第五章插值法ppt课件.ppt
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1、第五章 插值法,5.0 插值问题5.1 拉格朗日插值5.2 牛顿插值5.3 等距节点插值5.4 埃尔米特插值5.5 三次样条插值,1 函数表达式过于复杂不便于计算, 而又需要计算许多点处的函数值2 仅有几个采样点处的函数值, 而又需要知道非采样点处的函数值 上述问题的一种解决思路:建立复杂函数或者未知函数的一个便于计算的近似表达式.解决方法插值法,5.0 插值问题,一、问题提出,二、插值问题定义,求插值函数(x)的问题称为插值问题。,三、几何意义、,四、多项式插值问题,对于不同的函数族的选择,得到不同的插值问题当为一些三角函数的多项式集合时:三角插值; 当为一些有理分式集合时:有理插值;当为一
2、些多项式集合时:多项式插值(代数插值),五、插值多项式的存在唯一性,分析 对于多项式插值问题,插值条件(1)等价于确定多项式的系数,使得满足如下的线性方程组,定理1(存在唯一性) 在互异的n+1个节点处满足插值条件(1)的不超过n次的插值多项式是存在唯一的。,定理证明:,多项式插值问题满足的线性方程组是关于多项式的系数a0,a1,a2,an的n1阶线性方程组,其系数矩阵的行列式Vn(x0,x1,xn)称为范德蒙(Vandermonde)行列式。利用行列式的性质可以求得,由于假设ij时,xixj,故所有因子xi-xj0,于是Vn(x0,x1,xn)0。由克莱姆(Grammer)法则,方程组的解存
3、在且唯一,从而插值多项式是存在唯一的。,证毕,六、插值余项,引理 已知函数f(x)在a,b上具有m-1阶连续导函数,且在(a,b)上存在m阶导数。 若它在该区间上有m+1个零点,则它的m阶导函数在(a,b)内至少存在一个零点。,分析:,七、插值方法,由于插值多项式的存在唯一性,无论是用何种方法构造出的插值多项式,它们均恒等,进而截断误差也都相同。,本章我们要讨论的插值方法有:Lagrange插值法Newton插值法等距节点插值公式带导数的插值问题,5.1 拉格朗日插值,一、插值基函数,1.定义:若n次多项式lk(x)(k=0,1,n)在n+1个插值节点x0 x1 xn上满足插值条件:,则称这n
4、1个n次多项式l0(x),l1(x),ln(x)为插值节点x0,x1,xn上的n次插值基函数。,Remark:容易验证,n次插值基函数的线性组合在插值节点x0,x1,xn上满足插值条件,从而可以利用插值基函数来构造插值多项式。,2.插值基函数的构造,由于ik时,lk(xi)=0,故x0,x1,xk-1,xk+1,xn为lk(x)的零点,从而可以设,由lk(xk)1可得,故,若记 ,则有 ,从而,3.插值基函数的性质,性质1:,性质2:插值基函数lk(x)(k=0,1,n)为由插值节点x0,x1,xn唯一确定的n次函数。,性质3:基函数组所含的基函数个数与插值节点个数相同。,二、Lagrange
5、型插值公式,上式是不超过n次的多项式,且满足所有的插值条件,因而就是我们所需构造的插值多项式,称之为Lagrange插值多项式。,当n1时,有,当n2时,有,L1(x)和L2(x)分别称为线性插值多项式和二次插值多项式,其几何意义分别表示通过点(x0,y0),(x1,y1)的一条直线和通过点(x0,y0),(x1,y1), (x2,y2)的一条抛物线。,类似地可以写出当n为其它值时地插值多项式,如n3时,有,例题,#,三、Lagrange插值多项式的余项,设f(x)为定义在a,b上的被插值函数,Ln(x)为f(x)的n次Lagrange插值多项式,其插值余项为:Rn(x)=f(x)-Ln(x)
6、,定理:如果f (n)(x)在区间a,b上连续,f (n1)(x)在(a,b)内存在,Ln(x)为在节点ax0 x1xnb上满足插值条件的n次Lagrange插值多项式,则对任一x(a,b),其插值余项为:,其中(a,b)且依赖于x。上式给出的余项通常称为Lagrange型余项。,定理证明,证毕,Remark,一般情况下,余项表达式中的(a,b)的具体数值无法知道。但是,如果能够求出,则可以得出插值多项式的截断误差限为:,由此可以看出,误差大小除了与Mn+1有关外,还与插值节点有密切关系。当给定m个点处的函数值,但仅选用其中n1(n1m)个作为插值条件而求某个点 处函数值时, n1个节点的选取
7、应尽可能接近 ,以使得所计算的函数值的误差限尽可能小。,四、反插值法,分析,问题求解,#,Lagrange 插值公式的特点:形式对称通常用于理论分析当增加插值节点时,在计算实践中不方便,5.2 牛顿插值,问题:想要构造一个更加方便灵活的插值格式,当增加插值节点时,只需在原有格式的基础上再增加一些即可。解决方法:Newton插值,一、差商的定义及性质,一般地,K阶差商为:,定义:给定函数f(x)在互异节点x0 x1xn处的函数值f(x0), f(x1), f(xn),称,为函数f(x)在节点xi,xj处的一阶差商。,称,为函数f(x)在节点xi,xj,xk处的二阶差商。,即f(x)的k-1阶差商
8、的差商称为k阶差商(均差)。,差商的性质,由于,性质1:,故差商是微商的离散形式。,性质2:k阶差商fx0 ,x1,xk可以表示为函数值f(x0), f(x1), f(xk)的线性组合,即,k=1,2,n,性质3:差商与插值节点的排列次序无关。,1.Lagrange插值多项式间的关系,二、Newton插值多项式,注:A是Lk(x)的首项(xk)系数。,2.Newton型插值公式,k=1,2,n,Remark:递推关系,3. 差商的计算,根据插值多项式的存在唯一性知,如果f(x)充分光滑,则有估计,不足:对函数的光滑性要求高;,需估计导函数的最值;,偏保守。,导数型误差估计,三、Newton插值
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