第五节隐函数求导参数方程求导（少学时简约型）ppt课件.ppt

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1、第五节 隐函数求导 由参数方程所确定的函数的导数,本节概要,在实际问题及理论分析中，函数并非总以y = f ( x )的形式出现，而常常表示为隐函数或参数方程。因此必须研究隐函数和由参数方程表出的函数的求导问题。,(1) 隐函数的概念,在过去的讨论中，函数关系 y = f( x )都以自变量 x的表达式给出，即因变量 y 在等式一边，而等式右边是自变量 x 的一个式子，如 y = a x + sin x . 用这种方式表达的函数称为显函数。 然而在许多情形下，函数关系并不一定能由显函数表出。例如，xoy 平面上的曲线常以一个方程形式给出的，如 y 5 + 2y - x - x 7 + 1 =

2、0 ，此时相应的函数关系表示为一个二元方程 F( x ,y )= 0 ，这种由方程给出的函数称为隐函数。,(2) 隐函数的显化及单值隐函数存在性问题,以往关于函数性质的讨论都是依赖于其表达式进行的，即都是根据显函数形式进行的。因此对由方程给出的函数关系 F( x ,y )= 0，总希望将其转化为显函数形式进行讨论，这就是隐函数的显化问题。 例如，将由方程 x 2 + y 2 - 1 = 0 表示的隐函数化为进行讨论。,然而，在许多情形下隐函数不一定能化为显函数。因为所谓隐函数的显化实际是由方程 F( x ,y )= 0 解出 y = f( x )的过程，即求方程公式解的过程。 由方程理论，五次

3、以上的代数方程没有公式解，因此通过隐函数显化来讨论隐函数性质是行不通的。 另一方面，即使隐函数可以显化，由方程确定的隐函数也未必是单值函数。因此，隐函数的讨论需考虑在不解出 y = f( x ) 的情形下确定其性质，同时希望能找出判别出所论隐函数是否为单值函数的条件。,隐函数求导的基本问题：在已知方程 F( x ,y )= 0确定了单值隐函数 y = y( x )的条件下，考虑如何能不通过解出函数 y( x )的表达式而计算其导数。 设方程 F( x ,y )= 0 在某区间 I 内确定了单值隐函数 y = y( x )，考虑其导数计算问题： 将 y( x )代入方程有 F x ,y( x )

4、 = 0 . 由于方程左端 F x ,y( x ) 可看成是以 y( x )为中间变量的复合函数，故可考虑用复合函数求导法建立导数方程，并由此解出 y ( x ).,(3) 隐函数求导原理,方程 F x ,y( x ) = 0 两边对 x 求导，由复合函数求导规则有 由链式规则的形式知，方程 G( x ,y ,y )= 0 的左边关于 y ( x )总是线性的，故由此方程总可解出 y ( x ) ，从而可求得由方程确定的隐函数 y( x )的导数 y ( x ).,由方程 F( x ,y )= 0 能否确定隐函数 y( x )本质上是对给定的 x，方程 F( x ,y )= 0 是否总有解的问

5、题。此问题将在下册讨论，目前只考虑在隐函数存在且可导的条件下如何计算其导数。因此只需认定 y 是 x 的函数并按复合函数求导规则在方程两边对 x 求导。当然也可认定 x 是 y 的函数，并在方程两边对 y 求导。 由隐函数求导法求得的导函数 y ( x )一般既含 x 又含 y ，即隐函数求导的结果通常仍是隐函数。,(4) 隐函数的导数计算,例： 求由方程 x + 2 y - cos y = 0 所确定的隐函数导数。 隐函数是在假定可导隐函数存在条件下进行的,其计算本质是复合函数求导，因此只要认定了自变量及因变量，按复合函数求导法进行计算即可。 所求已认定给定方程确定了隐函数 y( x )，因

6、此只需在方程两边对 x 求导，并按复合函数求导法计算。 ( x + 2 y - cos y )x = 1+2y + sin y y = 0 = G( x ,y ,y )， 解得,对给定方程 x + 2y - cos y = 0 而言，x ,y 的地位是平等的，故也可认定给定方程确定了隐函数 x = x( y )，于是可视 y 为自变量，在方程两边对 y 求导。 对于本例方程，因变量 x 关于自变量 y 实际是显函数，即 x = - 2y + cos y ，因此求导更方便，于是有 对给定方程而言由于此 x = x( y )与 y = y( x )互为反函数，于是由反函数与直接函数的导数关系有,(

7、5) 隐函数求高阶导数问题,若由方程 F( x ,y )= 0 所确定的隐函数 y( x )的导数 y ( x )仍然可导，则可进一步研究相应的高阶导数。 隐函数求高阶导数相对复杂些，因为隐函数的导数 y ( x )既含 x 又含 y ，对其进行导数计算既要考虑含 x 的项对 x 求导，又要考虑含 y 的项对 x 求导。其导数计算结果既含 x 又含 y，而且还含有 y .,例：求由方程 e y + x y - e = 0 所确定的隐函数 y = y( x ) 的二阶导数 y . 给定方程两边对 x 求导有 在上式两边再对 x 求导有,求一阶导数,求二阶导数,解得二阶导数为 将一阶导数 代入便得

8、,幂指函数 u( x )v( x )既非指数函数亦非幂函数，其求导既不能按指数函数也不能按幂函数求导公式计算。 幂指函数求导有两种计算方法，一种是对数求导法，另一种是按定义式求导。这两种方法的本质都是将幂指函数求导转化为复合函数求导和乘积的求导。 在幂指函数 y = u( x )v( x )两边取对数有 ln y = ln u( x )v( x )= v( x )ln u( x ), 式子两边对 x 求导得,对数求导法,(6) 幂指函数求导与对数求导法,由此求得： 幂指函数的定义式为 u( x )v( x )= e v( x )ln u( x )，它可看成是指数函数 y = e w 与乘积式

9、w = v( x )ln u( x )的复合函数。因此由复合函数求导规则有,按定义式求导,例：设 y =( tan x )sin x，求 y . 给定幂指函数两边取对数有 ln y = ln( tan x )sin x = sin x ln( tan x )， 上式两边对 x 求导得解得,例：求由方程 x y = y x 所确定的隐函数 y( x )的导数 y . 幂指型隐函数求导问题，宜采用对数求导法计算。 给定方程两边取对数有 y ln x = x ln y ，式子两边对 x 求导有解得,对于含多个因子连乘积形式的函数，直接按乘积求导法则计算将是繁杂的，但若通过取对数将乘积转化为和计算就会

10、方便得多。例：设 = 2ln( 2x + 1 )+ 3ln( x - 1 )+ 5ln( 3x - 1 ) - 4ln( x 2 + 1 )-7ln( x 3 - 1 ),(7) 连乘积求导与对数求导法,ln y = 2ln( 2x + 1 )+ 3ln( x - 1 )+ 5ln( 3x - 1 ) - 4ln( x 2 + 1 )-7ln( x 3 - 1 ) 式子两边对 x 求导有解得,研究函数关系需要知道函数的表达式，但实际问题中的函数关系表达式并不容易求得。 由于任何变量总是时间的函数，而变量对时间的函数关系相对容易观察和确定，因此可考虑先建立各变量对时间的函数关系，再设法求出不同变

11、量间的函数关系。这就是用参数方程表示函数的思想和方法的最初来源。,(1) 用参数方程表示函数,例如，在研究质点运动轨迹问题中，要直接确定抛射体所对应的质点坐标 M( x ,y )中 x 、y 间的函数关系比较困难，却容易建立坐标 x，y 和时间参数的关系 于是容易求得 x，y 间的函数关系为,又如，椭圆的直角坐标方程为 它对应于多值函数，这对讨论不够方便。 若将其转化为参数方程，讨论就会方便得多。,对用参数方程表示的函数，有时可通过消去参数，使其化为 y = f( x )的形式，有时消参数却不那么容易。因此有必要考虑直接根据参数方程讨论函数性质。 一般地，若曲线的参数方程可表为则对 t , ，

12、由此参数方程可确定平面上的一个点 M( x ,y )，当 t 在 , 内变动时，点 M( x ,y )便描绘出一条曲线 C，这条曲线确定了 x,y 间的一个函数关系y = f( x )，称此函数为由参数方程所确定的函数。,(2) 由参数方程所确定的函数的导数,设有由参数方程所确定的函数关系，即 若 x = ( t )可导，且 ( t ) 0，则 ( t )在 , 上单调，于是可确定单值反函数 t = -1( x )，x a ,b . 那么由参数方程所确定的函数 y = f( x )可看成是由函数 y = ( t )、t = -1( x )复合而成的函数，即 y = f( x )= -1( x

13、)，x a ,b .,参数方程所确定的函数的结构,由复合函数和反函数的可导条件知，为使参数方程能够导出 x 、y 间的函数关系 y = f( x )= -1( x )， 参数方程 需满足如下条件： ( t )、( t )在( , )内均可导； 当 t ( , )时， ( t ) 0 . 在上述条件下，由参数方程可确定可导函数 y = f( x )= -1( x )，x a ,b ，且有,参数方程求导,若 ( t )、( t )在( , )内还是二阶可导的，则 y = f( x )= -1( x )也二阶可导，且有 依此类推，若 ( t )、( t )在( , )内还有更高阶的导数，则还可求得

14、y = f( x )= -1( x )的更高阶的导数。,参数方程求高阶导数,例：设椭圆的参数方程为 求椭圆在 t = /4 相应点处的切线方程。 求曲线的切线方程关键是求出曲线的切点和切点处的斜率。 本例曲线以参数方程给出，相应的切点应是与参数 t = /4 对应的 xOy 平面上的点 M0( x 0 ,y0 )，而切线斜率则对应于由此参数方程所确定的函数在点 M0 处的导数，它需由参数方程求导法计算。,求切点坐标,当 t = /4 时，椭圆上相应的点 M0 的坐标是,求切线斜率,曲线在点 M0 处的切线斜率为代入点斜式方程，即得曲线在点 M0 处的切线方程化简后得,例：设已知抛射体的运动轨迹

15、的参数方程为 求抛射体在时刻 t 的运动速度的大小和方向。 在已知抛射体的水平位移及水平位移函数的条件下，容易求得其水平分速度及铅直分速度，由两个分速度便可求得其在时刻 t 的运动速度的大小和方向。,求速度的大小,所求速度的水平分速度为 铅直分速度为故抛射体的速度大小为,求速度的方向,所求速度的方向就是轨迹的切线方向，设 是切线的倾角，由导数的几何意义有 在抛射体刚射出时，即 t = 0 时 当 v 2 - g t = 0，即 t = v 2/g 时此时抛射体运动方向是水平的，即抛射体达到最高点。,例：设摆线的参数方程为求由此方程确定的函数 y = y( x )的二阶导数。 这是求由参数方程所

16、确定的函数的二阶导数的问题。参数方程求二阶导数就是按参数方程求导法逐阶计算导数。,当 x t = a( t sint ) = a( 1 cost ) 0，即 t 2k 时，由此参数方程所确定的函数可导，其导数为,求一阶导数,当 t 2k 时，x t = a( 1 cost ) 0，此参数方程所确定的函数具有二阶导数，其二阶导数为,求二阶导数,本题亦可通过消去参数 t 将参数方程化为关于 x 和 y 的直接函数再求导。 由 y = a( 1 - cos t )可解得 代入 x = a( t - sin t )得 显然，由此式求 y x 较直接由参数方程求导麻烦得多。,例如，对参数方程 先求得一阶导数 进一步求二阶导数时常有如下解法：,将 y =( y ) 误作( y )t,例如，对参数方程 先求得一阶导数 由于 想当然地认为也有于是进一步求二阶导数时便会有如下解法:,将 误作,Thank You,