线性微分方程组的一般理论ppt课件.ppt

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1、 5.2 线性微分方程组的一般理论 General Theory of Linear ODEs, 掌握线性齐次微分方程组的解的性质及 代数结构。 掌握线性非齐次微分方程组的解的代数 结构，理解常数变易法的基本思想。,本节要求/Requirements/, 5.2 General Theory of Linear ODEs,(5.14),则(5.14)称为非齐次线性的。,则方程 (5.15）称为齐次线性的。,如果,(5.15),若,为常数矩阵，则称为常系数线性方程组。,如果, 5.2 General Theory of Linear ODEs,5.2.1 齐线性微分方程组,定理2（叠加原理） 如

2、果 u(t)和 v(t)是(5.15)的解，,也是(5.15)的解。,则它们的线性组合,(5.15),证明：, 5.2 General Theory of Linear ODEs,如果,是(5.15)的解，则,也是(5.15)的解。,可验证,是方程组,的解，则,也是方程组的解。, 5.2 General Theory of Linear ODEs,成立；否则，,为线性无关的。,基本概念/Basic Concept/,定义在区间,上的向量函数,是线性相关的，如果存在不全为零的常数,使得等式, 5.2 General Theory of Linear ODEs,例,线性无关。,设有 n 个定义在区

3、间,上的向量函数, 5.2 General Theory of Linear ODEs,由这n个向量函数构成的行列式，,称为这些向量函数的伏朗斯基行列式。,如果向量函数,上线性相关，则它们的伏朗斯基行列式,定理3,在区间, 5.2 General Theory of Linear ODEs,由假设，存在不全为零的常数,使得,(5.16),证明,其系数行列式恰是,证毕, 5.2 General Theory of Linear ODEs,线性无关，那么，它们的伏朗斯基行列式,设有某一个,使得,考虑下面的齐次线性代数方程组：,(5.17),定理4,如果(5.15)的解,证明,用反证法。, 5.2

4、General Theory of Linear ODEs,它的系数行列式,，所以(5.17)有非零解,以这个非零解作向量函数,(5.18),满足初始条件(5.19)的解。,(5.19),易知 x(t) 是(5.15)的解，且满足初始条件,而在,上恒等于零的向量函数 0 也是(5.15)的, 5.2 General Theory of Linear ODEs,因为,不全为零，这就与,线性无关矛盾。,由解的唯一性，知道 即,定理得证。,结论,斯基行列式W ( t ) 或者恒等于零，或者恒不等于零。,由(5.15) 的解,作成的伏朗, 5.2 General Theory of Linear OD

5、Es,定理5,(5.15)一定存在 n 个线性无关的解。,线性无关,定理得证。, 5.2 General Theory of Linear ODEs,是 (5.15) n 个线性无关,这里,的解，则(5.15)的任一解 x ( t ) 均可表示为,定理6,如果,是相应的确定常数。,任取(5.15)的任一解 ，它满足,令,上式看作是以,为未知量的线性代数方程组，,证明,(5.20), 5.2 General Theory of Linear ODEs,系数行列式就是,它显然是(5.15)的解，且满足条件,线性无关，则,，(5.20)有唯一解,作向量函数,初始条件，因此由解的存在唯一性条件可知,证

6、毕,使得, 5.2 General Theory of Linear ODEs,与,具有相同的,基本解组： (5.15)的 n 个线性无关解。,推论1,(5.15)线性无关解的最大个数等于 n 。,解矩阵：,由(5.15) n 个解的列构成的矩阵。,由(5.15) n 个线性无关解的列构成的矩阵。,基解矩阵：,标准基矩阵：,定理5和定理6的另一种形式, 5.2 General Theory of Linear ODEs,定理1*,(5.15)一定存在基解矩阵；若,是(5.15),任一解，则,而且，如果对某一个,定理2*,一个解矩阵是基解矩阵的充要条件是, 5.2 General Theory

7、of Linear ODEs,例1 验证,是方程组,的基解矩阵。,首先证明,是解矩阵。令,表示,的第一列，,表示,解,的第二列, 5.2 General Theory of Linear ODEs,这表示,是方程组的解，因此,是解矩阵。,又因为,是基解矩阵。,，所以, 5.2 General Theory of Linear ODEs,必满足关系,结论：,是方程组(5.15),的一解矩阵的充要条件是, 5.2 General Theory of Linear ODEs,令,是解矩阵。,是(5.15)的基解矩阵。,证明,证毕, 5.2 General Theory of Linear ODEs,

8、如果,在区间,上是方程组,(5.15)的两个基解矩阵，那么，存在一个非奇异,常数矩阵C, 使得在区间,上,推论2,证明,基解矩阵，,存在，,令,或,证毕, 5.2 General Theory of Linear ODEs,如果,在区间,上是某方程组,的基解矩阵，那么，这个方程组为,推论3,证明 设所求方程组为,则,故, 5.2 General Theory of Linear ODEs,例 已知一个一阶线性齐次方程组的基解矩阵为,，求该方程组。,解,所求方程组为, 5.2 General Theory of Linear ODEs,作业,P.200, 第2, 4题。,P.184, 第2(c) , 3题。,练习,1 已知一个一阶线性齐次方程组的基解矩阵为,，求该方程组。, 5.2 General Theory of Linear ODEs,