第八章全通系统与最小相位系统ppt课件.ppt

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1、数字信号处理 第2章 2004,第八章全通系统与最小相位系统,数字信号处理 第2章 2004,1全通系统,若系统的幅度特性为:,则称该系统为全通系统。,全通系统的频率响应可表示为:,数字信号处理 第2章 2004,一个N阶的全通系统的系统函数表达式为 ：,令 ,由于 故,满足全通系统的定义。,数字信号处理 第2章 2004,容易看出，全通滤波器系统函数H(z)的构成特点是其分子、分母多项式的系统相同，但排列顺序相反。,数字信号处理 第2章 2004,全通系统的零极点具有以下特性:,设 为H(z)的极点,则 一定为零点, 对实有理分式的H(z),zk,pk互为倒易关系。这样全通系统的零极点相对单

2、位圆是镜象共轭成对的，零点全部在单位圆外,如图所示。,数字信号处理 第2章 2004,一个N阶的全通系统的系统函数表达式为可化为一阶和二阶系统乘积的形式,其中，ai为系统函数的极点。若系统函数是实有理分式，则 a1k、a2k为实数。,数字信号处理 第2章 2004,稳定的全通系统函数的幅度具有以下性质：,数字信号处理 第2章 2004,现在讨论全通系统函数的相位特性,性质2 对实稳定全通系统，当频率从0变 化到时，N阶全通系统的相位的改 变为N 。,性质1 全通系统的相位特性 随频率单调 下降，即有,数字信号处理 第2章 2004,现说明性质1,先考虑最简单的由 和 构成的一阶系统函数(r1)

3、,其频率响应为,数字信号处理 第2章 2004,显然其幅度响应为,而相位为,上式对微分，得,由于r1，因而对任何频率恒有 小于零。,对于N阶系统，总的相位是所有的 总和，因而性质1成立。,通常定义系统的群延时为,数字信号处理 第2章 2004,现说明性质2,先考虑N=1时的一阶系统。对实一阶系统，零极点应为实数，此时 ，当频率从0变化到时，其相位改变为,再考虑由一阶系统式的共轭零极点构成的二阶系统,其相位响应为,当频率从0变化到时，其相位改变为,数字信号处理 第2章 2004,*任何全通系统都可化为一阶和二阶函数之积，其相位为这些一阶和二阶系统的相位之和，可表示为,当频率从0变化到时，其相位改

4、变为,或,数字信号处理 第2章 2004,2最小相位系统,零极点都在单位圆内的系统这就是所谓的最小相位系统。 与此相对应，当系统函数的零点都在单位圆外，称为最大相位系统.在单位圆内外都有零点的系统称为混合相位系统。,数字信号处理 第2章 2004,当频率由0变到2时，单位圆内的每个零点对相位变化的贡献为+2，极点为-2。而单位圆外的每个零极点对相位变化的贡献为0。设系统具有M个零点，单位圆内有mi个，单位圆外有mo个，有N个极点，单位圆内有ni个，单位圆外有no个。对稳定系统no=0，N=ni。当频率由零变到2时，稳定系统的相位改变量为,当系统函数的所有零点也在单位圆内时，mo =0，因此当由

5、零变到2时： 最小相位系统的相位改变量为零。,数字信号处理 第2章 2004,式中 H(z)为非最小相位系统 Hmin(z)最小相位系统 HA(z)全通系统的传输函数,最小相位系统具有以下特性：,性质1 任何非最小相位系统都可以由 最小相位系统和全通系统相级 联构成。即,数字信号处理 第2章 2004,设H(z)仅有一个零点zo在单位圆外部，这样可将它写成,式中, H1(z)是一个零极点都在单位圆内部的最小相位部分，上式可改写成,*上式说明可以把单位圆外的零点乘以全通函数后移到单位圆内。,数字信号处理 第2章 2004,性质2 最小相位系统的具有最小群延时 和最小相位滞后特性。,假设已知Hmi

6、n(z) 和H(z)，且Hmin(z) 和H(z)有相同的幅度响应，即 。其相位响应分别为 。 令全通系统的传输函数 ，其相位响应为 因为全通系统函数的群延时总是大于零，故有,先说明最小群延时性质,或,说明最小相位系统具有最小的群延时。,数字信号处理 第2章 2004,假设已知Hmin(z)，其频率响应为其中,再说明最小相位滞后特性,设zi是它在单位圆中的一个零点，Hmin(z)可表示为：,其中F(z)仍然是最小相位系统。,表示信号通过最小相位系统Hmin(z)后产生的相位滞后。,数字信号处理 第2章 2004,其中 表示信号通过系统HB(z)后产生的相位滞后.,由于HB(z)的零点z=(1/

7、zi)*是zi的共轭倒数，在单位圆外，因此HB(z)是非最小相位的稳定系统。它的频率响应HB(ej)为,将因子(1-ziz-1)用因子(-zi*+z-1)代替，得到系统HB(z)，,数字信号处理 第2章 2004,比较Hmin(ej)与HB(ej)可得,其中,如图所示,数字信号处理 第2章 2004,上式表明Hmin(ej)与HB(ej)具有相同的幅度响应特性,它们的相位响应的差别为,*表明，对0，p中的任何w恒有 ，也就是说最小相位系统的相位滞后总是小于所有其它具有相同幅度响应的系统的相位滞后，这也就是最小相位系统名称的来由。,数字信号处理 第2章 2004,推论 全通系统的相位在0，p范围

8、内为非正值。,因任何系统的相位可表示成最小相位系统的相位与全通系统的相位之和，故有,由于相位滞后是相位的负值，因此由式若用HB(ej)代替H (ej)得到,这说明在0，p范围内全通系统的相位为非正值.,数字信号处理 第2章 2004,若最小相位系统的单位脉冲响应为hmin(n)，与之具有相同幅度响应的系统的单位脉冲响应为h(n)，若系统的输入为(n)，系统的输出就是单位脉冲响应，因此最小能量延时的特性可以表示为,性质3 最小相位系统具有能量延时最小的特性,数字信号处理 第2章 2004,由式 知，可以将一般的系统表示成最小相位系统和全通系统相级联的形式，如图所示。,可以证明信号经过全通系统后能量不变，因此对因果系统有,数字信号处理 第2章 2004,设全通系统的单位脉冲响应为ha(n)，则有,取hmin(n)的前N项：x(n)= hmin(n)RN(n)作为全通系统ha(n)的输入，那么ha(n)的输出为,由于信号经过ha(n)后能量不变，因此,数字信号处理 第2章 2004,考虑n=0,N-1时h(n)的前N项，由于因果性，h(n)与所有nN-1后的输入hmin(n)无关，因此有,这样可得,从而证明了式 成立，,若令N=1，可得,