线性代数矩阵的初等变换与初等矩阵ppt课件.ppt

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1、一、初等变换,二、初等矩阵,三、求逆矩阵的初等行变换法,下页,第5节 矩阵的初等变换与初等矩阵,5.1 初等变换,交换第i行与第j行记为rirj .,r2r4,定义1 对矩阵施以下列三种变换之一，称为初等变换. (1)交换矩阵的某两行(列)； (2)以数k0乘矩阵的某一行(列)； (3)把矩阵的某一行(列)的k倍加到另一行(列)上.,例如,下页,第5节 矩阵的初等变换与初等矩阵,交换第i列与第j列记为cicj .,c1c3,例如,下页,5.1 初等变换,定义1 对矩阵施以下列三种变换之一，称为初等变换. (1)交换矩阵的某两行(列)； (2)以数k0乘矩阵的某一行(列)； (3)把矩阵的某一行

2、(列)的k倍加到另一行(列)上.,用数k乘以第i行记为kri .,4r2,例如,下页,5.1 初等变换,定义1 对矩阵施以下列三种变换之一，称为初等变换. (1)交换矩阵的某两行(列)； (2)以数k0乘矩阵的某一行(列)； (3)把矩阵的某一行(列)的k倍加到另一行(列)上.,用数k乘以第i列记为kci .,4c3,例如,下页,5.1 初等变换,定义1 对矩阵施以下列三种变换之一，称为初等变换. (1)交换矩阵的某两行(列)； (2)以数k0乘矩阵的某一行(列)； (3)把矩阵的某一行(列)的k倍加到另一行(列)上.,第i行的k倍加到第j行记为rj+kri .,r3-3r1,例如,下页,5.

3、1 初等变换,定义1 对矩阵施以下列三种变换之一，称为初等变换. (1)交换矩阵的某两行(列)； (2)以数k0乘矩阵的某一行(列)； (3)把矩阵的某一行(列)的k倍加到另一行(列)上.,第i列的k倍加到第j列记为cj+kci .,c3+c1,例如,下页,5.1 初等变换,定义1 对矩阵施以下列三种变换之一，称为初等变换. (1)交换矩阵的某两行(列)； (2)以数k0乘矩阵的某一行(列)； (3)把矩阵的某一行(列)的k倍加到另一行(列)上.,定义2 对单位矩阵E施以一次初等变换得到的矩阵称为初等矩阵（或初等方阵）. 初等矩阵有下列三种： E(i, j) 、E(i(k)、E(j,i(k)

4、.,=E(2, 4),例如，下面是几个4阶初等矩阵：,r2r4,=E(2, 4),c2c4,下页,5.2 初等矩阵,=E(3(4),4 r3,=E(3(4),4 c3,下页,定义2 对单位矩阵E施以一次初等变换得到的矩阵称为初等矩阵（或初等方阵）. 初等矩阵有下列三种： E(i, j) 、E(i(k)、E(j,i(k) .,5.2 初等矩阵,例如，下面是几个4阶初等矩阵：,=Er(2,4(k),r2+kr4,=Ec(2,4(k),c2+kc4,下页,定义2 对单位矩阵E施以一次初等变换得到的矩阵称为初等矩阵（或初等方阵）. 初等矩阵有下列三种： E(i, j) 、E(i(k)、E(j,i(k)

5、 .,5.2 初等矩阵,例如，下面是几个4阶初等矩阵：,初等矩阵都是可逆的，且它们的逆矩阵仍是初等矩阵.,初等矩阵的可逆性,E(j,i(k)-1=E(j,i(-k) .,E(i(k)-1=E(i(k -1)；,E(i, j)-1=E(i, j)；,这是因为，初等矩阵的行列式要么为1,要么为-1,要么为k(k0) .其逆阵分别为:,下页,定理1 设A是一个mn矩阵，对A施行一次初等行变换相当于在A的左边乘以相应的m阶初等矩阵；对A施行一次初等列变换相当于在A的右边乘以相应的n 阶初等矩阵.,E(1, 2)A=,与交换A的第一行(列)与第二行(列)所得结果相同.,AE(1, 2)=,例如，设,下页

6、,定理1 设A是一个mn矩阵，对A施行一次初等行变换相当于在A的左边乘以相应的m阶初等矩阵；对A施行一次初等列变换相当于在A的右边乘以相应的n 阶初等矩阵.,E(1(3)A=,与A的第一行(列)乘以3所得结果相同.,AE(1(3)=,例如，设,下页,与第三行(列)的2倍加到第一行(列)所得结果相同.,例如，设,E(1,3(2)A=,AE(1,3(2)=,下页,定理1 设A是一个mn矩阵，对A施行一次初等行变换相当于在A的左边乘以相应的m阶初等矩阵；对A施行一次初等列变换相当于在A的右边乘以相应的n 阶初等矩阵.,5.3 求逆矩阵的初等变换方法,定理2 若n阶矩阵A可逆，则可以通过初等行变换将A

7、化为单位矩阵.,证： 因为A可逆,即|A|0，所以A的第一列不全为0,不妨设a11 0.,将A的第一行元素乘以1/a11 ,再将变换后的第一行的(-ai1)倍加到第i行，i=2,3,n,使第一列其他元素全化为零，得如下形式矩阵B1:,由定理1知，,其中Fi是对应初等矩阵.,一直进行下去，最终把A化成了单位矩阵E.,同理可得B2:,下页,即B2的第二行第二列元素化为1, 第二列的其它元素全化为零.,推论 方阵A可逆的充分必要条件是A可以表示为有限个初等矩阵的乘积.,下页,证 （必要性）假设A可逆，由定理2，A经有限次初等行变换可化为单位阵E , 即存在初等矩阵,使,而,是初等矩阵.,（充分性）如

8、果A可表示为有限个初等矩阵的乘积，因为初等矩阵都是可逆的，而可逆矩阵的乘积仍然可逆的，所以A是可逆矩阵.,利用初等行变换求逆矩阵的方法(要求：熟练掌握),构造一个 n2n 矩阵(A|E)，对矩阵(A|E)作初等行变换，当左部A变成单位矩阵E时，右部单位矩阵E则变成A-1.即,下页,若,则,可知，当通过初等行变换将矩阵A变成E时，经过同样的变换把E变成了A-1.于是有,即,一般地有,解：,例1.,若矩阵A可逆,则矩阵(A |E)可经初等行变换化为(E |A-1).,下页,下页,例2. 设,求,解,从而,解矩阵方程AXB则得 X A-1B,例3 求矩阵,解：,r2-2r1,r3+3r1,r3-2r

9、2,r2+r3,r1-0.5r3,，,r30.5,下页,一、矩阵的秩的概念,二、初等变换求矩阵的秩,下页,第6节 矩阵的秩,定义1 设A是mn矩阵，在A中任取k行k列(1kminm,n)， 位于k行k列交叉位置上的k2个元素，按原有的次序组成的k阶 行列式，称为A的k阶子式.,如矩阵,第1,3行及第2,4列交叉位置上的元素组成的一个二阶子式为,三阶子式共有4个,下页,6.1 矩阵的秩的概念,第6节 矩阵的秩,定义2 若矩阵A有一个r阶子式不为零，而所有r+1阶子式(如果存在的话)全等于零，则r称为矩阵A的秩，记作r(A).,规定零矩阵的秩为零.,易见：,（1）若A是mn矩阵，则r(A) min

10、m,n.,（2）若mn矩阵A中有一个r阶子式不等于零 ，则r(A) r； 若所有r+1阶子式全等于零，则r(A) r.,（3） r(A) = r(AT) .,（4） r(kA) = r(A)，k0 .,（5） 对n阶方阵A，若|A|0，则r(A)=n ,称A为满秩矩阵 ; 若|A| = 0，则r(A)n ,称A为降秩矩阵.,结论：n阶方阵A可逆的充分必要条件是A满秩.,下页,例1. 求下列矩阵的秩.,解: C的最高阶子式三阶子式全部都等于零，即,但二阶子式,所以,下页,例2. 求下列矩阵的秩.,解: 显然 C所有的四阶子式和五阶子式全都等于零,但存在三阶子式,所以,下页,定理1 初等变换不改变

11、矩阵的秩.,定义3 满足下面两个条件的矩阵称为行阶梯形矩阵，简称阶梯形矩阵： （1）若有零行，零行都在非零行的下方(元素全为零的行称为零行，否则称为非零行)； （2）从第一行起，下面每一行从左向右第一个非零元素前面零的个数逐行增加.,如,下页,6.2 初等变换求矩阵的秩,定理2 任何一个秩为r 的矩阵A=(aij) mn都可以通过初等行变换化为行阶梯形矩阵Br，且Br的非零行数为r. 即,结论：行阶梯形矩阵Br的非零行的个数，即为矩阵A的秩.,下页,例3. 求矩阵,的秩.,下页,所以， r(A)=3.,解：对矩阵作初等行变换，将其化成行阶梯形矩阵,下页,例4. 设方阵,判断A是否可逆.,解法1: 因为, 所以，A满秩(可逆).,解法2: 用初等行变换将A化成行阶梯形矩阵，得,所以r(A)=3，A满秩，故A可逆.,下页,作业： 84页 15 (1) 17,结束,