第五章应变分析ppt课件.ppt

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1、第五章 应变分析,单元体变形有两种形式： 线单元的相对伸缩称为正应变； 两个线单元间夹角的相对变化称为剪应变。,应变是表示变形大小的物理量。物体变形时，质点必有位移；但质点有位移时却未必有变形；物体变形时，同时伴随有刚体运动(平动和转动)，应变分析时应该把刚体运动滤掉。,应变状态可通过过一点的三个正交线单元的变形情况来确定。,5.1 基本概念,和应力分析相似，应变分析需要引入点的应变状态的概念。不同方向应变的大小是不同的。一点的应变状态需要一个应变张量来描述。应变张量和应力张量有着相似的性质。,考察物体变形前后平行于坐标轴的线单元在直角坐标系中的变化。,一、直角坐标系中的应变分量,线元rx的正

2、应变为 线元rx的倾角变化为,5.2 小变形分析 (一般指小于10-3的变形),线元ry的正应变为 线元ry的倾角变化为,推广到三维空间，一个线元可以有一个正应变和两个倾角变化。因此描述一个单元体的变形可以有九个分量。,以x-y坐标面上线单元的变化为例，真正那反映物体剪切变形的是两个线元倾角变化之和。两个倾角往往并不相等。为了和剪力互等相协调，定义一个互等的剪应变为,这一新定义没有改变变形的大小，只是相当于迭加了一个刚体转动。推广到三维空间，可以用一个应变张量确定一点的应变状态：,一、直角坐标系中的应变分量,对于一个变形体而言，质点位移是位置的函数。质点是连续的，位移也是连续的。变形体各质点位

3、移的总和构成物体的位移场。,如何确定一点的位移？ 位移是矢量，它有三个分量，每个分量都是位置的函数。变形体的位移场可以用一组三个方程来表示：,变形是由质点位移造成的。但是质点位移并不一定要造成变形。下面考察位移和表示变形的应变有什么关系。,x方向位移y方向位移z方向位移,二、位移函数,为简单起见，考虑一个二维问题：设变形体上A(x,y)点位移为u (x,y)和v (x,y) ，则某相邻点(x+dx, y+dy)的位移为,A点移动到A，位移为u和v 。那么，与A点分别距离为dx和dy的B点和C点位移是多少？,三、位移与应变之间的关系(几何方程),对于B点，可以看成是： 1)刚体运动至B点，位移为

4、u， 2)在x方向移动至B 点，位移增量(B B)为 3)在y方向移动至B 点，位移增量(B B)为,根据应变的定义：,同样，对于C点，有,C C=CC=,线元AB的正应变： 线元AC的正应变：线元AB和AC的剪应变：,三、 几何方程（续）,推广至三维空间，便得到位移与应变关系的所谓几何方程:,根据求和约定，上述六式可以简记为：,注：六个应变分量是从三个位移分量得出，因此不是相互独立的。它们需要满足一组关系式(称为协调方程) 。,三、 几何方程（续）,变形后线元在坐标轴上的投影为,设该线元的长度为 r ,在坐标轴上的投影为 dx, dy, dz ，则,如某点变形后应变状态为 ，那么过该点方向余

5、弦为l, m, n 线元变形后相应的应变如何求得？,变形后线元长度变为:,四、单元体任意方向上的应变,又知,展开上式、减去 r2 并略去高阶微量，得：,代入整理得：,四、单元体任意方向上的应变,上式中将应变分量换成应力分量，便得到求斜面上正应力的公式。对于斜线元的剪应变，也有类似的关系。这表明应变张量和应力张量在形式上是一致的。,同理，应变张量和应力张量一样具有张量的一切特征：不变量(第一不变量当体积不变时等于零)、应变张量的分解、主应变、主剪应变、应变莫尔圆等。等效应变与等效应力形式上类似，仅系数不同：,五、应变张量的一些相关概念,1、应变张量的分解,上式可简记为：,应变偏张量也有三个不变量

6、I1, I2, I3 。其中I1=0,前一个张量对应着材料的形状变化，称为应变偏张量；后一个张量对应着体积变化，称为应变球张量。,2、主应变、应变主轴和主剪应变,A)主应变、应变主轴,主剪应变,3、八面体应变和等效应变,A) 八面体应变,B) 等效应变,特别地对于塑性应变而言，常会用到应变增量和应变速率的概念。原因有二：1)几何方程是从小变形推出的，而塑性变形的全过程往往是大变形；2)应力全量和应变全量之间一般不存在单值关系，应变增量只取决于当时的应力全量。,用应变增量表示的几何方程为：,两边除以 dt 便得到用应变速率表示的几何方程：,七、应变增量和应变速率张量,练习一：冲头自上而下以速度压

7、向一圆柱体使其均匀变形，求 其垂直方向的应变速率。,X,练习二：冲头自上而下压下，使圆柱体其均匀变形，求 其位移场。,练习三：物体一平面的法向为主应变方 向。在该平面上贴应变片测得方向正应变。 试根据莫尔圆上的几何关系求 各主应变。,5.3 变形协调方程与塑性变形时的体积不变条件,一、变形协调方程,在几何方程中，六个应变分量取决于三个位移分量对x、y、z的偏导数，所以六个应变分量不能是相互无关的函数，它们之间应有一定的关系，才能保证物体中的所有单元体在变形之后仍然可以连续地组合起来，这样的关系就叫变形连续方程或协调方程。,一、变形协调方程,描述坐标平面内应变分量之间的关系,描述不同平面中应变分量之间的关系,和塑性变形相比，弹性变形往往小到可以忽略不计的程度。于是就得到体积不变条件，使问题简化。,设单元体初始长度为dx, dy, dz，则初始体积为(dxdydz) 。小变形时，可以认为只有正应变才会引起体积变化，变形后体积为,体积不变条件意味着单元体的体积变化率为零：,二、塑性变形时的体积不变条件,