管理运筹学线性规划ppt课件.ppt

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1、1,第一讲 线性规划,第一章 线性规划的数学模型第一节 线性规划一般模型第二节 线性规划的图解法第三节 线性规划的标准型第四节 线性规划解的概念第二章 线性规划的单纯形法第一节 单纯形法原理第二节 表格单纯形法第三节 人工变量问题第四节 单纯形法补遗第三章 线性规划的对偶理论第四章 线性规划灵敏性分析,2,第一章 线性规划的数学模型,线性规划 Linear Programming LP规划论中的静态规划解决有限资源的最佳分配问题求解方法：图解法单纯形解法,3,第一章 线性规划的数学模型,第一节 线性规划一般模型第二节 线性规划的图解法第三节 线性规划的标准型第四节 线性规划解的概念,4,第一节

2、 线性规划一般模型,一、线性规划问题的三个要素,决策变量决策问题待定的量值称为决策变量。决策变量的取值要求非负。约束条件任何问题都是限定在一定的条件下求解，把各种限制条件表示为一组等式或不等式，称之为约束条件。约束条件是决策方案可行的保障。LP的约束条件，都是决策变量的线性函数。目标函数衡量决策方案优劣的准则，如时间最省、利润最大、成本最低。目标函数是决策变量的线性函数。有的目标要实现极大，有的则要求极小。,5,第一节 线性规划一般模型,例1. 生产计划问题 某厂生产、两种产品，已知生产单位产品所需的设备台时及A、B两种原材料的消耗，以及资源的限制，相关数据如表所示： 问如何安排、两产品的产量

3、，使利润为最大。,二、线性规划模型的构建,6,第一节 线性规划一般模型,(1)决策变量。要决策的问题是、两种产品的产量，因此有两个决策变量：设x1为产品产量，x2为产品产量。(2)约束条件。生产这两种产品受到现有生产能力的制约，原料用量也受限制。设备的生产能力总量为300台时，则约束条件表述为 x1 +x2 300A、B两种原材料约束条件为2x1 + x2 400 x2 250,建立模型,7,第一节 线性规划一般模型,(3)目标函数。目标是利润最大化，用Z表示利润，则 maxZ= 50 x1 +100 x2 (4)非负约束。 、产品的产量不应是负数，否则没有实际意义，这个要求表述为 x1 0，

4、 x2 0,8,第一节 线性规划一般模型,某名牌饮料在国内有三个生产厂，分布在城市A1、A2、A3,其一级承销商有4个，分布在城市B1、B2、B3、B4，已知各厂的产量、各承销商的销售量及从Ai到Bj的每吨饮料运费为Cij，为发挥集团优势，公司要统一筹划运销问题，求运费最小的调运方案。,例2. 运输问题,9,第一节 线性规划一般模型,(1)决策变量。设从Ai到Bj的运输量为xij，(2)目标函数。运费最小的目标函数为minZ=6x11+3x12+2x13+5x14+7x21+5x22+8x23+4x24+3x31+2x32+9x33+7x34 (3)约束条件。产量之和等于销量之和,故要满足：供

5、应平衡条件,x11+x12+x13+x14=5x21+x22+x23+x24=2x31+x32+x33+x34 =3,销售平衡条件,x11+x21+x31=2x12+x22+x32=3x13+x23+x33=1x14+x24+x34=4,非负性约束 xij0 (i=1,2,3；j=1,2,3,4),10,第一节 线性规划一般模型,用一组非负决策变量表示一个决策问题，存在一定的等式或不等式的线性约束条件，有一个希望达到的目标，可表示成决策变量的线性函数。可能是最大化，也可能是最小化。线性规划一般模型的代数式 为：,三、线性规划的一般模型,max(min)Z=c1x1+c2x2+cnxn a11x

6、1+a12x2+a1nxn (,)b1a21x1+a22x2+a2nxn (,)b2 am1x1+am2x2+amnxn(,)bmx1,x2,xn ()0,11,第二节 线性规划的图解法,图解法即是用图示的方法来求解线性规划问题。一个二维的线性规划问题，可以在平面图上求解，三维的线性规划则要在立体图上求解，这就比较麻烦，而维数再高以后就不能图示了。,一、图解法的基本步骤,12,第二节 线性规划的图解法,1. 可行域的确定,x1,x2,100,200,300,100,200,300,五边形ABCDO内(含边界)的任意一点 (x1，x2) 都是满足所有约束条件的一个解，称之可行解 。,满足所有约束

7、条件的解的集合，称之为可行域。即所有约束条件共同围城的区域。,400,400,A,B,C,D,O,z=0= 50 x1 +100 x2,Z=27500=50 x1 +100 x2,13,第二节 线性规划的图解法,2. 最优解的确定,目标函数 Z= 50 x1 +100 x2 代表以Z为参数的一族平行线。,等值线：位于同一直线上的点的目标函数值相同。最优解：可行解中使目标函数最优(极大或极小)的解。最优值: 取最优解时对应的目标函数值,14,第二节 线性规划的图解法,由线性不等式组成的可行域是凸集(凸集的定义是：集合内部任意两点连线上的点都属于这个集合)。可行域有有限个顶点。设规划问题有n个变量

8、，m个约束，则顶点的个数不多于Cnm个。目标函数最优值一定在可行域的边界达到，而不可能在其内部。,二、几点说明,15,第二节 线性规划的图解法,三 、解的可能性,唯一最优解：只有一个最优点。多重最优解：无穷多个最优解。若在两个顶点同时得到最优解，则它们连线上的每一点都是最优解。,16,第二节 线性规划的图解法,无界解：线性规划问题的可行域无界，使目标函数无限增大而无界。（缺乏必要的约束条件）,三 、解的可能性（续）,17,第二节 线性规划的图解法,无可行解：若约束条件相互矛盾，则可行域为空集,三 、解的可能性（续）,18,第三节 线性规划的标准型,线性规划问题的数学模型有各种不同的形式，如目标

9、函数有极大化和极小化；约束条件有“”、“”和“”三种情况；决策变量一般有非负性要求，有的则没有。为了求解方便，特规定一种线性规划的标准形式，非标准型可以转化为标准型。标准形式为：目标函数极大化，约束条件为等式，右端常数项bi0，决策变量非负。,一 、标准型,19,第三节 线性规划的标准型,1. 代数式,二、标准型的表达方式 有代数式、矩阵式：,简记,20,第三节 线性规划的标准型,2. 矩阵式,21,第三节 线性规划的标准型,目标函数极小化问题 minZ=CTX，只需将等式两端乘以 -1 即变为极大化问题。 因为minZ=-max (-Z)=CTX，令Z= -Z，则maxZ=-CX右端常数项非

10、正 两端同乘以 -1约束条件为不等式当约束方程为“”时，左端加入一个非负的松弛变量，就把不等式变成了等式；当约束条件为“”时，不等式左端减去一个非负的剩余变量(也可称松弛变量)即可。 决策变量xk没有非负性要求 令xk=xk-x k， xk=xk，x k 0，用xk、x k 取代模型中xk,三、非标准型向标准型转化,22,第三节 线性规划的标准型,例1 的标准型,x1 +x3 =8 2x2 +x4 = 12 3x1 +4 x2 +x5= 36 x1, x2 , x3 , x4 , x5 0,maxZ= 3x1 +5 x2 +0 x3 +0 x4+0 x5,23,minZ= x1 +2 x2 +

11、3 x3 x1 +2 x2 + x35 2x1 +3 x2 + x36 -x1 - x2 - x3 -2 x1 0, x30,第三节 线性规划的标准型,24,第三节 线性规划的标准型,标准化2 minZ= x1 +2 (x2-x 2) +3 x3 x1 +2 (x2-x 2) + x35 2x1 +3 (x2-x 2) + x36 - x1 - (x2-x 2) - x3 -2 x1, x2,x 2 , x3 0 标准化3 minZ= x1 +2 (x2-x 2 ) +3 x3 x1 +2 (x2-x 2 ) + x35 2x1 +3 (x2-x 2 ) + x36 x1 + (x2-x 2

12、) + x3 2 x1, x2, x 2, x3 0,25,第三节 线性规划的标准型,标准化4 minZ= x1 +2 (x2-x 2) +3 x3 x1 +2 (x2-x 2) + x3+ x4 =5 2x1 +3 (x2-x 2) + x36 x1 + (x2-x 2 ) + x3 2 x1, x2, x 2, x3, x4 0标准化5 minZ= x1 +2 (x2-x 2) +3 x3 x1 +2 (x2-x 2) + x3+ x4 =5 2x1 +3 (x2-x 2) + x3 - x5 = 6 x1 + (x2-x 2 ) + x3 2 x1, x2, x 2, x3, x4 ,

13、x5 0,26,第三节 线性规划的标准型,标准化6 minZ= x1 +2 (x2-x 2) +3 x3 x1 +2 (x2-x 2) + x3+ x4 =5 2x1 +3 (x2-x 2) + x3 - x5 = 6 x1 + (x2-x 2 ) - x3 + x6= 2 x1, x2, x 2, x3, x4 , x5 , x6 0标准化7 maxZ= -x1 -2 (x2-x 2) - 3x3+0 x4+0 x5+0 x6 x1 +2 (x2-x 2) + x3+ x4 =5 2x1 +3 (x2-x 2) + x3 - x5 = 6 x1 + (x2-x 2 ) - x3 + x6 =

14、 2 x1, x2, x 2, x3, x4 , x5 , x6 0,27,第四节 线性规划解的概念,可行解：满足约束条件AX=b, X0的解。最优解：使目标函数最优的可行解，称为最优解。基mn，且m个方程线性无关，即矩阵A的秩为m；根据线性代数定理可知，nm，则方程组有多个解，这也正是线性规划寻求最优解的余地所在。,一、线性规划解的概念,28,第四节 线性规划解的概念,线性方程组的增广矩阵,例1 的标准型 maxZ= 50 x1 +100 x2 +0 x3 +0 x4+0 x5 x1 +x2 +x3 =300 2 x1 +2x2 +x4 = 400 x2 +x5= 250 x1, x2 ,

15、x3 , x4 , x5 0,x1,x2,x3,x4,x5,单位矩阵,29,第四节 线性规划解的概念,基矩阵：系数矩阵A中任意m列所组成的m阶非奇异子矩阵，称为该线性规划问题的一个基矩阵。或称为一个基，用B表示。称基矩阵的列为基向量，用Pj表示(j=1,2,m) 。不在B中的向量称为非基向量,的基矩阵B最多为C53=10个,P1 P2 P3 P4 P5,30,第四节 线性规划解的概念,基变量：与基向量Pj相对应的m个变量xj称为基变量，其余的m-n个变量为非基变量。基解：令所有非基变量等于零，对m个基变量所求的解，对应一个特定的基矩阵能求得一组唯一解，这个对应于基的解称为基解。结合图解来看，基

16、解是各约束方程及坐标轴之间交点的坐标。,基变量是x3, x4, x5非基变量是x1, x2令非基变量x1=x2=0，得到一个基解 x3=300，x4=400， x5=250,31,第四节 线性规划解的概念,基可行解：满足非负性约束的基解称为基可行解。可行基：对应于基可行解的基，称为可行基。最优基：最优解对应的基矩阵，称为最优基。,非可行解,可行解,基解,32,第四节 线性规划解的概念,定理1.若线性规划问题存在可行域，则其可行域一定是凸集。定理2.线性规划问题的基可行解对应可行域的顶点。定理3.若可行域有界，线性规划的目标函数一定可以在可行域的顶点上达到最优。,二、线性规划的基本定理,线性规划

17、问题可以有无数个可行解，最优解只可能在顶点上达到，而有限个顶点对应的是基可行解，故只要在有限个基可行解中寻求最优解即可。从一个顶点出发找到一个可行基，得到一组基可行解，拿目标函数做尺度衡量一下看是否最优。如若不是，则向邻近的顶点转移，换一个基再行求解、检验，如此迭代循环目标值逐步改善，直至求得最优解。,三、线性规划的解题思路,33,第二章 线性规划单纯形法,单纯形法(Simplex Method)是美国人丹捷格 (G.Dantzig)1947年创建的这种方法简捷、规范，是举世公认的解决线性规划问题行之有效的方法。 单纯形法的表现形式：代数法表格法矩阵法,34,第二章 线性规划单纯形法,第一节

18、单纯形法原理第二节 表格单纯形法第三节 人工变量问题第四节 单纯形法补遗,35,第一节 单纯形法原理,一、代数解法,x1,x2,x3,x4,x5,非奇异子阵，做为一个基,基变量x3, x4, x5非基变量x1, x2,maxZ= 50 x1 +100 x2 +0 x3 +0 x4+0 x5 x1 +x2 +x3 =300 2 x1 +x2 +x4 = 400 x2 +x5= 250 x1, x2 , x3 , x4 , x5 0,36,第一节 单纯形法原理,将基变量用非基变量线性表示，即x3= 300 - x1 - x2 x4 =400 - 2x1 -x2 x5=250 - x2 令非基变量x

19、1=0，x2=0，找到一个初始基可行解： x1=0， x2 =0，x3 =300，x4 =400， x5 =250即X0=(0,0,300,400,250) T一个可行解就是一个生产方案，在上述方案中两种产品都不生产，利润Z=0 。,1. 求初始基可行解,37,第一节 单纯形法原理,确定入基变量 maxZ= 50 x1 +100 x2 +0 x3 +0 x4+0 x5 x1 +x2 +x3 =300 2 x1 +x2 +x4 = 400 x2 +x5= 250从目标函数maxZ= 50 x1 +100 x2 +0 x3 +0 x4+0 x5可知：非基变量x1和x2的系数均为正数，生产哪种产品都

20、会增加利润。因为x2的系数大于x1的系数，即生产单位乙产品比甲产品利润更高一些，故应优先多生产乙产品，即优先把x2作为入基变量。,2. 第一次迭代,38,第一节 单纯形法原理,确定离基变量基变量用非基变量线性表示x3= 300 - x1 - x2 x4 =400 - 2x1 -x2 x5=250 - x2保持原非基变量x1 =0，x2变成基变量时应保证 x3 , x4, x5非负，即有,2. 第一次迭代（续）,x3 =300- x2 0 x4 = 400 -x2 0 x5=250 - x2 0,则离基变量为x5,39,第一节 单纯形法原理,2. 第一次迭代（续）,主行,主元,进基变量所在列为主

21、列，离基变量所在行为主行,maxZ= 50 x1 +100 x2 +0 x3 +0 x4+0 x5 x1 +x2 +x3 =300 2 x1 +x2 +x4 = 400 x2 +x5= 250,40,第一节 单纯形法原理,基变换进行初等变换，变主元为1，主列为单位列向量。,2. 第一次迭代（续）,-Z+ 50 x1 +100 x2 +0 x3 +0 x4+0 x5 = 0 x1 +x2 +x3 =300 2 x1 +x2 +x4 =400 x2 +x5=250,-Z+ 50 x1 + 0 x2 +0 x3 +0 x4-100 x5 + 25000 =0 x1 +x3 - x5 =50 2 x1

22、 +x4 - x5 =150 x2 +x5 =250,此时x2 ，x3 ，x4为基变量,初等行变换,41,第一节 单纯形法原理,2. 第一次迭代（续）,将基变量用非基变量线性表示，即x2=250- x5 x3=50 x1 + x5x4=150 -2x1+ x5令非基变量x1=0，x5=0，找到另一个基可行解 x1=0， x2 =250，x3 =50，x4 =150， x5 =0即X1=(0,250,50,150,0) T目标函数Z=25000,42,第一节 单纯形法原理,确定入基变量,3. 第二次迭代,目标函数，Z= 50 x1 + 0 x2 +0 x3 +0 x4-100 x5 + 2500

23、0 非基变量x1的系数1=50（检验数）为正数，确定x1为入基变量。,-Z+ 50 x1 + 0 x2 +0 x3 +0 x4-100 x5 + 25000 =0 x1 +x3 - x5 =50 2 x1 +x4 - x5 =150 x2 +x5 =250,第一次迭代结果,43,第一节 单纯形法原理,确定出基变量,3. 第二次迭代 （续）,x3 = 50 +x5 -x1 0 x2 = 150- 2x1+ x5 0 x4=250 x5 0,基变量用非基变量线性表示 x1=50 +x5 -x1 x2=150- 2x1 + x5 x4=250 x5,保持原非基变量x5 =0，x1变成基变量时应保证

24、x2 , x3, x5非负，即,对应的x3定为出基变量,44,第一节 单纯形法原理,基变换变主元为1，主列为单位列向量。,3. 第二次迭代（续）,-Z+ 50 x1 + 0 x2 +0 x3 +0 x4-100 x5 + 25000 =0 x1 +x3 - x5 =50 2 x1 +x4 - x5 =150 x2 +x5 =250,-Z+ 0 x1 + 0 x2 -50 x3 +0 x4-50 x5 + 27500 =0 x1 +x3 - x5 =50 -2x3 +x4 + x5 =50 x2 +x5 =250,基变量为x1 x2 ， x4,45,第一节 单纯形法原理,3. 第二次迭代（续）,

25、将基变量用非基变量线性表示，即,x1 =50 x3+x5x2=250- x5x4=50 +2x3-x5,令非基变量x3=0，x5=0，又找到一个基可行解,目标函数-Z+ 0 x1 + 0 x2 -50 x3 +0 x4-50 x5 + 27500 =0,x1=50， x2 =250，x3 =0，x4 =50， x5 =0即 X2=(50,250,0,50,0)T Z=27500,检验数j非正，得最优解X*=(4,6,4,0,0)T，Z*=42,46,第一节 单纯形法原理,二、单纯形法的几何意义,X0=(0,0,300,400,250)T,X1=(0,250，50，150,0)T,X1=(50,

26、250,0,50,0)T,x1,x2,100,200,300,100,200,300,400,400,A,B,C,D,O,47,第二节 表格单纯形法,表格单纯形法，是对上节讨论的方法步骤进行具体化、规范化、表格化的结果。,一、单纯形法表,48,第二节 表格单纯形法,将线性规划问题化成标准型。找出或构造一个m阶单位矩阵作为初始可行基，建立初始单纯形表。计算各非基变量xj的检验数j=Cj-CBPj ，若所有j0，则问题已得到最优解，停止计算，否则转入下步。在大于0的检验数中，若某个k所对应的系数列向量Pk0，则此问题是无界解，停止计算，否则转入下步。根据maxjj0=k原则，确定xk为换入变量(进

27、基变量)，再按规则计算：=minbi/aik| aik0=bl/ aik 确定xBl为换出变量。建立新的单纯形表，此时基变量中xk取代了xBl的位置。以aik为主元素进行迭代，把xk所对应的列向量变为单位列向量，即aik变为1，同列中其它元素为0，转第 步。,二、单纯形法的计算步骤,49,第二节 表格单纯形法,maxZ=3x1 +5 x2 +0 x3 +0 x4+0 x5 =0 x1 + x3 =8 2x2 + x4 =12 3x1 +4 x2 + x5=36,三、单纯形法计算举例,50,第二节 表格单纯形法,51,第二节 表格单纯形法,最优解 :X*=(4,6,4,0,0)T，Z*=42,5

28、2,第二节 表格单纯形法,最优基,最优基的逆,最优基和最优基的逆,53,第二节 表格单纯形法,标准化 maxZ= 3x1 +2 x2 -2x1 + x2 + x3 =2 x1 -3 x2 + x4 =3 x1 , x2 , x3, x4 0,此时，检验数2=11 0，还没有得到最优解。确定x2进基，但x2所在列的系数向量元素非正，无界值不存在，有进基变量但无离基变量。,54,第三节 人工变量问题,用单纯形法解题时，需要有一个单位阵作为初始基。当约束条件都是“”时，加入松弛变量就形成了初始基。但实际存在“”或“”型的约束，没有现成的单位矩阵。,一、人工变量,采用人造基的办法：人工构造单位矩阵在没

29、有单位列向量的等式约束中加入人工变量，构成原线性规划问题的伴随问题，从而得到一个初始基。人工变量是在等式中人为加进的，只有它等于0时，约束条件才是它本来的意义。,处理方法有两种：大M 法两阶段法,55,第三节 人工变量问题,没有单位矩阵，不符合构造初始基的条件，需加入人工变量 。人工变量最终必须等于0才能保持原问题性质不变。为保证人工变量为0，在目标函数中令其系数为-M。M为无限大的正数，这是一个惩罚项，倘若人工变量不为零，则目标函数就永远达不到最优，所以必须将人工变量逐步从基变量中替换出去。如若到最终表中人工变量仍没有置换出去，那么这个问题就没有可行解，当然亦无最优解。,大M法,56,第三节

30、 人工变量问题,按大M法构造人造基，引入人工变量x4 , x5 的辅助问题如下： maxZ= 3x1 - x2 -2 x3 -M x4 -M x5 3x1 + 2 x2 -3 x3 + x4 =6 x1 - 2 x2 + x3 + x5 =4 x1 , x2 , x3 , x4 , x5 0,57,第三节 人工变量问题,58,第四节 单纯形法补遗,进基变量相持：单纯形法运算过程中，同时出现多个相同的j最大。在符合要求的j(目标为max：j0，min：j0)中，选取下标最小的非基变量为换入变量；离基变量相持：单纯形法运算过程中，同时出现多个相同的最小值。继续迭代，便有基变量为0，称这种情况为退化

31、解。选取其中下标最大的基变量做为换出变量。多重最优解：最优单纯形表中，存在非基变量的检验数j=0。让这个非基变量进基，继续迭代，得另一个最优解。无界解：大于0的检验数中，若某个k所对应的系数列向量Pk0，则解无界。无可行解：最终表中存在人工变量是基变量。,59,第三章 对偶理论,若例1中该厂的产品平销，现有另一企业想租赁其设备。厂方为了在谈判时心中有数，需掌握设备台时费用的最低价码，以便衡量对方出价，对出租与否做出抉择。在这个问题上厂长面临着两种选择：自行生产或出租设备。首先要弄清两个问题：合理安排生产能取得多大利润? 为保持利润水平不降低，资源转让的最低价格是多少？问题 的最优解：x1=4，

32、x2=6，Z*=42。,一、对偶问题 ,60,第三章 对偶理论,第二个问题：出让定价,假设出让A、B、C设备所得利润分别为y1、y2、y3原本用于生产甲产品的设备台时，如若出让，不应低于自行生产带来的利润，否则宁愿自己生产。于是有 y1+0y2+3y3 3同理，对乙产品而言，则有 0y1+2y2+4y3 5设备台时出让的收益（希望出让的收益最少值） min=8y1+12y2+36y3显然还有 y1，y2，y30,61,第三章 对偶理论,对偶问题的最优解： y1=0，y2=1/2，y3=1，W* =42两个问题的目标函数值相等，这不是偶然的，上述两个问题实际上是一个问题的两个方面，如果把前者称为

33、线性规划原问题，则后者便是它的对偶问题，反之亦然。 对偶问题的最优解对应于原问题最优单纯型法表中，初始基变量的检验数的负值。,例1的对偶问题的数学模型,62,第三章 对偶理论,这说明yi是右端项bi每增加一个单位对目标函数Z的贡献。对偶变量 yi在经济上表示原问题第i种资源的边际价值。对偶变量的值 yi*所表示的第i种资源的边际价值，称为影子价值。若原问题的价值系数Cj表示单位产值，则yi 称为影子价格。若原问题的价值系数Cj表示单位利润，则yi 称为影子利润。,二、对偶问题的经济解释 ,63,第三章 对偶理论,影子价格不是资源的实际价格，而是资源配置结构的反映，是在其它数据相对稳定的条件下某

34、种资源增加一个单位导致的目标函数值的增量变化。对资源i总存量的评估：购进 or 出让对资源i当前分配量的评估：增加 or 减少它表明了当前的资源配置状况，告诉经营者应当优先增加何种资源，才能获利更多。告诉经营者以怎样的代价去取得紧缺资源。提示设备出租或原材料转让的基价。告诉经营者补给紧缺资源的数量，不要盲目大量补给。借助影子价格进行内部核算。,特别注意 ,64,第四章 灵敏度分析,线性规划研究的是一定条件下的最优化问题，采用优化方案可以达到节约资源、提高效益的目的，但是对“优化方案”必须要有全面的认识，不可机械地对待。优化方案是建立在特定的资源环境和技术条件之上的，而环境和条件总是处在不断地变

35、化之中，如产品价格、原材料成本、加工技术水平、资源消耗系数等时有波动，所以优化方案是个相对稳定的概念。当基础数据发生变化时，最优方案也就变了。基础数据往往是测算估计的数值，虽然在运算过程中要求十分严格，但基础数据的误差是不可避免的。为了对优化结果有更全面的了解和恰当的运用，就需要进行灵敏度分析。,灵敏度分析的意义 ,65,第四章 灵敏度分析,灵敏度分析又称敏感性分析或优化后分析，它研究基础数据发生波动后对最优解的影响，以及在多大的范围内波动才不影响最优基。灵敏度分析就是研究最优解对数据变化的敏感程度。感性太强，则说明最优解的稳定性程度较低。灵敏度分析解决的问题：参数在什么范围变化而最优基不变。已知参数的变化范围，考察最优解(最优基)是否改变。,灵敏度分析的概念,66,第四章 灵敏度分析,价值系数Cj变化影响检验数,参数Cj的变化范围,67,第四章 灵敏度分析,非基变量Cj的变化范围非基变量Cj变化，只影响它自己的检验数,68,第四章 灵敏度分析,基变量CBl的变化范围,69,第四章 灵敏度分析,例如,参数bi的变化范围,70,第四章 灵敏度分析,