第一章复数与复变函数ppt课件.ppt

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1、1,复变函数,江苏科技大学数理学院李敏捷(13805287561),2,复 变 函 数 第 一 章,第一节 复数及代数运算,第二节 复数的几何表示,第三节 复数的乘幂及方根,第四节 区域,第五节 复变函数,第六节 复变函数的极限与连续性,第一节 复数及其代数运算,一、复数的概念,二、复数的代数运算,三、小结与思考,4,一、复数的概念,1. 虚数单位:,对虚数单位的规定:,5,虚数单位的特性:,6,2.复数:,(real part) (imaginary part),7,例1,解,令,8,两复数相等当且仅当它们的实部和虚部分别相等.,复数 z 等于0当且仅当它的实部和虚部同时等于0.,说明 两个

2、数如果都是实数,可以比较它们的大小, 如果不全是实数, 就不能比较大小, 也就是说, 复数不能比较大小.,9,答案,由此可见, 在复数中无法定义大小关系.,放映结束，按Esc退出.,10,二、复数的代数运算,1. 两复数的和与差:,2. 两复数的积:,3. 两复数的商:,？,11,4. 共轭复数:,实部相同而虚部绝对值相等符号相反的两个复数称为共轭复数.,例2,解,12,5. 共轭复数的性质:,以上各式证明略.,13,二、复数的代数运算,1. 两复数的和与差:,2. 两复数的积:,3. 两复数的商:,？,14,例3,解,15,例4,解,16,例5,解,17,例6,解,18,例7,证,19,例8

3、,解,20,21,三、小结与思考,本课学习了复数的有关概念、性质及其运算. 重点掌握复数的运算, 它是本节课的重点.,22,思考题,复数为什么不能比较大小？,23,思考题答案,由此可见, 在复数中无法定义大小关系.,放映结束，按Esc退出.,24,第二节 复数的几何表示,一、复平面,二、复球面,三、小结与思考,25,一、复平面,1. 复平面的定义,26,2. 复数的模(或绝对值),显然下列各式成立,27,3. 复数的辐角,说明,辐角不确定.,28,辐角主值的定义:,29,4. 利用平行四边形法求复数的和差,两个复数的加减法运算与相应的向量的加减法运算一致.,30,5. 复数和差的模的性质,31

4、,利用直角坐标与极坐标的关系,复数可以表示成,复数的三角表示式,再利用欧拉公式,复数可以表示成,复数的指数表示式,欧拉介绍,.复数的三角表示和指数表示,32,例1 将下列复数化为三角表示式与指数表示式:,解,故三角表示式为,33,指数表示式为,故三角表示式为,指数表示式为,34,故三角表示式为,指数表示式为,35,例2,解,(三角式),(指数式),36,例4,证,37,两边同时开方得,38,例5,证,39,两边平方, 并化简得,下面例子表明, 很多平面图形能用复数形式的方程(或不等式)来表示; 也可以由给定的复数形式的方程(或不等式)来确定它所表示的平面图形.,40,例6,解,所以它的复数形式

5、的参数方程为,41,42,例8,求下列方程所表示的曲线:,解,43,化简后得,44,二、复球面,1. 南极、北极的定义,45,球面上的点, 除去北极 N 外, 与复平面内的点之间存在着一一对应的关系. 我们可以用球面上的点来表示复数.,我们规定: 复数中有一个唯一的“无穷大”与复平面上的无穷远点相对应, 记作. 因而球面上的北极 N 就是复数无穷大 的几何表示.,球面上的每一个点都有唯一的复数与之对应, 这样的球面称为复球面.,2. 复球面的定义,46,3. 扩充复平面的定义,包括无穷远点在内的复平面称为扩充复平面.,不包括无穷远点在内的复平面称为有限复平面, 或简称复平面.,复球面的优越处:

6、,能将扩充复平面的无穷远点明显地表示出来.,对于复数来说, 实部,虚部,辐角等概念均无意义, 它的模规定为正无穷大.,47,48,三、小结与思考,学习的主要内容有复数的模、辐角;复数的各种表示法. 并且介绍了复平面、复球面和扩充复平面.,注意：为了用球面上的点来表示复数，引入了无穷远点无穷远点与无穷大这个复数相对应, 所谓无穷大是指模为正无穷大（辐角无意义）的唯一的一个复数，不要与实数中的无穷大或正、负无穷大混为一谈,49,思考题,是否任意复数都有辐角?,50,思考题答案,否.,它的模为零而辐角不确定.,放映结束，按Esc退出.,51,Leonhard Euler,Born: 15 April

7、 1707 in Basel, SwitzerlandDied: 18 Sept 1783 in St Petersburg, Russia,欧拉资料,52,第三节 复数的乘幂与方根,一、乘积与商,二、幂与根,三、小结与思考,53,一、乘积与商,定理一,两个复数乘积的模等于它们的模的乘积; 两个复数乘积的辐角等于它们的辐角的和.,54,两复数相乘就是把模数相乘, 辐角相加.,从几何上看, 两复数对应的向量分别为,55,说明,由于辐角的多值性,两端都是无穷多个数构成的两个数集.,对于左端的任一值, 右端必有值与它相对应.,例如，,56,由此可将结论推广到 n 个复数相乘的情况:,57,定理二,两

8、个复数的商的模等于它们的模的商; 两个复数的商的辐角等于被除数与除数的辐角之差.,证,证毕,58,例1,解,59,例2,解,如图所示,60,61,二、幂与根,1. n次幂:,62,棣莫佛公式,棣莫佛介绍,推导过程如下:,2.棣莫佛公式,63,根据棣莫佛公式,64,当k以其他整数值代入时, 这些根又重复出现.,65,从几何上看,66,例3,解,67,68,例4,解,69,即,70,例5,解,即,71,72,例6,解,故原方程可写成,73,故原方程的根为,74,例7,证,利用复数相等可知:,75,等式得证.,76,三、小结与思考,应熟练掌握复数乘积与商的运算. 在各种形式中以三角形式、指数形式最为

9、方便:,棣莫佛(de Moivre)公式,放映结束，按Esc退出.,77,Abraham de Moivre,棣莫佛资料,Born: 26 May 1667 in Vitry (near Paris), FranceDied: 27 Nov 1754 in London, England,78,第四节 区 域,一、区域的概念,二、单连通域与多连通域,三、典型例题,四、小结与思考,79,一、区域的概念,1. 邻域:,说明,80,2.去心邻域:,说明,81,3.内点:,4.开集:,如果 G 内每一点都是它的内点,那末G 称为开集.,82,5.区域:,如果平面点集D满足以下两个条件,则称它为一个区域

10、.,(1) D是一个开集；,(2) D是连通的,就是说D中任何两点都可以用完全属于D的一条折线连结起来.,6.边界点、边界:,设D是复平面内的一个区域,如果点 P 不属于D, 但在 P 的任意小的邻域内总有D中的点,这样的 P 点我们称为D的边界点.,83,D的所有边界点组成D的边界.,说明,(1) 区域的边界可能是由几条曲线和一些孤立的点所组成的.,(2) 区域D与它的边界一起构成闭区域,84,以上基本概念的图示,区域,邻域,边界点,边界,7.有界区域和无界区域:,85,(1) 圆环域:,课堂练习,判断下列区域是否有界?,(2) 上半平面:,(3) 角形域:,(4) 带形域:,答案,(1)有

11、界; (2) (3) (4)无界.,86,二、单连通域与多连通域,1. 连续曲线:,平面曲线的复数表示:,87,2. 光滑曲线:,由几段依次相接的光滑曲线所组成的曲线称为按段光滑曲线.,88,3. 简单曲线:,没有重点的曲线 C 称为简单曲线(或若尔当曲线).,89,换句话说, 简单曲线自身不相交.,简单闭曲线的性质:,任意一条简单闭曲线 C 将复平面唯一地分成三个互不相交的点集.,内部,外部,边界,90,课堂练习,判断下列曲线是否为简单曲线?,答案,简单闭,简单不闭,不简单闭,不简单不闭,91,4. 单连通域与多连通域的定义:,复平面上的一个区域B, 如果在其中任作一条简单闭曲线, 而曲线的

12、内部总属于B, 就称为单连通域. 一个区域如果不是单连通域, 就称为多连通域.,单连通域,多连通域,92,三、典型例题,解,无界的单连通域(如图).,93,是角形域,无界的单连通域(如图).,无界的多连通域.,94,表示到1, 1的距离之和为定值4的点的轨迹,是椭圆,有界的单连通域.,95,有界的单连通域.,96,例2,解,满足下列条件的点集是什么, 如果是区域, 指出是单连通域还是多连通域?,是一条平行于实轴的直线,不是区域.,单连通域.,97,是多连通域.,不是区域.,98,99,单连通域.,100,四、小结与思考,应理解区域的有关概念:,邻域、去心邻域、内点、开集、边界点、边界、区域、有

13、界区域、无界区域,理解单连通域与多连通域.,放映结束，按Esc退出.,101,第五节 复变函数,一、复变函数的定义,二、映射的概念,三、典型例题,四、小结与思考,102,一、复变函数的定义,1.复变函数的定义:,103,2.单(多)值函数的定义:,3.定义集合和函数值集合:,104,4. 复变函数与自变量之间的关系:,例如,105,二、映射的概念,1. 引入:,106,2.映射的定义:,107,108,3. 两个特殊的映射:,109,且是全同图形.,110,111,根据复数的乘法公式可知,112,以原点为焦点,开口相左的抛物线.(图中红色曲线),以原点为焦点,开口相右的抛物线.(图中蓝色曲线)

14、,113,4. 反函数的定义:,114,根据反函数的定义,当反函数为单值函数时,今后不再区别函数与映射.,115,解,三、典型例题,例1,还是线段.,116,例1,解,117,例1,解,仍是扇形域.,118,(如下页图),119,将第一图中两块阴影部分映射成第二图中同一个长方形.,120,例2,解,121,所以象的参数方程为,122,四、小结与思考,复变函数以及映射的概念是本章的一个重点.,注意：复变函数与一元实变函数的定义完全一样,只要将后者定义中的“实数”换为“复数”就行了.,123,思考题,“函数”、“映射”、“变换”等名词有无区别？,124,思考题答案,在复变函数中, 对“函数”、“映

15、射”、“变换”等名词的使用, 没有本质上的区别. 只是函数一般是就数的对应而言, 而映射与变换一般是就点的对应而言的.,放映结束，按Esc退出.,125,第六节 复变函数的极限和连续性,一、函数的极限,二、函数的连续性,三、小结与思考,126,一、函数的极限,1.函数极限的定义:,注意:,127,2. 极限计算的定理,定理一,证,根据极限的定义,(1) 必要性.,128,(2) 充分性.,129,证毕,说明,130,定理二,与实变函数的极限运算法则类似.,131,例1,证 (一),132,根据定理一可知,证 (二),133,134,例2,证,135,根据定理一可知,136,二、函数的连续性,1. 连续的定义:,137,定理三,例如,138,定理四,139,特殊的:,(1) 有理整函数(多项式),(2) 有理分式函数,在复平面内使分母不为零的点也是连续的.,140,例3,证,141,三、小结与思考,通过本课的学习, 熟悉复变函数的极限、连续性的运算法则与性质.,注意:复变函数极限的定义与一元实变函数极限的定义虽然在形式上相同, 但在实质上有很大的差异, 它较之后者的要求苛刻得多.,142,思考题,143,思考题答案,没有关系.,极限值都是相同的.,放映结束，按Esc退出.,144,作业：,第一章习题：26（1，3），27，31，32,作业：,