线性相位FIR数字滤波器ppt课件.ppt

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1、数字信号处理by Zaiyue Y ZJU, 2016,第4章 数字滤波器的结构,4.1 引言 4.2 用信号流图表示网络结构4.3 IIR系统的基本网络结构4.4 FIR系统的基本网络结构4.5 FIR系统的线性相位结构4.6 FIR系统的频率采样结构4.7 数字信号处理中的量化效应,2,数字滤波器的设计与实现,（1）确定性能指标,（2）求系统函数H(z),（3）确定运算结构,（4）确定实现方法,已知,寻求,本章内容,4.1 引言,关键点：同一个H(z)可以写成不同形式，因此可以由不同结构来实现。,3,一般时域离散系统或网络可以用差分方程、单位脉冲响应以及系统函数进行描述。如果系统输入输出服

2、从N阶差分方程,其系统函数H(z)为,给定一个差分方程，不同的算法有很多种，例如：,不同算法直接影响系统运算误差、运算速度以及系统复杂程度和成本,5,加法器,乘法器,单位延时,基本运算单元,方框图,流图,基本运算单元的方框图及流图表示,4.2 用信号流图表示网络结构,6,流图结构,节点,源节点,支路,输出节点,网络节点,分支节点,输入支路,相加器,节点的值=所有输入支路的值之和,输出支路,支路的值=支路起点处的节点值传输系数,7,流图的化简,（1）并联支路,（2）串联支路,（3）反馈支路,8,例：,(4.2.1),图4.2.2 信号流图(a)基本信号流图；(b)非基本信号流图,可得,9,基本信

3、号流图 (1) 信号流图中所有支路都是基本的，即支路增益是常数或者是z-1； (2) 流图环路中必须存在延时支路； (3) 节点和支路的数目是有限的。,10,FIR：无反馈支路 差分方程，,单位脉冲响应h(n)有限长，,FIR网络 v.s. IIR网络,IIR：有反馈支路 差分方程，例如： 单位脉冲响应h(n)无限长，例如：,11,4.3 IIR系统的基本网络结构,1.直接型 N阶差分方程： 系统函数：,IIR的三种结构：直接型、级联型、并联型,12,图4.3.1 IIR网络直接型结构,1!,1!,13,例4.3.1 IIR数字滤波器的系统函数H(z)为,画出该滤波器的直接型结构。 解：由H(

4、z)写出差分方程,14,图4.3.2 例4.3.1图,15,直接型特点,（1）简单直观, 运算速度快, 要求的内存少；,（2）不能直接调整滤波器系统函数的零、极点；,（3）系数的有限字长效应对零、极点位置的影响很大，甚至可能使原设计稳定的滤波器变为不稳定的。,直接型结构多用于低阶（23阶）滤波器。,16,2. 级联型 将H(z)的分子、分母多项式分别因式分解,(4.3.1),Cr、dr为零、极点。由于它们是实数或共轭成对复数，因此上式可写作：,(4.3.2),其中，0j、1j、2j、1j和2j均为实数。,17,图4.3.3 一阶和二阶直接型网络结构(a)直接型一阶网络结构；(b)直接型二阶网络

5、结构,Hj(z)表示一个一阶或二阶的数字网络的系统函数，可由直接型网络结构表示：,结论：Hj(z)网络级联构成H(z) 网络。,18,例4.3.2 设系统函数H(z)如下式：,试画出其级联型网络结构。 解：将H(z)分子分母进行因式分解，得到,图4.3.4 例4.3.2图,19,级联型特点,（1）每个一阶网络决定一个零点、一个极点，每个二阶网络决定一对零点、一对极点；,（2）能直接调整滤波器系统函数的零、极点；,（3）信号不会回流，运算误差的积累比直接型小；,20,Hi(z) 为一阶或二阶网络，,(4.3.4),0i、1i、1i和2i为实数。,3.并联型将H(z)展成部分分式形式,结论：Hi(

6、z)网络并联构成H(z) 网络。,21,例4.3.3 画出例题4.3.2中的H(z)的并联型结构。 解：将H(z)展成部分分式形式：,将每部分用直接型结构实现，然后并联。,图4.3.5 例4.3.3图,22,并联型特点：（1）可以直接控制极点； （2）各二阶节的误差互不影响，故误差一般比级联型稍小；（3）有限字长效应的影响小； （4）零点不能独立地调节（二阶节的零点并不一定是系统的零点）； （5）系数较多 乘法次数多。,23,4.4 FIR系统的基本网络结构,FIR网络结构特点是没有反馈支路，即没有环路，其单位脉冲响应是有限长的。设单位脉冲响应h(n)长度为N，其系统函数H(z)和差分方程为,

7、24,1.直接型 按照H(z)或者差分方程直接画出结构图如图4.4.1所示。这种结构称为直接型网络结构或者称为卷积型结构。,图4.4.1 FIR直接型网络结构,25,2. 级联型 将H(z)进行因式分解，并将共轭成对的零点放在一起，形成一个系数为实数的二阶形式，这样级联型网络结构就是由一阶或二阶因子构成的级联结构，其中每一个因式都用直接型实现。 例4.4.1 设FIR网络系统函数H(z)如下式： H(z)=0.96+2.0z-1+2.8z-2+1.5z-3 画出H(z)的直接型结构和级联型结构。,26,解：将H(z)进行因式分解，得到： H(z)=(0.6+0.5z-1)(1.6+2z-1+3

8、z-2) 其直接型结构和级联型结构如图所示。,图4.4.2 例4.4.1图,特点比较：（1）级联型的每个基本节控制一对零点，便于控制滤波器的传输零点（2）系数比直接型多，所需的乘法运算多,27,4.5 线性相位FIR数字滤波器,考虑长度为N的h(n)，系统函数为：,什么是线性相位FIR？,频率响应函数为：,Hg()称为幅度特性，()称为相位特性。注意，Hg()不同于|H(ej)|，Hg()为的实函数，可能取负值，而|H(ej)|总是正值。,(4.5.1),(4.5.2),28,H(ej)线性相位是指： ()是的线性函数，即 为常数 (4.5.3) 或()满足下式： ,0是起始相位 (4.5.4

9、) 严格地说， (4.5.4) 中()不具有线性相位，但以上两种情况都满足群时延是一个常数，即,第一类线性相位,第二类线性相位,29,30,第一类线性相位：h(n)是实序列且对(N-1)/2偶对称，即,线性相位条件：,第二类线性相位：h(n)是实序列且对(N-1)/2奇对称，即,注意：充分条件,(4.5.5),(4.5.6),31,第一类线性相位条件证明：,令m=N-n-1,32,z=ej,33,令m=N-n-1,第二类线性相位条件证明：,34,35,幅度特性Hg()的特点,Case 1：第一类线性相位、N为奇数,h(n)对(N-1)/2偶对称，余弦项也对(N-1)/2偶对称，可以以(N-1)

10、/2为中心，把两两相等的项进行合并，由于N是奇数，故余下中间项n=(N-1)/2,36,cos(n-)对=0,2皆为偶对称因此Hg() 也对=0,2是偶对称的。,可以实现各种（低通、高通、带通、带阻）滤波器,37,幅度特性Hg()的特点,Case 2：第一类线性相位、N为偶数,与N=奇数相似，不同点是由于N=偶数，Hg()中没有单独项，相等的项合并成N/2项。,38,cos(n-)对=为奇对称对=0, 2皆为偶对称因此Hg()=0， Hg()关于=是奇对称，关于=0, 2偶对称,可以实现低通和带通不能实现高通和带阻滤波器,因为N是偶数，所以当=时有：,39,40,幅度特性Hg()的特点,Cas

11、e 3：第二类线性相位、N为奇数,h(n)奇对称，因此,41,当=0,2 时，sin(n-)=0且sin(n-)对过零点奇对称因此，Hg()关于=0,2是奇对称,只能实现带通滤波器不能实现低通、高通和带阻,因为N是奇数，所以=(N-1)/2是整数。,42,幅度特性Hg()的特点,Case 4：第二类线性相位、N为偶数,当=0, 2 时，sin(n-)=0；当= 时，sin(n-)=1，为峰值点sin(n-)对过零点奇对称，对峰值点偶对称因此，Hg()关于=0, 2是奇对称，关于=偶对称,可以实现高通和带通不能实现低通和带阻,因为N是偶数，所以=(N-1)/2=N/2-1/2。,43,44,在第

12、一类和第二类线性相位系统的证明中用到：,线性相位FIR滤波器零点分布特点,第一类取+第二类取,如果zi为H(z)的零点：(zi)-1也是零点,由于h(n)为实序列，零点共轭成对：zi*和(zi*)-1也是零点,45,图4.5.1 线性相位FIR滤波器零点分布,线性相位FIR滤波器零点分布特点,46,回顾线性相位FIR滤波器网络结构：,N为偶数：,N为奇数，则将中间项h(N-1)/2单独列出:,第一类取+第二类取,47,图4.5.2 第一类线性相位网络结构,48,图4.5.3 第二类线性相位网络结构,由DFT可知，H(z)与频域采样值H(k)满足,4.6 FIR系统的频率采样结构,条件：满足频率

13、域采样定理，即频率域采样点数N大于等于原序列的长度M,推论：M有限，因此频率采样结构只使用于FIR，不适用于IIR,（4.6.1）,49,将(4.6.1)式写成下式：,(4.6.2),式中,Hc(z)是一个梳状滤波网络，其零点为,Hc(z) 零点与Hk(z)极点对消,50,图4.6.1 FIR滤波器频率采样结构,51,优点：(1)便于调整：在频率采样点k， ，只要调整H(k)(即一阶网络Hk(z)中乘法器的系数H(k)，就可以有效地调整频响特性(2)便于标准化、模块化：只要h(n)长度N相同，其梳状滤波器部分和N个一阶网络部分结构完全相同，只是各支路增益H(k)不同缺点：(1)系统稳定性脆弱：

14、位于单位圆上的N个零极点对消 (2)硬件实现不方便：H(k)和W-kN一般为复数，要求乘法器完成复数乘法运算,52,修正：(1) 将单位圆上的零极点向单位圆内收缩到半径为r的圆上，取r1且r1。此时H(z)为,(4.6.3),53,(2) 将Hk(z)和HN-k(z)合并为一个二阶网络，记为Hk(z),由DFT的共轭对称性知道，如果h(n)是实数序列，则H(k)关于N/2点共轭对称，即H(k)=H*(N-k)；且WN-(N-k)=WNk=(WN-k)*,其中，实系数为：,54,当N为偶数时，H(z)可表示为,其中，H(0)和H(N/2)为实数。,频率采样修正结构由(N/2)-1个二阶网络和两个

15、一阶网络并联构成,(4.6.4),55,当N为奇数时，H(0)为实数，H(z)可表示为,(4.6.5),56,4.7 数字信号处理中的量化效应,信号x(n)值量化后用Qx(n)表示， 量化误差用e(n)表示， e(n)=Qx(n)-x(n),图 4.7.1 量化噪声e(n)的概率密度曲线 (a) 截尾法； (b) 舍入法,57,1. A/D变换器中的量化效应 A/D变换器的功能原理图如图 4.7.2(a)所示， 图中 是量化编码后的输出， 如果未量化的二进制编码用x(n)表示， 那么量化噪声为e(n) = -x(n)， 因此A/D变换器的输出 为,(4.7.1),那么考虑A/D变换器的量化效应

16、， 其方框图如图 4.7.2(b)所示。 这样， 由于e(n)的存在而降低了输出端的信噪比。,58,图 4.7.2 A/DC功能原理图(a) A/DC变换器功能原理图； (b) 考虑量化效应的方框图,59,假设A/D变换器输入信号xa(t)不含噪声， 输出 中仅考虑量化噪声e(n)，信号xa(t)平均功率用 表示， e(n)的平均功率用 表示， 输出信噪比用S/N表示，,或者用dB数表示,(4.7.2),A/D变换器采用定点舍入法， e(n)的统计平均值me=0， 方差,60,将 代入(4.7.2)式， 得到:,(4.7.3),为充分利用其动态范围， 取 ，代入(4.7.3)式， 得,61,2

17、. 数字网络中系数的量化效应 数字网络或者数字滤波器的系统函数用下式表示：,式中的系数br和ar必须用有限位二进制数进行量化， 存贮在有限长的寄存器中,经过量化后的系数用 和 表示，量化误差用br和ar表示，,62,对于N阶系统函数的N个系数ar，都会产生量化误差ar，每一个系数的量化误差都会影响第i个极点Pi的偏移。可以推导出第i个极点的偏移Pi服从下面公式：,(4.7.4),(4.7.5),63,推导过程,64,上式表明极点偏移的大小与以下因素有关： (1) 极点偏移和系数量化误差大小有关。 (2) 极点偏移与系统极点的密集程度有关。 (3) 极点的偏移与滤波器的阶数N有关，阶数愈高， 系

18、数量化效应的影响愈大， 因而极点偏移愈大。,系统的结构最好不要用高阶的直接型结构，而将其分解成一阶或者二阶系统，再将它们进行并联或者串联，以减小极点偏移量。,65,例：设计一带通滤波器，并对其系数用16位字长量化，其中尾数15位。,66,3. 数字网络中的运算量化效应 1) 运算量化效应,考虑定点乘法运算：,67,图 4.7.3 考虑运算量化效应的一阶网络结构,在图 4.7.3 中，有两个乘法支路，采用定点制时共引入两个噪声源，即e1(n)和e2(n)，噪声e2(n)直接输出， 噪声e1(n)经过网络h(n)输出，输出噪声ef(n)为,68,ef(n)=e1(n)*h(n)+e2(n)如果尾数

19、处理采用定点舍入法， 则输出端噪声平均值为,上式中E 表示求统计平均值， m1和m2分别表示两个噪声源的统计平均值， 这里m1=m2=0， 因此，,69,由于e1(n)和e2(n)互不相关，求输出端噪声方差时， 可分别求其在输出端的方差，再相加。这里，每个噪声源的方差均为,输出端的噪声ef(n)的方差为,70,式中，ef1(n)和ef2(n)分别表示e1(n)和e2(n)在输出端的输出；,71,根据帕斯维尔定理， 也可以用下式计算：,72,2) 网络结构对输出噪声的影响 例 4.7.1 已知网络系统函数为,网络采用定点补码制， 尾数处理采用舍入法。 试分别计算直接型、 级联型和并联型结构输出噪声功率。,解,73,图 4.7.4 例 4.7.1 的网络结构图,74,(1) 直接型。,式中,75,2) 级联型。,式中,76,3) 并联型。,77,输入信号x(n)方差为 ，均值mx=0，输出端信号功率用 表示，,输出信噪比S/N用信号和噪声的功率比计算,输出信噪比随量化位数b增加而增加并联型网络结构输出信噪比最大，直接型最差,78,