第四章n维向量与线性方程组ppt课件.ppt

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1、2022/11/14,南京邮电大学 邱中华,-1-,第四章,n 维向量与线性方程组,4.4 线性方程组解的结构,4.3 向量组的秩,4.2 向量组的线性相关性,4.1 向量组及其线性组合,4.5 向量空间,2022/11/14,南京邮电大学 邱中华,-2-,4.1 向量组及其线性组合,三维空间的向量:有向线段。,建立标准直角坐标系后，,它由一点 P 或一个三元数组 (x,y,z) 唯一确定。,我们还定义了向量的加法(即平行四边形法则)和向量的数乘两种运算。,2022/11/14,南京邮电大学 邱中华,-3-,在建立标准直角坐标系后，由于向量与三元数组(又称坐标)的一一对应关系。用坐标计算向量的

2、加法与数乘就特别方便。,由于解线性方程组等实际的需要，我们要把三维空间中的向量进行推广(把几何向量代数化)。直接把 n 元的数组叫做(代数中的)向量，向量加法与数乘运算的定义直接平移三维向量坐标的运算。,2022/11/14,南京邮电大学 邱中华,-4-,定义,n 个数组成的有序数组,称为一个 n 维行向量或 n 维列向量, 其中 称为该行(列)向量的第 i 个分量. 行向量与列向量统称为向量. 分量全是实数(复数)的向量称为实(复)向量, n 维实(复)向量的全体记为 . 以后如无特殊说明, 向量均指实向量. 约定:所讨论的向量如无说明均指列向量,而行向量用列向量的转置表示. 向量的加法运算

3、和数乘运算同矩阵的这两种运算一样.,或,2022/11/14,南京邮电大学 邱中华,-5-,由若干个同维数的列(行)向量组成的集合称为一个向量组. 如无特殊说明,向量组总是指只含有限个向量的向量组.,如: mn 的矩阵 A 全体列向量是含 n 个 m 维列向量的向量组, 简称 A 的列组; 全体行向量是含 m 个 n 维的行向量组,简称 A 的行组.,再如: 解的全体是一个含无穷多个 n 维列向量的向量组.,定义,2022/11/14,南京邮电大学 邱中华,-6-,观察如图三维空间中的向量, 必有,再观察下面方程组增广矩阵的行组,有如下关系,这说明第(4)和第(5)个方程都是多余的,可以去掉.

4、,2022/11/14,南京邮电大学 邱中华,-7-,对于向量组 , 表达式,称为向量组 A 的一个线性组合.又如果 是向量组 A 的一个线性组合, 即,则称向量 可由向量组 A 线性表示.,定义,2022/11/14,南京邮电大学 邱中华,-8-,(1) 向量 可由向量组 线性表示,存在数 使,上面方程组有解.,另外, 如果解唯一, 则表示方法是唯一的. 如果 ,(按定义),(转换为方程组),(用矩阵的秩),2022/11/14,南京邮电大学 邱中华,-9-,(2) 如果向量组 中的每个向量都可由向量组 线性表示, 则称向量组 B可由向量组 A 线性表示.,有解,(改写为矩阵),(转换为矩阵

5、方程),(用矩阵的秩),2022/11/14,南京邮电大学 邱中华,-10-,(3) 如果向量组 与向量组 可以相互表示,则称这两个向量组等价.,向量组 A 与向量组 B 等价,(1) 向量组的等价关系是不是等价关系?,(用矩阵的秩),关于线性表示的三种情况关键是学会转换,2022/11/14,南京邮电大学 邱中华,-11-,解,记,结论是：,时,方程组无解, 不能由 A 表示.,时, 方程组有唯一解, 可由 A 唯一表示.,2022/11/14,南京邮电大学 邱中华,-12-,时, 方程组有无穷多解, 可由 A 无穷多种表示.,通解为,所有表示方法:,其中 k 为任意实数.,即,2022/1

6、1/14,南京邮电大学 邱中华,-13-,，,向量组 A 与向量组 B 等价吗?,解法一,又易知 , 故等价.,2022/11/14,南京邮电大学 邱中华,-14-,解法二,最简阶形一样(不计零行), 故等价.,2022/11/14,南京邮电大学 邱中华,-15-,已知,证明(1) 能 线性表示; (2) 不能由 线性表示.,证,如果 则,与条件矛盾.,(2) 要证,(1) 要证,2022/11/14,南京邮电大学 邱中华,-16-,4.2 向量组的线性相关性,看看三维空间中的向量(如图),这三个向量任何一个都不能由其它两个,向量线性表示, 说明它们是异面的.,这三个向量在一个平面内(共面).

7、,2022/11/14,南京邮电大学 邱中华,-17-,我们把上面这种向量之间的最基本的关系予以推广,并换一种叫法.,定义,该定义不是用数学式子表达的,不便于理论推导.如何改成数学表达式?,2022/11/14,南京邮电大学 邱中华,-18-,等价定义,则称该向量组线性相关. 否则,如果设,按后者不妨设 则,符合前面定义.,反之,按前者不妨设,又符合后者定义.,2022/11/14,南京邮电大学 邱中华,-19-,存在不全为零的数 使,(按定义),(转化为方程组),上面方程组有非零解.,(用矩阵的秩),2022/11/14,南京邮电大学 邱中华,-20-,设,的线性相关.,的线性无关.,例1,

8、2022/11/14,南京邮电大学 邱中华,-21-,t 取何值时,下列向量组线性相关 ?,解,记,当 t = 5 时, 上面向量组线性相关.,例2,2022/11/14,南京邮电大学 邱中华,-22-,A, B 为非零矩阵且 AB = O, 则,(A) A 的列组线性相关, B 的行组线性相关(B) A 的列组线性相关, B 的列组线性相关(C) A 的行组线性相关, B 的行组线性相关(D) A 的行组线性相关, B 的列组线性相关,设 说明 Ax = 0 或 AX=O 有非零解, 故r(A)n, 从而 A 的列组相关; 考虑转置 ,同样的道理, 矩阵 列组即 B 的行组相关.,另, r(

9、A)+r(B)n, r(A)0, r(B)0, 得 r(A)n 和 r(B)n, 从而 A 的列组和 B 的行组相关.,例3,2022/11/14,南京邮电大学 邱中华,-23-,设 线性无关, 问 满足什么时,分析:这是一个向量组表示另一向量组的问题, 首先要把它改写成矩阵乘积的形式.,则,例4,2022/11/14,南京邮电大学 邱中华,-24-,设,(要讨论上面方程组何时有非零解),由于 故,2022/11/14,南京邮电大学 邱中华,-25-,上面方程组有非零解,当 时, 线性相关.,2022/11/14,南京邮电大学 邱中华,-26-,另证:,由于 是列满秩矩阵, 故,2022/11

10、/14,南京邮电大学 邱中华,-27-,证明向量组 线性无关.,证,(1)式成为,(2),(2)式左乘,同理推出,例5,2022/11/14,南京邮电大学 邱中华,-28-,(1) “部分相关,则整体相关.反之”,观察知 相关, 从而 相关.,2022/11/14,南京邮电大学 邱中华,-29-,(2) “个数大于维数必相关”,A 的列组是 4 个 3 维向量, 必相关.,2022/11/14,南京邮电大学 邱中华,-30-,则 可由 A 唯一表示.,这由,有唯一解.,又说明: 如果一个向量可用无关组表示, 则表法必然是唯一的.,为以后引用方便, 给它起个名子叫唯一表示定理.,2022/11/

11、14,南京邮电大学 邱中华,-31-,写成矩阵乘积:,从而,(4) 向量 组 B 可由向量组 A 表示, 则,(后者的 A, B是矩阵),存在矩阵 C 使得 B = AC,为以后引用方便, 给它起个名子叫表示不等式.,2022/11/14,南京邮电大学 邱中华,-32-,(5) 如果一个向量组能由向量个数比它少的向量组表示, 则必相关.(Steinitz定理),表示, 又 mn, 则 B 必相关.,2022/11/14,南京邮电大学 邱中华,-33-,(6) “短的无关, 则长的也无关”.反之,是无关的.,也是无关的.,2022/11/14,南京邮电大学 邱中华,-34-,4.3 向量组的秩,

12、对于一个给定的向量组(可以含无穷多向量), 如何把握向量之间的线性关系( 即哪些向量可由另外一些向量线性表示?),希望: 在一个向量组中能找到个数最少的一部分向量, 其余的向量都可由这些向量线性表示.,这样的部分组要满足什么条件？,2022/11/14,南京邮电大学 邱中华,-35-,假设向量组 A 的部分组 A0 是所找的. 首先 A0 要是线性无关的. 否则, 其中至少有一个向量可由其余的向量表示, 这说明 A0 中向量个数不是最少的; 其次 A0 中无关向量个数还要是最多的. 否则, 如果还有无关的部分组 B0 所含向量个数比 A0 多, 那么因 B0 可由 A0 表示, B0 必相关,

13、 这就矛盾了. 反之如果 A0 满足上面两个条件, 则 A0 必可表示 A 中所有的向量. 因为把 A 中任一向量合并到 A0 中必相关, 由唯一表示定理知这个向量可由 A0 唯一表示.,2022/11/14,南京邮电大学 邱中华,-36-,(1) 线性无关,(2) A 中任意 r + 1 个向量(如果有的话)都线性相关.,定义1,如果在向量组 A 中找到 r 个向量 满足,则称向量组 A0 是向量组 A 的一个最大无关组.,(2) A 中任一向量都可由 A0 表示.,定义2,(1) 线性无关,如果在向量组 A 中找到 r 个向量 满足,则称向量组 A0 是向量组 A 的一个最大无关组.,20

14、22/11/14,南京邮电大学 邱中华,-37-,定义,向量组 A 的最大无关组所含向量的个数 r (显然是唯一的)称为向量组 A 的秩. 仍记为 r(A). 只含零向量的向量组无最大无关组, 规定其秩为0.,2022/11/14,南京邮电大学 邱中华,-38-,回答:,(1) 向量组的最大无关组唯一吗? (2) 如果向量组的秩为 r ,则其任一 r 个线性无关的向量都是其最大无关组吗? (3) 向量组与其任一最大无关组等价吗? (4) 向量组的任意两个最大无关组等价吗? (5) 等价向量组的秩相等吗?,2022/11/14,南京邮电大学 邱中华,-39-,求向量组,的一个最大无关组和该向量组

15、的秩.,同理, 等也是最大无关组.,易求得,说明 A 中有一个 2 阶子式不为零. 如取前两列前两行:,那么 , 从而 线性无关.,再看 A 的任意三列 , 因为,所以任意三列都是线性相关的.根据定义 就是一个最大无关组,2022/11/14,南京邮电大学 邱中华,-40-,2022/11/14,南京邮电大学 邱中华,-41-,求向量组,的一个最大无关组并把其余向量用该最大无关组表出.,接例1, 已求得一个最大无关组为,要求 用 表出, 这相当于要解方程组,2022/11/14,南京邮电大学 邱中华,-42-,2022/11/14,南京邮电大学 邱中华,-43-,设向量,向量用该最大无关组表出

16、.,矩阵的秩=3，,线性无关吗?,是最大无关组吗?,2022/11/14,南京邮电大学 邱中华,-44-,2022/11/14,南京邮电大学 邱中华,-45-,再深入:,说明: 矩阵的初等行变换不改变列之间的线性关系.,前面的做法,也可依此理论为依据(本质一样).,2022/11/14,南京邮电大学 邱中华,-46-,右边的最大无关组,左边的最大无关组,2022/11/14,南京邮电大学 邱中华,-47-,为什么以前我们把矩阵与向量组以及它们的秩混用同一符号,有了三秩相等定理就能理解了.,说明:,2022/11/14,南京邮电大学 邱中华,-48-,4.4 线性方程组解的结构,本节主要讨论,(

17、2) 解集的秩是多少?,(3) 解集的最大无关组(又称为基础解系) 如何求?,(1) 解集的特点?,2022/11/14,南京邮电大学 邱中华,-49-,首先回答第一问题,记 Ax = 0 的解集为,(1) N(A) 对线性运算封闭.,证,2022/11/14,南京邮电大学 邱中华,-50-,证,记,设 , 由于 是 N(A) 的最大无关组,从而,由(1) x 是解,从而,2022/11/14,南京邮电大学 邱中华,-51-,通过下面的例子, 针对一般的方程组,回答所提问题.,再讨论第(2)和第(3)个问题,2022/11/14,南京邮电大学 邱中华,-52-,可知道矩阵 A 的秩 r ，又说

18、明原方程组只有 r 个独立的方程且 B 的前 r 行对应的方程组是与原方程同解的“最简”方程组.,第一步:对系数矩阵 A 初等行变换化最简阶梯形 B,最简阶梯形说明了什么？,第二步：写出同解的方程组(保留第一个未知数在方程的左边,其余的都移到右边. 右边的又叫自由变量),自由变量的个数=?,n r (未知数的个数减独立方程的个数),2022/11/14,南京邮电大学 邱中华,-53-,是解吗?,线性无关吗?,任一解都 可由 表示吗?,是基础解系吗?,基础解系所含向量的个数 = ?,n r (自由变量的个数),第四步:写出基础解系,2022/11/14,南京邮电大学 邱中华,-54-,再来分析一

19、下基础解系的由来:,第二步的同解方程组为,第三步的通解为,就是,类似的,2022/11/14,南京邮电大学 邱中华,-55-,这就启发我们, 由于基础解系所含解向量的个数正好等于自由变量的个数(这里3个).,必然是线性无关的, 从而也是基础解系.,由此得到下面的解法二.,2022/11/14,南京邮电大学 邱中华,-56-,第一步:同前,第二步:同前,第三步: 令,第四步:写出通解,2022/11/14,南京邮电大学 邱中华,-57-,齐次方程组 的基础解系所含向量个数为,设一个基础解系为,则通解为,2022/11/14,南京邮电大学 邱中华,-58-,设 , 是 的,两个不同的解向量, k

20、取任意实数, 则 Ax = 0 的通解是,2022/11/14,南京邮电大学 邱中华,-59-,设 ,证明,证,因此,移项,2022/11/14,南京邮电大学 邱中华,-60-,证明,设 , 首先证明,利用这一结论,注:第二个结论决不是同理可证!,证,2022/11/14,南京邮电大学 邱中华,-61-,设 A 为 n 阶方阵 , 证明,(1),(2),(3),证,2022/11/14,南京邮电大学 邱中华,-62-,求一个齐次方程组, 使它的基础解系为,记之为 AB=O ,这相当于要解矩阵方程, 习惯把未知,然后再把这些解拼成 的列( A 的行)即可.,解 得基础解系,设所求的齐次方程组为

21、, 则,解,2022/11/14,南京邮电大学 邱中华,-63-,下面讨论:非齐次方程组 解的结构,以下总假设,有解, 而其对应的齐次方程组,的基础解系为,这里,2022/11/14,南京邮电大学 邱中华,-64-,性质,(2) 设 是(1)的解, 是(2)的解,则 仍是(1)的解.,设 是(1)的一个解(固定), 则对(1)的任一解 x,是 (2)的解,从而存在 使得,又形如(3)的向量( 任取)都是(1)的解.,由此得:,2022/11/14,南京邮电大学 邱中华,-65-,设 是(1)的任一解, 则(1)的通解为,2022/11/14,南京邮电大学 邱中华,-66-,即得方程组的一个解,

22、解,2022/11/14,南京邮电大学 邱中华,-67-,得齐次方程组的基础解系,于是所有通解,2022/11/14,南京邮电大学 邱中华,-68-,是 Ax=0 的解,是 Ax=b 的解,2022/11/14,南京邮电大学 邱中华,-69-,设 是非齐次 Ax = b 的两个不同的解,其对应的齐次方程组的基础解系,则 Ax = b 的通解是(多选),2022/11/14,南京邮电大学 邱中华,-70-,设四元非齐次线性方程组的系数矩阵的秩为3,已知 是它的三个解向量, 且,求该方程组的通解.,解,取 , 则它就是解,从而也是基础解系.,基础解系所含向量个数 = 4 3 = 1,故非齐次方程组

23、的通解为,2022/11/14,南京邮电大学 邱中华,-71-,4.5 向量空间,集合 对于加法及乘数两种运算封闭指,2022/11/14,南京邮电大学 邱中华,-72-,证明下列集合是向量空间,证,所以 构成了向量空间.,2022/11/14,南京邮电大学 邱中华,-73-,证(以前的),证明齐次方程组的解集,是一个向量空间. 以后称为齐次方程组的解空间.,2022/11/14,南京邮电大学 邱中华,-74-,证明非齐次方程组的解集,不是向量空间.,证,设 , 而,S 对加法运算不封闭.,或,S 对数乘运算不封闭.,2022/11/14,南京邮电大学 邱中华,-75-,定义,设 是一向量组,

24、 称,为由该向量组生成的(或张成的)向量空间.记为,特别地, 由矩阵 A 的列向量生成的向量空间称为 A的列空间(或称像空间或称值域).记为R(A),2022/11/14,南京邮电大学 邱中华,-76-,向量空间 V 的一个最大无关组, 又称 V 的一个基(或坐标系). 基所含向量的个数 r 又称为 V 的维数.记为 dim(V) = r . 此时称 V 是 r 维的向量空间.,设有向量空间 及 ，若 ，就称 是的子空间,设 是由 维向量所组成的向量空间，则,定义,定义,齐次方程组 的基础解系就是解空间的一个基. 解空间的维数是 n - r(A).,2022/11/14,南京邮电大学 邱中华,

25、-77-,定义,设向量空间 V 的一个基为 ,则对 V 中的任一向量 可唯一地表示为,数组 或向量 称为向量 在基 下的坐标.,的一个基显然就是向量组 的一个最大无关组，其维数就是该向量组的秩。,2022/11/14,南京邮电大学 邱中华,-78-,证明,都是 V 的基. dim( V ) = ?, 并求向量,在这两个基下的坐标.,证,显然线性无关, 又 V 中的任一向量,V 中任意两个线性无关的向量都是 V 的一个基,2022/11/14,南京邮电大学 邱中华,-79-,所以 在基 下的坐标为 (3 , 5),为求 在基 下的坐标, 需解方程组,求得坐标为 ( 1 , 2 ).,2022/11/14,南京邮电大学 邱中华,定义,-80-,2022/11/14,南京邮电大学 邱中华,-81-,