第五讲期权定价理论I 二叉树模型ppt课件.pptx

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1、第五讲 期权定价理论I：二叉树模型,高彦彦 东南大学经济与管理学院,本讲内容,一、二叉树模型（binominal Tree）（一）单步二叉树模型和无套利原则（二）风险中性定价（三）两步二叉树模型（四）看跌期权的情形（五）美式期权的情形（六）用u和d来匹配波动性（七）（八）一些主要期权的定价,学习目标,理解单步二叉树模型中无风险资产组合的含义会计算单步二叉树模型中期权的价格会计算两步二叉树模型中期权的价格了解风险中性定价、无套利原则、无风险利率和资产回报率之间的关系会计算二叉树模型美式期权的价格,一、二叉树模型,（一）单步二叉树模型和无套利原则一个例子考虑一支股票，当前价格为20元。现在知道3个

2、月后股价要么是22元，要么是18元。一份欧式看涨期权为在3个月内以21元价格买入该股票。请问：3个月后，两种情况下，该期权的价值几何？期权定价的假设：不存在套利机会,考虑一个资产组合，股票+股票期权，到3个月期满时，如果该资产组合的价值不存在不确定性，那么，它的收益等于无风险利率。由此，我们可以： 1）计算设计资产组合的成本以及期权价格； 2）设计无风险资产组合例1：考虑一个资产组合，持有份股票以及卖空一份看涨期权，其中股票的价格现价为20元，3个月后，股票价格有两种可能，22或者18元。看涨期权约定3个月到期以后以21元价格买入股票。在无风险和无套利原则下，我们可以计算： 1）使资产组合无风

3、险的值； 2）期权的价格。,问题1）的求解：值使资产组合无风险意味着什么？高价出现时资产组合的价值=低价出现时资产组合的价值 高价出现时，资产组合的价值：22-1 低价出现时，资产组合的价值：18 两者相等时，资产组合无风险，即=0.25因此，无风险资产组合为：持有0.25份股票+卖空1份看涨期权此时，两种情况下，资产组合的价值为多少？,问题2）的求解：无风险资产组合到期价值的折现值=资产组合的期初价值在不存在套利的情况下，无风险资产组合的回报是什么？无风险利率！假定连续无风险年利率为12%，前述资产组合的当前价值是多少？4.5e-0.12 3/12 =4.367假设看涨期权的价格为f，那么，

4、资产组合的当前价值为多少？20 0.25-f=5-f根据前述条件可知，f=0.633。思考：如果期权价格大于或者小于0.633，结果会怎样？f0.633, 构建这个资产组合的成本低于4.367，因而可以获取超额收益；f0.633, 卖空资产组合，把剩余现金存入银行，即可获得超额回报。,2. 一般化情形考虑一个资产组合，期初价格为S0的股票多头和一份价格为f的看涨期权空头。期权持续时间为T，到期后，股票价格可以是S0u, 其中u1，此时期权价值为fu；或者是S0d，其中d1，此时期权价值为fd。根据前面的分析，使上述资产组合无风险的条件为：S0u-fu=S0d-fd由此得到资产组合中股票多头的规

5、模：=(fufd)/(S0u-S0d),该股票期权的价格由如下条件获得：(S0u-fu) erT =S0-f把f解出，并把值代入，可得：f=e-rTpfu +(1-p)fd其中，p=(erT-d)/(u-d)。期权价格与和S0无关。如果股票价格如单步二叉树模型描述的那样，期权价格可以按照上式来计算，唯一假设是无套利机会。例2：给定如下参数，u=1.1, d=0.9, r=0.12, T=0.25, fu =1, fd=0。计算f。,（二）风险中性定价（Risk-neutral valuation）,对于f=e-rTpfu +(1-p)fd中的p，我们很自然地将其与股价上涨概率联系在一起。因此，

6、pfu +(1-p)fd相当于期权的期望收益。期权的价格也就是对期权期望收益按照无风险利率进行贴现。我们再看看股票的期望收益：E(ST)=pS0u+(1-p)S0d =pS0(u-d)+S0d把p=(erT-d)/(u-d)代入上式可得：E(ST)=S0erT即股票价格以无风险利率的速度上涨。风险中性的世界里，人人对风险持相同的态度。所有证券资产的期望收益为无风险利率。风险中性定价是讲，在期权定价时，假定世界是风险中性的是完全无害的（impunity）。,风险中性定价与无套利原则下得到的期权估价是一样的。例3：考虑一支股票，当前价格为20元。现在知道3个月后股价要么是22元，要么是18元。一份

7、欧式看涨期权为在3个月内以21元价格买入该股票。无风险收益率12%。设p为股价上涨至22元的概率，在一个风险中性世界里，股票的预期收益率等于无风险利率，即22p+18(1-p)=20e0.12*3/12p=0.6523期权的当期价格为：f=1*0.6523+0*(1-0.6523)*e-0.12*3/12 =0.633.该结果与无套利条件下的结果一样，即风险中性定价与无套利原则给出相同的期权定价。,在刚才的例子里，价格上涨概率为0.6523，此时，期权和股价的回报率都一样，为无风险利率。但是现实世界是怎样的呢？如果现实世界，股票的回报率不等于12%，比如16%，此时，可以计算p*=0.7041

8、，即期权的期望收益。此时，我们不知道贴现率为多少。因此，持有看涨期权的风险比持有股票大，其预期收益应该大于16%。但是，大多少？风险中性定价的方便之处在于，我们可以知道，在风险中性的世界里，所有资产的期望回报等于无风险利率。,（三）两步二叉树模型,例4：考虑如下页图11.3所示两步二叉树模型，股票价格初始价格为20元，股票价格在每步要么上涨10%，要么下跌10%；每步为3个月期长，无风险年收益率为12%。看涨期权执行价格为21元。请计算看涨期权在期初的价格。由图可知，第2步结束时，如果价格为D节点，期权价值为24.2-21=3.2；否则，期权价值为0。由此可知：u=1.1, d=0.9, r=

9、12%, T=0.25。可以计算：p=0.6532。由此可以进一步计算出B节点期权的价值，为：e-0.12 3/12 (0.6523 3.2+0.3477 0)=2.0257进一步可以得到欧式看涨期权在节点A的价值：e-0.12 3/12 (0.6523 2.0257+0.3477 0)=1.2823,两步二叉树模型的一般化情况：,记每步时长为t，那么单步二叉树模型下的期权价格为：f=e-rtpfu +(1-p)fd其中，p=(ert-d)/(u-d)。由此可以计算出期初和第一步到期时各个节点的期权价值：fu=e-rtpfuu+(1-p)fudfd=e-rtpfud+(1-p)fddf=e-r

10、tpfu+(1-p)fd把fu和fd代入f可得：f=e-2rt p2 fuu+2p(1-p)fud+(1-p)2 fdd因此，期权的价格为期权预期收益以无风险利率进行贴现的现值。想象一下，三步二叉树模型下期权的定价问题。,（四）看跌期权的情形,例5：考虑如下图11.7两年期的欧式看跌股票期权，执行价格为52元，股票的当期价格为50元，假设时期分为两步，每步期长为1年，且每步股票价格要么上涨20%，要么下跌20%，无风险利率为5%。计算该欧式看涨期权的价格。p=(e0.051-0.8)/(1.2-0.8)=0.6282f=e-20.051(0.628220+20.62820.37184 +0.3

11、718220) =4.1923,（五）美式期权情形,关键是：比较每个节点，看看提前执行期权合约是否更好。早期节点期权的价值为以下两者中较大的一个： 1. 欧式期权下的价值 2. 提前执行的收益例6：以前一张幻灯片中（图11.7）的两步二叉树模型为例，计算美式看跌期权的价格。讨论：在B节和C节点，提前执行和不提前执行时的期权价值。,因此，在期初节点A，美式看跌期权不提前执行的价值为：f=e-0.051(0.62821.4147+0.371812) =5.0894提前执行的收益为2，因此，不应执行。故节点A美式看跌期权的价格为5.0894。在相同条件下，美式看跌期权的价格要高于欧式看跌期权。思考：

12、利用第一节例子，计算美式看涨期权的价格。,（六）用u和d来匹配波动性,u和d与波动率的关系假定股票价格的波动率为 ，sqrt(t)为股价在时间区间t的标准差。我们有：Var(ST)=p* u2+(1-p* )d2+ p* u+(1-p* )d2 = 2t其中，p*为真实世界股价上涨的概率。把p*=(et-d)/(u-d)代入，并求解u和d，可得：u=e sqrt(t)d=e -sqrt(t)那么，在一个风险中性世界里，类似地可以得到：pu2+(1-p)d2+ pu+(1-p)d2 =ert(u+d)-ud-e2rt 把上面的u和d代入可知，ert(u+d)-ud-e2rt= 2t因此，尽管现实

13、世界和风险中性世界的期望收益不同，但是其波动率不变。,2. 知道股价波动性时的期权定价例7：考虑一个两步二叉树美式看跌期权，如图11.8所示。股价为50元，执行价格为52元，无风险收益率为5%，期权的期限为2年，分为两步，每步时长为1年。波动率为30%。请为该期权定价。提示：先求出u，d，a；再计算p；然后定价f（7.43）。*下堂课现场作业。,（七）,回忆：是什么？=(fufd)/(S0u-S0d)什么意思？为期权价格变化与标的股票价格的变化之比；为我们针对每个期权空头而持有的股票数量，目的是构建一个无风险资产组合。对冲（delta hedging）通常是指构建一个无风险对冲。看涨期权的为正

14、，看跌期权的为负。计算图11.1和11.7中的。,运用期权和潜在标的资产来维持一个无风险对冲，需要周期性地调整持有的股票数量。（八）其它资产的二叉树模型期权定价连续分红股票考虑一个股票，连续分红收益率为q，风险中性世界的无风险收益率为r，那么我们有：E(ST)=pS0u+(1-p)S0d=S0e(r-q)t因此，p=(e(r-q)t-d)/(u-d),2. 股票指数期权定价例8：考虑一个6个月的欧式看涨股指期权。该股票指数当前水平为810，看涨期权执行价格是800，无风险利率为5%，波动率为20%，分红收益率为2%。请利用两步二叉树模型估计该看涨股指期权的价格（53.39）。3. 外汇期权定价

15、外汇可以看成是按照国外无风险利率提供收益的资产，因此，以外汇为标的资产的期权类似于具有分红收益的股票期权的情形。a=e(r-rf)t例9：澳元的当前汇率为0.61美元/澳元，该汇率的波动率为12%。澳大利亚和美国的无风险收益率分别为7%和5%。请利用三步二叉树模型计算3个月期执行价格为0.6的美式看涨期权的价格（0.019）。,4. 期货期权的定价在风险中性世界里，期货的价格增长率为0。假设期货的期初价格为F0，时间长度为t的期货的期望价格也为F0，因此，E(FT)=pF0u+(1-p)F0d=F0p=(1-d)/(u-d)例10：一个期货的当前价格为31，波动率为30%，无风险利率为5%。请采用三步二叉树模型计算一个执行价格为30的9个月的美式看跌期权的价格（2.84）。作业：例7-10。本讲主要参考文献：Hull, John, Options, Futures and Other Derivatives, 7th eds., 清华大学出版社2011年7月第一版（英文影印版）：第11章。,