炮弹偏右现象,1-5 质点的相对运动微分方程,

23、工 程 实 例,1-5 质点的相对运动微分方程,工 程 实 例,1-5 质点的相对运动微分方程,工 程 实 例,ae 5g ， 黑晕,ae 2g ， 红视,1-5 质点的相对运动微分方程,工 程 实 例,1-5 质点的相对运动微分方程,工 程 实 例,1-5 质点的相对运动微分方程,工 程 实 例,在 北 纬 的 傅 科 摆,1-5 质点的相对运动微分方程,工 程 实 例,在 北 纬 的 傅 科 摆,1-5 质点的相对运动微分方程,在 北 纬 的 傅 科 摆,关于傅科摆的相对运动轨迹,惯性参考系地心系O ,动参考系Ox y z,无科氏力的运动轨迹,A0,O ,A2,A0,A1,A2,有科氏力的运动轨迹,1-5 质点的相对运动微分方程,工 程 实 例,谢谢使用,