经济数学1.5函数的连续性ppt课件.ppt

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1、,一. 函数连续的概念,ESC,1.5 函数的连续性,二. 初等函数的连续性,1.5 函数的连续性,三. 函数的间断点,ESC,一. 函数连续的概念,在现实生活中有许多的量都是连续变化的，例如气温的变化，植物的生长，物体运动的路程等这些现象反映在数学上就是函数的连续性它是与函数极限密切相关的另一个基本概念 首先引入增量(改变量)的定义,ESC,对函数 ,若自变量由 改变到 ,自变量实际改变了 ,这时,函数值相应地由 改变到 ,若记 为函数相应的改变量,则,一. 函数连续的概念,ESC,某人爬山. 在图中的蓝色山体部分, 该人沿山体向前挪动一小步,他在水平方向前进了 ,在垂直方向上升了 ,显然当

2、 时,有 这时, 我们说该蓝色山体是连续的.,而在 点,该人若在水平方向前进很微小的一点,垂直方向就要上升很多,即当 时,不会有这时, 我们说该山体在 处不连续.,一. 函数连续的概念,ESC,由图可看出, 在 处, 当 很微小时, 也很微小.,特别当 时, 也有 .这就是函数 在点 处连续的实质.,在 处,曲线断开,作为曲线上的点的横坐标 从 左侧近旁变到右侧近旁时,曲线上的点的纵坐标 呈现跳跃,即在 处,当自变量有微小改变时,相应的函数值 有显著改变.,一. 函数连续的概念,ESC,设函数 在点 及其左右邻近有定义,若,则称函数 在点 处连续, 称 为该函数的连续点.,于是上式等价于,(1

3、)函数 在点 及其左右邻近有定义；,(2)极限 存在；,(3)极限 的值等于该点的函数值,函数在一点连 续的三个条件:,一. 函数连续的概念,(定义1.8),(定义1.9),ESC,一. 函数连续的概念,定义1.8与的定义1.9可以互相推出，因此它们是等价的也就是说，在使用时，可以根据情况任选其一 由定义1.9可以得出下面的结论: 1若函数 在点 处连续，则 在点 处的极限一定存在；反之，若 在点 处的极限存在，则函数 在点 处不一定连续,ESC,一. 函数连续的概念,2若函数 在点 处连续，在求 时 的极限，只需求出 在点 处的函数值 即可,3当函数 在点 处连续时,有,.,这个等式的成立意

4、味着在函数连续的前提下，极限符号与函数符号可以互相交换，这一结论给我们求极限带来很大方便,ESC,一. 函数连续的概念,例如求 ,解 ,ESC,一. 函数连续的概念,例1用定义证明在给定点 处连续,证,，,，,所以在给定点处连续,ESC,一. 函数连续的概念,例2用定义证明在点处连续,证,，,于是当时，由的任意性可知，在上连续类似地，可以证明在上连续,ESC,一. 函数连续的概念,若函数当时极限存在且等于，即,ESC,一. 函数连续的概念,解因为，且 在点连续，则,例3求,ESC,由函数 在点 左极限与右极限的定义,可以得到函数 在点 左连续与右连续的定义:,若 ,则称函数 在点 处左连续.,

5、若 ,则称函数 在点 处右连续.,函数 在点 处连续的,即,是:函数 在点 处,既左连续又右连续.,一. 函数连续的概念,ESC,例4设函数 讨论 在 处的连续性.,解 这是分段函数, 是其分段点.因 ,又,所以函数在 处右连续, 但不左连续, 从而它在 不连续,一. 函数连续的概念,ESC,函数在区 间上连续:,若函数 在区间 上每一点都连续,则称函数 在 上连续, 或称 为 上的连续函数.,初等函数在其有定义的区间内都是连续的,函数在闭区 间上连续:,函数 在闭区间 上连续是指： 函数 在开区间 上连续; 且在端点 处右连续, 在端点 处左连续, 即有:,二. 初等函数的连续性,ESC,二

6、. 初等函数连续性,初等函数在其有定义的区间内都是连续的,根据这一结论, 求初等函数在其定义区间内某点 的极限时,只要求出该点的函数值即可.,例如,求,初等函数,在 处有定义,由初等函数的连续性,ESC,三. 函数的间断点,定义1.10如果函数在点不连续，则称为的一个间断点,如果在点处有下列三种情况之一，则点 是的一个间断点,(1)在点处，没有定义；,(2)不存在；,ESC,三. 函数的间断点,例5考察函数在点处的连续性,解因为在没有定义，,所以是的一个间断点,所以点称为的无穷间断点,ESC,三. 函数的间断点,例6考察函数,在点 处的连续性,ESC,三. 函数的间断点,，,即在处左、右极限不

7、相等，由极限存在的充要条件可知， 在处极限不存在所以是的一个跳跃间断点,ESC,三. 函数的间断点,例7考察函数,，,在点处的连续性,ESC,三. 函数的间断点,但是 ，,所以是的一个间断点，称为可去间断点,ESC,三. 函数的间断点,例8已知函数,在点处连续，求的值,，,因为在处连续，则存在，等价于,，,即,ESC,内容小结,本节重点讲解了,一、函数在一点连续的定义,二、左连续右连续的定义,三、初等函数的连续性,四、函数的间断点,1.可去间断点.2.跳跃间断点.3.无穷间断点,充要条件,ESC,课堂练习,1.函数 在 处连续吗?,2.讨论函数 在 处的连续性?,3.求函数 的连续区间和间断点.,4.设 求 的间断点,并指出其类型.,ESC,课堂练习,5.如何修改 的定义域，使函数 在点 处连续？,6.设函数,在 处连续，求 的值。,ESC,布置作业,P19习题1.3 1（2）（4）（5）2. 3.,