第六章微分学基本定理及其应用ppt课件.ppt

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1、,第六章 微分学基本定理及其应用,6.1 中值定理6.2 洛必达法则6.3 泰勒公式6.4 导数在研究函数中的应用,6.1 中值定理,图 1,罗尔 ( Rolle ) 定理,满足:,(1) 在区间 a , b 上连续,(2) 在区间 (a , b) 内可导,(3) f ( a ) = f ( b ),使,证:,故在 a , b 上取得最大值,M 和最小值 m .,若 M = m , 则,因此,若 M m , 则 M 和 m 中至少有一个与端点值不等,不妨设,则至少存在一点,使,注意:,1) 定理条件不全具备, 结论不一定成立.,例如,则由费马定理得,使,2) 定理条件只是充分的.,本定理可推广

2、为,在 ( a , b ) 内可导, 且,在( a , b ) 内至少存在一点,证明提示: 设,证 F(x) 在 a , b 上满足罗尔定理 .,例1 不求导数, 判断函数 f(x)=(x+1)(x-3)(x+3)的导数有几个实根 以及其所在范围 解 f(-3)=f(-1)=f(3)=0 f(x)在-3 -1 -1 3上满足罗尔定理的三个条件 在 (-3 -1)内至少存在一点x1 使 f (x1)=0 x1是 f (x)的一个实根 在(-1 3)内至少存在一点x2 使f (x2)=0 x2也是 f (x)的一个实根 f (x) 是二次多项式 只能有两个实根 分别在区间(-3 -1) 及 (-1

3、 3) 内,例2. 证明方程,有且仅有一个小于1 的,正实根 .,证: 1) 存在性 .,则,在 0 , 1 连续 ,且,由零点定理知存在,使,即方程有小于 1 的正根,2) 唯一性 .,假设另有,为端点的区间满足罗尔定理条件 ,至少存在一点,但,矛盾,故假设不真!,设,在(0, 1)内至少有一个零点.,证明多项式,亦即,f(x)在(0, 1)内至少有一个零点.,证：,则在0, 1上满足 Rolle 定理条件，,令,至少有一点 ，使 .,且在,内可导, 证明至少存,在一点,使,提示:,由结论可知, 只需证,即,验证,在,上满足罗尔定理条件.,设,例4. 设,例5,设函数 f (x) 满足：,拉

4、格朗日定理,(i) f(x) 在闭区间 a, b 上连续;,(ii) f(x) 在开区间 (a, b) 内可导.,那么在开区间 内 至少 存在一点 , 使得,二、拉格朗日定理,可见，罗尔定理是拉格朗日定理的一个特例.,几何意义 如右图，,在满足条件的曲线y = f (x) 上至少存在一点,连线的斜率为,y = f (x) 的两个端点 A, B,该曲线在该点处的切线平行于曲线两端点的连线AB,曲线,分析:,弦AB方程为,拉格朗日定理比罗尔定理少了条件,在 处函数值相等。,证明 1（几何意义角度） 设,可以验证 F (x) 满足罗尔定理的三个条件, 所以,使,即,于是 在 连续，在 上可导，,拉格

5、朗日公式还有下面几种等价表示形式:,注 拉格朗日公式无论对于ab 都成立.,是一个常值函数.,在x1, x2上满足拉格朗日定理的条件, 则有,这就是说, 在区间I上的任何两个值都相等, 所,以为常值函数.,例6,证,由推论1,证明: 设 f(x)xn 则f(x)在b a上连续 在(b a)内可导,由拉格朗日中值定理 存在(b a) 使,f(a)f(b)f ()(ab) 即 anbnn n1(a-b),因为 nbn1(a-b)n n1(a-b)nan1(a-b) ,所以 nbn1(a-b)anbn nan1(a-b).,例9 证明,柯西中值定理 设函数 , 在区间,上满足:,1) f(x) ,

6、g(x) 在闭区间 a, b 上连续;,则在开区间 内必定 (至少) 存在一点 , 使得,三、柯西中值定理,证 引入辅助函数:,几何意义,首先将 f , g 这两个函数视为以 x 为参数的方程,它在 uOv 平面上表示一段曲线. 由拉格朗日定理,恰好等于曲线端点弦 AB 的斜率(见下图):,的几何意义, 存在一点 ( 对应于参数 ) 的导数,这两个,错 !,柯西定理的下述证法对吗 ?,讨论,不一定相同,推 广,推 广,例10 设函数 f 在区间 a, b(a 0) 上连续, 在(a, b),证 设 , 显然 f (x), g(x) 在 a, b 上满足,柯西中值定理的条件,于是存在, 使得,变形后即得所需的等式.,上可导, 则存在, 使得,例11. 设,至少存在一点,使,证: 结论可变形为,设,则,在 0, 1 上满足柯西中值,定理条件,因此在 ( 0 , 1 ) 内至少存在一点 ,使,即,证明,例12,达布定理,导函数可能有第二类间断点.,备用题,求证存在,使,1. 设,可导，且,在,连续，,证：,因此至少存在,显然,在 上满足罗尔定理条件,即,设辅助函数,使得,设,证明对任意,有,证：,2.,不妨设,3. 若,可导, 试证在其两个零点间一定有,的零点.,提示:,设,欲证:,使,只要证,亦即,作辅助函数,验证,在,上满足,罗尔定理条件.,