第五章定积分的概念ppt课件.ppt

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1、欢迎同学们归来,上期考试情况总结,本期课程安排,作业问题,答疑时间,主要内容,问题1:曲边梯形的面积,问题2:变速直线运动的路程,定积分,存在定理,广义积分,定积分的性质,牛顿-莱布尼茨公式,定积分的计算法,定积分的概念,前一章我们从导数的逆运算引出了不定积分，系统地介绍了积分法，这是积分学的第一类基本问题。本章先从实例出发，引出积分学的第二类基本问题定积分，它是微分（求局部量）的逆运算（微分的无限求和求总量），然后着重介绍定积分的计算方法，它在科学技术领域中有着极其广泛的应用。,重点,定积分的概念和性质，微积分基本公 式，定积分的换元法和分部积分法,难点,定义及换元法和分部法的运用,基本要求

2、,正确理解定积分的概念及其实际背景,记住定积分的性质并能正确地运用,掌握变上限定积分概念，微积分基本定理，,并会用N-L公式计算定积分，,能正确熟练地运用换元法和分部积分法,正确理解两类广义积分概念，,并会用定义 计算一些较简单的广义积分。,计 算定积分,实例1 （求曲边梯形的面积）,求面积问题由来已久，对于由直线所围成的平面图形的面积我们已经会求，下图所示的图形如何求面积,将其置于直角坐标系下考察,o,x,y,a,b,A,B,m,n,问题归结为AmBbaA与AnBbaA的面积之差,一、问题的提出,用矩形面积近似取代曲边梯形面积,（四个小矩形）,（九个小矩形）,显然，小矩形越多，矩形总面积越接

3、近曲边梯形面积,观察下列演示过程，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系,观察下列演示过程，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系,播放,曲边梯形如图所示,曲边梯形面积的近似值为,曲边梯形面积为,实例2 （求变速直线运动的路程）,思路：把整段时间分割成若干小段，每小段上速度看作不变，求出各小段的路程再相加，便得到路程的近似值，最后通过对时间的无限细分过程求得路程的精确值,（2）求和,（3）取极限,路程的精确值,（1）分割,问题,以上两个例子，一个是几何问题，求的是以曲线 y = f(x)为曲边，以 a,b 为底边的曲边梯形的面积。一个是物理问题，求的是速度函数为v(t)的变

4、速直线运动的物体在时间区间 a,b 所走过的路程,归纳,它们求的都是展布在某个区间上的总量（总面积或总路程）,解决方法：,通过局部取近似（求微分），求和取极限（微分的无限求和）的方法，把总量归结为 求一种特定和式的极限,类似的例子还可以举出很多（几何、物理的，在下一章定积分应用中即可见到）,这些问题虽然研究的对象不同，但解决问题的思路及形式都有共同之处。为了一般地解决这类问题，就有必要撇开它们的具体含义，而加以概括、抽象得出定积分的概念,定义,二、定积分的定义,记为,积分下限,积分上限,积分和,注意：,定理1,定理2,三、存在定理,曲边梯形的面积,曲边梯形的面积的负值,四、定积分的几何意义,几

5、何意义：,解,例1 利用定义计算定积分,例2 利用定义计算定积分,解,在 0,1上连续，故f(x)在0,1上可积,为方便计，将 0,1n 等分，左侧取点,等比数列,证明,利用对数的性质得,极限运算与对数运算换序得,故,观察下列演示过程，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系,3,观察下列演示过程，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系,13,观察下列演示过程，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系,23,观察下列演示过程，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系,33,观察下列演示过程，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系,43,观察下列演示过

6、程，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系,53,观察下列演示过程，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系,63,观察下列演示过程，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系,73,观察下列演示过程，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系,83,观察下列演示过程，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系,93,观察下列演示过程，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系,103,观察下列演示过程，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系,113,观察下列演示过程，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系,123,观察下列演示过程，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系,133,观察下列演示过程，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系,143,定积分的实质：特殊和式的极限 分、粗、和、精,定积分的思想和方法：,求近似以直（不变）代曲（变）,取极限,五、小结,将和式极限：,表示成定积分.,思考题解答,思考题,练 习 题,练习题答案,