等差数列及其前n项和全面总结ppt课件.ppt

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1、要点梳理1.等差数列的定义 如果一个数列 ，那么这个数列就叫做等差数列， 这个常数叫做等差数列的 ，通常用字母表示.2.等差数列的通项公式 如果等差数列an的首项为a1，公差为d，那么它的通项公式是 .,6.2 等差数列及其前n项和,从第二项起每一项与它相邻前面一项,的差是同一个常数,公差,d,an=a1+（n-1）d,基础知识 自主学习,3.等差中项 如果 ，那么A叫做a与b的等差中项.4.等差数列的常用性质（1）通项公式的推广：an=am+ ，（n， mN*）.（2）若an为等差数列，且k+l=m+n，（k，l，m， nN*），则 .（3）若an是等差数列，公差为d，则a2n也是等 差数列

2、，公差为 .（4）若an，bn是等差数列，则pan+qbn是 .,2d,ak+al=am+an,(n-m)d,等差,数列,（5）若an是等差数列，则ak，ak+m， ak+2m，（k，mN*）是公差为 的等差数列.5.等差数列的前n项和公式 设等差数列an的公差为d，其前n项和Sn= 或Sn= .6.等差数列的前n项和公式与函数的关系 Sn= . 数列an是等差数列的充要条件是其前n项和公式Sn=f（n）是n的 ，即Sn= .,md,An2+Bn，（A2+B20）,二次函数或一次函数且不含常数,项,7.在等差数列an中，a10，d0，则Sn存在最 值；若a10,d0,则Sn存在最 值.8.等差

3、数列与等差数列各项的和有关的性质 （1）若an是等差数列，则 也成 数列，其首项与an首项相同，公差是an公差的 . （2）Sm，S2m，S3m分别为an的前m项，前2m项，前3m项的和，Sm，S2m-Sm，S3m-S2m成 数列.,小,等差,等差,大,（3）关于等差数列奇数项与偶数项的性质若项数为2n，则S偶-S奇= ， = .若项数为2n-1，则S偶=（n-1）an，S奇= an，S奇-S偶= ，(4)两个等差数列an、bn的前n项和Sn、Tn之间的关系为： = .,nd,n,an,基础自测1.(2009辽宁)an为等差数列,且a7-2a4=-1,a3=0, 则公差d= （） A.-2 B

4、. C. D.2 解析 根据题意得a7-2a4=a1+6d-2(a1+3d)=-1, a1=1.又a3=a1+2d=0,d=,B,2.已知数列an中,a1=1, 则a10等于（ ） A. B. C. D.以上都不对 解析 由a1=1, 得 为等差数列. ,B,3.（2009福建）等差数列an的前n项和为Sn,且 S3=6,a3=4,则公差d等于 （） A.1B. C.2D.3 解析 设an首项为a1,公差为d, 则S3=3a1+ d=3a1+3d=6, a3=a1+2d=4,a1=0,d=2.,C,4.已知等差数列an的前13项之和为39，则a6+a7+a8 等于（） A.6B.9C.12D.

5、18 解析 由S13= =13a7=39得a7=3， a6+a7+a8=3a7=9.,B,5.设Sn是等差数列an的前n项和，若 则 等于（） A.1B.-1C.2D. 解析 由等差数列的性质，,A,题型一 等差数列的判定【例1】已知数列an的通项公式an=pn2+qn (p、qR，且p、q为常数).（1）当p和q满足什么条件时，数列an是等差数列；（2）求证：对任意实数p和q,数列an+1-an是等差数列. (1)由定义知,an为等差数列,an+1-an必为一个常数.(2)只需推证(an+2-an+1)-(an+1-an)为一个常数.,思维启迪,题型分类 深度剖析,(1)解 an+1-an=

6、p(n+1)2+q(n+1)-(pn2+qn)=2pn+p+q,要使an是等差数列,则2pn+p+q应是一个与n无关的常数,所以只有2p=0,即p=0, .故当p=0 , 时，数列an是等差数列.(2)证明 an+1-an=2pn+p+q,an+2-an+1=2p(n+1)+p+q,(an+2-an+1)-(an+1-an)=2p为一个常数.an+1-an是等差数列.,探究提高 证明或判断一个数列为等差数列,通常有两种方法:(1)定义法:an+1-an=d;(2)等差中项法:2an+1=an+an+2.就本例而言,第(2)问中,需证明(an+2-an+1)-(an+1-an)是常数,而不是证a

7、n+1-an为常数.,知能迁移1 设两个数列an,bn满足bn= 若bn为等差数列，求证： an也为等差数列.,证明 由题意有a1+2a2+3a3+nan= 从而有a1+2a2+3a3+（n-1）an-1= bn-1，（n2）,由-，得nan=整理得an=其中d为bn的公差（n2）.从而an+1-an= （n2）.又a1=b1,a2= d+b1,a2-a1= d,所以an是等差数列.,题型二 等差数列的基本运算【例2】在等差数列an中， （1）已知a15=33,a45=153,求a61; （2）已知a6=10,S5=5，求a8和S8； （3）已知前3项和为12，前3项积为48，且d0,求a1.

8、 在等差数列中，五个重要的量，只要已知三个量，就可求出其他两个量，其中a1和d是两个最基本量，利用通项公式与前n项和公式，先求出a1和d.,思维启迪,解 （1）方法一 设首项为a1,公差为d,依条件得 33=a1+14d a1=-23, 153=a1+44d d=4.a61=-23+(61-1)4=217.方法二 由 由an=am+(n-m)d,得a61=a45+16d=153+164=217.,解方程组得,（2）a6=10,S5=5,解方程组得a1=-5,d=3,a8=a6+2d=10+23=16,a1+5d=105a1+10d=5.,S8=8 =44.(3)设数列的前三项分别为a-d,a,

9、a+d,依题意有 (a-d)+a+(a+d)=12 (a-d)a(a+d)=48, a=4 a=4 a(a2-d2)=48 d=2.d0,d=2,a-d=2.首项为2.a1=2., ,方程思想是解决数列问题的基本思想，通过公差列方程（组）来求解基本量是数列中最基本的方法，同时在解题中也要注意数列性质的应用.,探究提高,知能迁移2 设an是一个公差为d (d0)的等差数列，它的前10项和S10=110且a1,a2,a4成等比数列. （1）证明a1=d; （2）求公差d的值和数列an的通项公式. （1）证明 因为a1,a2,a4成等比数列，故 =a1a4. 而an是等差数列，有a2=a1+d,a4

10、=a1+3d. 于是(a1+d)2=a1(a1+3d), 即 +2a1d+d2= +3a1d.化简得a1=d. （2）解 因为S10=110，S10=10a1+ d， 所以10a1+45d=110. 由（1）a1=d,代入上式得55d=110, 故d=2,an=a1+(n-1)d=2n. 因此，数列an的通项公式为an=2n,n=1,2,3,.,题型三 等差数列的性质及综合应用【例3】 （12分）在等差数列an中，已知a1=20,前n项和为Sn，且S10=S15，求当n取何值时，Sn取得最大值，并求出它的最大值. （1）由a1=20及S10=S15可求得d,进而求得通项，由通项得到此数列前多少

11、项为正，或利用Sn是关于n的二次函数，利用二次函数求最值的方法求解.（2）利用等差数列的性质，判断出数列从第几项开始变号.,思维启迪,解 方法一 a1=20，S10=S15，1020+ d=1520+ d，d= 4分an=20+（n-1） 8分a13=0.即当n12时，an0,n14时，an0. 10分当n=12或13时，Sn取得最大值，且最大值为S12=S13=1220+ =130. 12分,方法二 同方法一求得d= 4分Sn=20n+= 8分nN+,当n=12或13时，Sn有最大值，且最大值为S12=S13=130. 12分方法三 同方法一得d= 4分又由S10=S15,得a11+a12+

12、a13+a14+a15=0. 8分5a13=0,即a13=0. 10分当n=12或13时，Sn有最大值，且最大值为S12=S13=130. 12分,探究提高 求等差数列前n项和的最值，常用的方法：（1）利用等差数列的单调性，求出其正负转折项；（2）利用性质求出其正负转折项，便可求得和的最值；（3）利用等差数列的前n项和Sn=An2+Bn（A、B为常数）为二次函数，根据二次函数的性质求最值.,知能迁移3 在等差数列an中，a16+a17+a18=a9=-36,其前n项和为Sn. （1）求Sn的最小值，并求出Sn取最小值时n的值； （2）求Tn=|a1|+|a2|+|an|. 解 （1）设等差数列

13、an的首项为a1,公差为d, a16+a17+a18=3a17=-36,a17=-12, d= =3, an=a9+(n-9)d=3n-63,an+1=3n-60, an=3n-630 an+1=3n-600 S20=S21= 当n=20或21时，Sn最小且最小值为-630.,令,得20n21,（2）由（1）知前20项小于零，第21项等于0，以后各项均为正数.当n21时，Tn=-Sn=当n21时，Tn=Sn-2S21=,综上，Tn=,（n21，nN*）（n21,nN*）.,方法与技巧1.等差数列的判断方法有 (1)定义法：an+1-an=d (d是常数)an是等差数列. (2)中项公式：2an

14、+1=an+an+2 (nN*)an是等差数列. (3)通项公式：an=pn+q(p,q为常数）an是等差数列. (4)前n项和公式：Sn=An2+Bn （A、B为常数）an是等差数列.,思想方法 感悟提高,2.方程思想和基本量思想：在解有关等差数列的问题时可以考虑化归为a1和d等基本量，通过建立方程（组）获得解.3.等差数列的通项公式本身可以由累加法得到.4.等差数列的前n项和公式Sn= 很像梯形面积公式，其推导方法也与梯形面积公式的推导方法完全一样.5.等差数列的前n项和公式Sn=na1+ d可以变形为 类似于匀加速直线运动的路程公式，只要把d理解为加速度.,失误与防范1.如果p+q=r+

15、s,则ap+aq=ar+as,一般地，ap+aqap+q，必须是两项相加，当然可以是ap-t+ap+t=2ap.2.等差数列的通项公式通常是n的一次函数，除非公差d=0.3.公差不为0的等差数列的前n项和公式是n的二次函数，且常数项为0.若某数列的前n项和公式是n的常数项不为0的二次函数，则该数列不是等差数列，它从第二项起成等差数列.4.公差d= 类似于由两点坐标求直线斜率的计算.5.当d不为零时，等差数列必为单调数列.6.从一个等差数列中，每隔一定项抽出一项，组成的数列仍是等差数列.,一、选择题1.(2008广东)记等差数列an的前n项和为Sn,若 a1= ，S4=20，则S6等于 （） A

16、.16B.24C.36D.48 解析 S4=2+6d=20，d=3，故S6=3+15d=48.,D,定时检测,2.（2009安徽）已知an为等差数列，a1+a3+ a5=105,a2+a4+a6=99,则a20等于 （） A.-1B.1C.3D.7 解析 由已知得a1+a3+a5=3a3=105, a2+a4+a6=3a4=99,a3=35,a4=33,d=-2. a20=a3+17d=35+(-2)17=1.,B,3.（2009湖南）设Sn是等差数列an的前n项和， 已知a2=3,a6=11,则S7等于 （ ） A.13B.35C.49D.63 解析 a1+a7=a2+a6=3+11=14.

17、 S7=,C,4.（2009宁夏、海南）等比数列an的前n项和为 Sn,且4a1,2a2,a3成等差数列，若a1=1,则S4=（） A.7B.8C.15D.16 解析 设等比数列的公比为q，则由4a1,2a2,a3成等差数列，得4a2=4a1+a3.4a1q=4a1+a1q2.q2-4q+4=0. q=2,S4=,C,5.已知等差数列an的公差为d (d0)，且a3+a6 +a10+a13=32,若am=8，则m为（） A.12B.8 C.6 D.4 解析 由等差数列性质a3+a6+a10+a13 =(a3+a13)+(a6+a10)=2a8+2a8=4a8=32, a8=8.m=8.,B,6

18、.各项均不为零的等差数列an中，若 -an-1-an+1=0 (nN*，n2)，则S2 009等于（） A.0 B.2 C.2 009 D.4 018 解析 =an-1+an+1=2an,an0,an=2. Sn=2n,S2 009=22 009=4 018.,D,二、填空题7.（2009辽宁）等差数列an的前n项和为Sn,且 6S5-5S3=5,则a4= . 解析 由题意知6 +45d=15(a1+3d)=15a4=5,故a4= .,8.（2009全国）设等差数列an的前n项和为Sn, 若a5=5a3,则 = . 解析 设等差数列的公差为d,首项为a1, 则由a5=5a3知a1,9,9.已知

19、Sn为等差数列an的前n项和，若a2a4= 76，则S7S3等于 . 解析 ,21,三、解答题10.在数列an中，a1=1,3anan-1+an-an-1=0 (n2).（1）求证：数列 是等差数列；（2）求数列an的通项.（1）证明 因为3anan-1+an-an-1=0 (n2), 整理得 =3 (n2). 所以数列 是以1为首项，3为公差的等差数列.（2）解 由（1）可得 =1+3(n-1)=3n-2, 所以an=,11.已知数列an中，a1= ，an=2- (n2, nN*),数列bn满足bn= (nN*). （1）求证：数列bn是等差数列； （2）求数列an中的最大项和最小项，并说明

20、理由. （1）证明 因为an=2- (n2,nN*),bn= 所以当n2时，bn-bn-1=,又b1= 所以，数列bn是以- 为首项，以1为公差的等差数列.,（2）解 由（1）知，bn=n- ,则an= 设函数f(x)=1+ 易知f(x)在区间(-, ) 和( ,+)内为减函数. 所以，当n=3时，an取得最小值-1； 当n=4时，an取得最大值3.,12.已知数列an中，a1=5且an=2an-1+2n-1 (n2且nN*).（1）求a2,a3的值；（2）是否存在实数 ，使得数列 为等差数列, 若存在，求出 的值；若不存在,请说明理由. 解 （1）a1=5， a2=2a1+22-1=13，a3=2a2+23-1=33.（2）方法一 假设存在实数 ，使得数列 为等 差数列，,设bn= ,由bn为等差数列，则有2b2=b1+b3,2 解得 =-1.事实上，综上可知，存在实数 =-1,使得数列 为等差数列.,方法二 假设存在实数 ,使得 为等差数列.设bn= ,由bn为等差数列，则有2bn+1=bn+bn+2 (nN*)，2 =4an+1-4an-an+2=2(an+1-2an)-(an+2-2an+1)=2(2n+1-1)-(2n+2-1)=-1，综上可知，存在实数 =-1,使得数列 为等差数列.,返回,