线性系统理论郑大钟(第二版)ppt课件.ppt
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1、线性系统理论,郑大钟 清华大学出版社,第一章 绪 论,第二章 线性系统的状态空间描述,第三章 线性系统的运动分析,第四章 线性系统的能控性和能观测性,第五章 系统运动的稳定性,第六章 线性反馈系统的时间域综合,第一部分线性系统的时间域理论,第二部分线性系统的复频率域理论,第一章 绪论,线性系统理论是系统控制理论的一个最为基础和最为成熟的分支。它以线性代数和微分方程为主要数学工具,以状态空间法为基础分析和设计控制系统。,控制理论发展概况:第一阶段 20世纪4060年代 经典控制理论第二阶段 20世纪6070年代 现代控制理论第三阶段 20世纪70 大系统理论 (广度) 智能控制理论 (深度),第
2、一章 绪论,1.1系统控制理论的研究对象,系统是系统控制理论的研究对象,系统:是由相互关联和相互制约的若干“部分”所组成的具有特定功能的一个“整体”。,系统具有如下3个基本特征:,(1)整体性,(2)抽象性,作为系统控制理论的研究对象,系统常常抽去了具体系统的物理,自然和社会含义,而把它抽象为一个一般意义下的系统而加以研究。,(3)相对性,在系统的定义中, 所谓“系统”和“部分”这种称谓具有相对属性。,动态系统: 所谓动态系统,就是运动状态按确定规律或确定统计规律随时间演化的一类系统动力学系统。,系统变量可区分为三类形式,系统动态过程的数学描述,动态系统的分类,从机制的角度,从特性的角度,从作
3、用时间类型的角度,u,x,y,连续系统按其参数的空间分布类型,本书中仅限于研究线性系统和集中参数系统,动态系统是系统控制理论所研究的主体,其行为有各类变量间的关系来表征。,线性系统理论的研究对象为线性系统,其模型方程具有线性属性即满足叠加原理。,若表征系统的数学描述为L,系统模型是对系统或其部分属性的一个简化描述,系统模型的作用:仿真、预测预报、综合和设计控制器模型类型的多样性:用数学模型描述、用文字、图表、数据或计算机程序表示数学模型的基本性:着重研究可用数学模型描述的一类系统建立数学模型的途径:解析、辨识系统建模的准则:折衷,线性系统理论研究对象是 (线性的)模型系统,不是物理系统。,线性
4、系统,系统模型,1.2 线性系统理论的基本概貌,线性系统理论是一门以研究线性系统的分析与综合的理论和方法为基本任务的学科。,主要内容: 数学模型 分析理论 综合理论,发展过程: 经典线性系统理论现代线性系统理论,主要学派:,状态空间法,几何理论,把对线性系统的研究转化为状态空间中的相应几何问题,并采用几何语言来对系统进行描述,分析和综合,代数理论,把系统各组变量间的关系看作为是某些代数结构之间的映射关系,从而可以实现对线性系统描述和分析的完全的形式化和抽象化,使之转化为纯粹的一些抽象代数问题,多变量频域方法,线性系统理论着重研究线性系统状态的运动规律和改变这种规律的可能性和方法,以建立和揭示系
5、统结构、参数、行为和性能间确定的和定量的关系。,第一部分: 线性系统时间域理论,第二章 线性系统的状态空间描述 2.1 状态和状态空间,线性系统时间域理论是以时间域数学模型为系统描述,直接在时间域内分析和综合线性系统的运动和特性的一种理论和方法,系统动态过程的两类数学描述,(1) 系统的外部描述,外部描述常被称作为输出输入描述,例如.对SISO线性定常系统:时间域的外部描述:,复频率域描述即传递函数描述,(2)系统的内部描述,状态空间描述是系统内部描述的基本形式,需要由两个数学方程表征 状态方程和输出方程。,(3)外部描述和内部描述的比较,一般的说外部描述只是对系统的一种不完全描述,不能反映黑
6、箱内部结构的不能控或不能观测的部分。 内部描述则是系统的一种完全的描述,能够完全反映系统的所有动力学特性。,状态和状态空间的定义,状态变量组:,状态:,一个动力学系统的状态定义为由其状态变量组,所组成的一个列向量,一个动力学系统的状态变量组定义为能完全表征其时间域行为的一个最小内部变量组,状态空间:,状态空间定义为状态向量的一个集合,状态空间的维数等同于状态的维数,几点解释,(1)状态变量组对系统行为的完全表征性,只要给定初始时刻 t0 的任意初始状态变量组,和tt0 各时刻的任意输入变量组,那么系统的任何一个内部变量在tt0各时刻的运动行为也就随之而完全确定,(2).状态变量组最小性的物理特
7、征,(3). 状态变量组最小性的数学特征,(4). 状态变量组的不唯一性,(5).系统任意两个状态变量组之间的关系,(6)有穷维系统和无穷维系统,(7)状态空间的属性,状态空间为建立在实数域R上的一个向量空间R n,2.2 线性系统的状态空间描述,电路系统状态空间描述的列写示例,描述系统输入、输出和状态变量之间关系的方程组称为系统的状态空间描述(动态方程或运动方程),包括状态方程(描述输入和状态变量之间的关系)和输出方程(描述输出和输入、状态变量之间的关系)。,选择状态变量,2.2 线性系统的状态空间描述,以上方程可表为形如,机电系统状态空间描述的列写示例,上式可表为形如,连续时间线性系统的状
8、态空间描述,动态系统的结构,连续时间线性系统的状态空间描述,线性时不变系统,线性时变系统,连续时间线性系统的方块图,离散时间线性系统的状态空间描述,状态空间描述形式,离散时间线性时不变系统,离散时间线性时变系统,状态空间描述的特点,一是:状态方程形式上的差分型属性二是:描述方程的线性属性三是:变量取值时间的离散属性,离散时间线性系统的方块图,2.3.连续变量动态系统按状态空间描述的分类,线性系统和非线性系统,设系统的状态空间描述为,向量函数,若f(x,u,t),g(x,u,t)的全部或至少一个组成元为x、u的非线性函数,该系统称为非线性系统,若f(x,u,t),g(x,u,t)的全部组成元为x
9、、u的线性函数,该系统称为线性系统,对于线性系统,非线性系统可以用泰勒展开方法化为线性系统,时变系统和时不变系统,若向量f,g不显含时间变量t,即,该系统称为时不变系统,若向量f,g显含时间变量t,即,该系统称为时变系统,连续时间系统和离散时间系统,当且仅当系统的输入变量,状态变量和输出变量取值于连续时间点,反映变量间因果关系的动态过程为时间的连续过程,该系统称为连续时间系统,当且仅当系统的输入变量,状态变量和输出变量只取值于离散时间点,反映变量间因果关系的动态过程为时间的不连续过程,该系统称为离散时间系统.,确定性系统和不确定性系统,称一个系统为确定性系统,当且仅当不论是系统的特性和参数还是
10、系统的输入和扰动,都是随时间按确定的规律而变化的.,称一个动态系统为不确定性系统,或者系统的特性和参数中包含某种不确定性,或者作用于系统的输入和扰动是随机变量,2.4 由系统输入输出描述导出状态空间描述,由输入输出描述导出状态空间描述,对于单输入,单输出线性时不变系统,其微分方程描述,其传递函数描述,可以导出其状态空间描述为,基本步骤:选取适当的状态变量组,确定对应的参数矩阵组。,结论1,给定单输入,单输出线性时不变系统的输入输出描述,其对应的状态空间描述可按如下两类情况导出,(1)m=n,即系统为真情形,(2)mn,即系统为严真情形,结论2,给定单输入,单输出线性时不变系统的输入输出描述,其
11、对应的状态空间描述可按如下两类情况导出,(1)m=0情形,此时输入输出描述为:,选取n个状态变量,其对应的状态空间描述为:,(2)m0情形,此时输入输出描述为:,其对应的状态空间描述为:,其中,两种状态空间描述为:,结论3,给定单输入单输出线性时不变系统的传递函数描述为:,其极点即传递函数分母方程的根,为两两互异实数,则对应的状态空间描述可按如下两类情形导出:,(1) mn,即系统为严真情形,对应的状态空间描述为,(2) m=n,即系统为真情形,令,对应的状态空间描述为:,由方块图描述导出状态空间描述,例1,设系统方块图如下,试列写其状态空间描述,解,上图等效为,指定状态变量组后,列写变量间的
12、关系方程:,写成矩阵形式,例2,设单输入单输出系统的传递函数为,试列写其状态空间表达式。,解,可画出系统结构图如下,写出变量之间的关系,写成矩阵形式,也可以画出结构图为,可写出系统的动态方程为,例3,设,画出结构图,动态方程为,注:由方块图描述导出状态空间描述,其结果不唯一!但阶次不变。,2.5 线性时不变系统的特征结构,特征多项式,连续时间线性时不变系统,(1) 特征多项式,均为实常数,(2) 特征方程式,(3) 凯莱-哈密尔顿(Caley-Hamilton)定理,线性时不变系统的特征结构由特征值和特征向量所表征。,(4) 最小多项式,的各个元多项式之间互质,定义 (s)为系统矩阵A的最小多
13、项式,最小多项式 (s)也满足凯莱-哈密尔顿定理,即 (A)=0,(5) 系统矩阵的循环性,如果系统矩阵A的特征多项式 (s)和最小多项式 (s)之间只存在常数类型的公因子k,即,则称系统矩阵A是循环的。,(6) 特征多项式的计算, 基于迹计算的特征多项式迭代算法, 基于分解计算的特征多项式迭代算法,特征值,(1) 特征值的代数属性,系统特征值就是使特征矩阵(sIA)降秩的所有s值,(2) 特征值集,对n维线性时不变系统,有且仅有n个特征值,特征值的全体构成系统的特征值集。,(3) 特征值的形态,特征值的形态要么为实数,要么为共轭复数,(4) 特征值类型,系统特征值可区分为“单特征值”和“重特
14、征值”两种类型,连续时间线性时不变系统,(5) 特征值的代数重数,代数重数i 代表特征值集中值为i 的特征值个数,(6) 特征值的几何重数,(7) 特征值重数和类型的关系,对n 维线性时不变系统,若i A为单特征值,则其代数重数i和几何重数i之间必 有,对n 维线性时不变系统,若i A为重特征值,则其代数重数i和几何重数i之间必 有,特征向量和广义特征向量,n维连续时间线性时不变系统,i为A的特征值,(1) 特征向量的几何特性,(2) 特征向量的不唯一性,(3) 单特征值所属特征向量的属性,对n维线性时不变系统,系统矩阵A的属于特征值1、 2、 n的相应一组特征向量1、 2、 n为线性无关,当
15、且仅当特征值1、 2、 n为两两互异。,特征向量:,特征向量的属性:,广义特征向量,对n维线性时不变系统,设i为nn维系统矩阵A的一个i重特征值(i=1,2,., i j , i j),则,广义特征向量的基本属性:,对n维线性时不变系统,设1为系统矩阵A的属于i 重特征值i的k级广义右特征向量,按以下方法定义的k个特征向量必为线性无关:,(1)广义特征向量链,对n维线性时不变系统,设系统矩阵A的特征值i 的代数重数为i ,则A的属于i 的广义右特征向量组由i 个线性无关n1维非零向量组成(i=1,2,., i j , i j) 。,称此组特征向量为i的长度为 k 的广义右特征向量链,(2)确定
16、广义特征向量组的算法,右广义特征向量组的算法:,A的属于i重特征值i 的右广义特征向量组可按如下步骤确定 。,Step1:计算,直到 。,设:n=10,I =8,m0=4,并设:0=0, 1=3 , 2=6 , 3=7 , 4=8,Step2:确定广义特征向量组的分块表。基本原则为:,表的列数广义特征向量组分块数 m0=4表的“列j”“分块j”,j=1, ,m0, m0=4列j即分块j中特征向量个数, j=1, ,m0, m0=4列j即分块j内特征向量按由下而上排列,A的属于i重特征值i 的右广义特征向量组分块表,Step3:定义表中的独立型特征向量和导出型特征向量,Step4:确定独立型特征
17、向量i1, i2, i3,Step5:确定导出型特征向量,Step6: 对A的属于i重特征值i 的右广义特征向量组,确定广义特征向量链。其中广义特征向量链的数目=分块表中行的数目=3广义特征向量链=分块表中行的特征向量组3个广义特征向量链为,(3)不同广义特征向量组间的关系,对n维线性时不变系统,设i为nn系统矩阵A的一个i重特征值, i=1,2,., i j , i j ,则A的属于不同特征值的个广义特征向量组间必线性无关。,结论4,特征值为两两互异的情形,2.6 状态方程的约当规范形,对n个特征值1、 2、 n两两互异的n维线性时不变系统,基于n个特征向量构造变换阵 p =1、 2、 n,
18、则状态方程,可通过线性非奇异变换,而化为约当规范形。,约当规范形被广泛应用于线性时不变系统结构特性的分析。任意线性时不变系统的状态方程都可以通过线性非奇异变换化为约当规范形。,特征向量,T-1AT,对角规范型,系统状态实现完全解耦,若A阵为友矩阵形式(能控规范性),则P阵是一个范德蒙德(Vandermonde)矩阵,为,当出现复数特征值时,可以当作互异情况考虑,但 必包含共扼复数元,在系统分析与综合中,需作实数化处理。,例试将下列状态方程变换为约当规范形,解:A的特征值可由A0求出,对应于11的特征矢量,特征矢量不唯一!,同理可以算出,则变换矩阵P为,状态方程变换为约当规范形,结论5,特征值包
19、含重值的情形,对包含重特征值的n维线性时不变系统,设系统的特征值,那么,基于相应于各特征值的广义特征向量组所组成的变换阵Q,令,可将系统状态方程化为约当规范形:,具有准对角线的形式,其中,Ji为相应于特征值i 的约当块:,例:P61,重特征值情形的约当规范形是一个“嵌套式”的对角块阵,外层,中层,内层系统状态可实现可能的最简耦合。当系统矩阵A所有的特征值I 的i=i,约当规范形为对角线矩阵。,2.7 由状态空间描述导出传递函数矩阵,传递函数矩阵,定义:单输入单输出线性时不变系统,在零初始条件下,输出变量拉普拉斯变换和输入变量拉普拉斯变换之比,称为系统的传递函数,即,多输入多输出线性时不变系统,
20、在零初始条件下,输出变量拉普拉斯变换和输入变量拉普拉斯变换因果关系:,称G(s)为系统的传递函数矩阵。,其中,(1) G(s)的函数属性,传递函数矩阵G(s)在函数属性上是复变量s的qp有理分式矩阵。,(2) G(s)的真性和严真性,当且仅当G(s)是真或严真时,G(s)才是物理上可实现的,(3) G(s)的特征多项式和最小多项式,(4) G(s)的极点,G(s)的极点定义为方程式,的根,(5) G(s)的循环性,若,称G(s)是循环的,(6) G(s)正则性和奇异性,G(s)基于(A,B,C,D)的表达式,考虑连续时间线性时不变系统,则,设G(s)的首一化特征多项式为G(s),A的特征多项式
21、为(s),若,必有,若系统能控能观测,则,表G(s)的极点集合G,A的特征值集合,若G,则G;若系统能控能观测,则G= 。,结论7,G(s)的实用计算关系式,令,则,2.8 线性系统在坐标变换下的特性,坐标变换的实质是把系统在空间一个坐标系上的表征化为另一个坐标系上的表征。,线性时不变系统状态空间描述为,引入坐标变换,则变换后系统的状态空间描述为,结论8,坐标变换是状态空间方法分析和综合中广为采用的一种基本手段突出系统的某些特性或特征,或是简化系统分析和综合的计算过程。,线性时不变系统在坐标变换下的特性,结论9,线性时不变系统引入坐标变换,其传递函数矩阵在线性非奇异变换下保持不变。,定义:称具
22、有相同输入和输出的两个同维线性时不变系统代数等价,当且仅当它们的系数矩阵之间满足状态空间描述坐标变换中给出的关系。,代数等价的系统的基本特征是具有相同的代数结构特性,如特征多项式、特征值、极点、稳定性、能控性、能观测性等。,坐标变换具有人为属性,系统在坐标变换下如特征多项式、特征值、极点、稳定性、能控性、能观测性等的不变性反映了系统运动核结构的固有特性。,结论10,线性时变系统在坐标变换下的特性,对线性时变系统,引入坐标变换,P(t)为可逆且连续可微,则变换后系统的状态空间描述为,2.9 组合系统的状态空间描述和传递函数矩阵,设,子系统并联,两个子系统可以实现并联联接的条件,并联后,子系统串联
23、,两个子系统可以实现串联联接的条件是:,串联后,子系统反馈联接,设,两个子系统实现输出反馈联接的条件是,反馈联接后,第三章 线性系统的运动分析,31 引言,数学的角度,运动分析的实质就是求解系统的状态方程。以解析形式或数值分析形式,建立系统状态随输入和初始状态的演化规律。,解的存在性和唯一性条件,设系统状态方程,如果系统矩阵A(t),B(t)的所有元在时间定义区间t0,t上为时间t的连续实函数,输入u(t)的所有元为时间t的连续实函数,那么状态方程的解x(t)存在且唯一。,从数学观点,上述条件可减弱为:,系统矩阵A(t)的各个元aij(t)在时间区间t0,t上为绝对可积,即:,当且仅当状态方程
24、的解为存在和唯一,对系统的运动分析才有意义。,输入u(t)的各个元uk(t)在时间区间t0,t上为平方可积,即:,条件可一步合并为要求B(t)、u(t)的各元在时间区间t0,t上绝对可积。,本章随后各节中,均加设系统满足上述解的存在性和唯一性条件 。,输入矩阵B(t)的各个元bij(t)在时间区间t0,t上为平方可积,即:,线性系统运动零输入响应零初态响应,32 连续时间线性时不变系统的运动分析,系统的零输入响应,令输入u(t)=0而得到系统自治状态方程,结论1. 系统自治状态方程的解,具有以下形式,其中,若初始时间取为t00则,连续时间线性时不变系统的运动分析是本章讨论的重点,设其解是t的向
25、量幂级数,则,由对应项系数相等关系有,式中x0,b1,bk,都是n维向量,,且x(0)=b0,故,定义:,矩阵指数函数,矩阵指数函数的性质,(4) 设A和F为两个同维可交换方阵,即AF=FA,则有,矩阵指数函数的算法,1:定义法,2:特征值法,1)若A的特征值为两两互异,则,只能得到eAt的数值结果,难以获得eAt解析表达式,但用计算机计算,具有编程简单和算法迭代的优点。,P为变换A为约当规范型的变换矩阵,p =v1、v2、vn,其中v1、v2、vn为A的n个特征向量。,2)若A的特征值出现重根,其中,则,其中,假设的i几何重数为1,例,三个互异特征根11,22,33,例,三个重特征根1231
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