第一类曲线积分ppt课件.ppt

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1、第十章,曲线积分与曲面积分,积分学 定积分二重积分三重积分,积分域 区间域 平面域 空间域,曲线积分,曲线域,曲面域,曲面积分,曲线积分,曲面积分,对弧长的曲线积分,对坐标的曲线积分,对面积的曲面积分,对坐标的曲面积分,机动 目录 上页 下页 返回 结束,向量场中的积分,表示一物体在力场中沿曲线所做的功,液体流过一个表面的流量,第十章,第一节,机动 目录 上页 下页 返回 结束,第一类曲线积分,二、第一类曲线积分的 概念与性质,一、问题的提出,三、第一类曲线积分的 计算,一、问题的提出,假设曲线形细长构件在空间所占,其线密度为,“分割, 近似, 求和, 取极限”,可得,为计算此构件的质量,例1

2、: 曲线形构件的质量,采用,机动 目录 上页 下页 返回 结束,解：设,则,则曲面的面积为：,机动 目录 上页 下页 返回 结束,定义：设 L是空间中一条有限长的光滑曲线,函数,在 L上有定义,都存在,L上对弧长的曲线积分,记作,若通过对 L 的任意分割,局部的任意取点,二.定义及性质,下列“乘积和式极限”,则称此极限为函数,在曲线,或第一类曲线积分.,称为被积函数，,L 称为积分弧段 .,和对,机动 目录 上页 下页 返回 结束,ds 称为弧长元素（弧微分） .,如果 L 是 xoy 面上的曲线弧 ,如果 L 是闭曲线 , 则积分号记为,则定义对弧长的,曲线积分为,机动 目录 上页 下页 返

3、回 结束,由定义知：,物理意义,几何意义,机动 目录 上页 下页 返回 结束,基本性质：,2.（线性性质）：,假设下面所涉及到的函数在积分曲线上都是可积的，,P表示平面或空间上的某个点。,3.（积分区域的可加性）：,机动 目录 上页 下页 返回 结束,机动 目录 上页 下页 返回 结束,关于曲线的轮换对称性：,平面曲线具有轮换对称性是指：曲线关于直线x = y 对称。,如果平面曲线 L 有轮换对称性，则它的方程F (x ,y )=0，有如下特征：将 F (x ,y) 中的变量 x ,y 的位置任意互换，不会改变 F 的表达式。,机动 目录 上页 下页 返回 结束,如果平面曲线 L 有轮换对称性

4、，那么交换被积函数 f ( x, y) 中变量 x, y 的位置，积分值不会改变，即,F (x ,y ,z)=0，G (x ,y ,z)=0 有如下特征：将 F (x ,y ,z) ， G(x ,y ,z) 中的变量 x ,y ,z 的位置任意互换，不会改变 F，G 的表达式。,空间曲线具有轮换对称性是指：曲线关于直线x = y = z 对称。,如果空间曲线 L 有轮换对称性，则它的方程,机动 目录 上页 下页 返回 结束,如果空间曲线L关于直线 x = y = z 对称，那么被积函数 f ( x, y, z) 中的变量 x, y, z 无论怎样互换，积分值不会改变。即,机动 目录 上页 下页

5、 返回 结束,曲线对称性的补充性质：,1、如果两条平面曲线 L1、 L2 关于直线 x = y 对称，则,2、如果两条空间曲线 L1、 L2 关于平面 x = y 对称，则,同理，如果L1、 L2 关于平面 y= z 及 z= x 对称，也有类似的性质。,机动 目录 上页 下页 返回 结束,3、如果空间曲线 L 关于平面 x = y 对称，那么交换被积函数 f ( x, y, z) 中的变量 x, y 的位置， z的位置不动，积分值不会改变。即,同理，如果空间曲线 L 关于平面 y= z 及 z= x 对称，有类似的性质。,三、对弧长曲线积分的计算,定理1（平面曲线的情况）,机动 目录 上页

6、下页 返回 结束,证明：,机动 目录 上页 下页 返回 结束,机动 目录 上页 下页 返回 结束,说明:,因此积分限必须满足,(2) 注意到,因此上述计算公式相当于“换元法”.,机动 目录 上页 下页 返回 结束,其它情形：,机动 目录 上页 下页 返回 结束,定理2 (空间曲线的情况)：,机动 目录 上页 下页 返回 结束,机动 目录 上页 下页 返回 结束,解,机动 目录 上页 下页 返回 结束,解1 ：参数方程,机动 目录 上页 下页 返回 结束,机动 目录 上页 下页 返回 结束,解2 ：参数方程,机动 目录 上页 下页 返回 结束,解3：极坐标,例3. 计算,其中为球面,解:,化为参

7、数方程,则,机动 目录 上页 下页 返回 结束,解1:,其中L为球面,被平面 所截的圆周.,例4. 计算,机动 目录 上页 下页 返回 结束,椭圆,机动 目录 上页 下页 返回 结束,机动 目录 上页 下页 返回 结束,机动 目录 上页 下页 返回 结束,机动 目录 上页 下页 返回 结束,解2:,其中L为球面,被平面 所截的圆周.,例4. 计算,机动 目录 上页 下页 返回 结束,机动 目录 上页 下页 返回 结束,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例4. 计算,其中为球面,被平面 所截的圆周.,解3: 由轮换对称性可知,机动 目录 上页 下页 返回 结束,思考: 例4中 改为,如何计算,

8、解1: 令, 则,机动 目录 上页 下页 返回 结束,由对称性可知,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例5. 已知椭圆,周长为a ,解:,利用对称性,机动 目录 上页 下页 返回 结束,说明：此题用公式是积不出来的！,四、几何应用,机动 目录 上页 下页 返回 结束,1、曲线的弧长,2、柱面的侧面积,例6.,解1:,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例6.,解2: 用上一章重积分的应用做,机动 目录 上页 下页 返回 结束,联立,a,Dxz,a,机动 目录 上页 下页 返回 结束,a,a,Dxz,则所求面积为,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例7（上章习题课例11）,解：,机动 目录

9、上页 下页 返回 结束,解：,用微元法：,如图面积元素为,绕 x 轴旋转一周所得旋转曲面的侧面积为,机动 目录 上页 下页 返回 结束,3、旋转曲面的侧面积,解：,旋转曲面的面积为,机动 目录 上页 下页 返回 结束,五、物理应用,机动 目录 上页 下页 返回 结束,称为形心,机动 目录 上页 下页 返回 结束,特别地,机动 目录 上页 下页 返回 结束,思考: 例4中 改为,如何计算,解2: 令, 则,圆的形心在原点, 故,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例9. 计算半径为 R ，中心角为,的圆弧 L 对于,它的对称轴的转动惯量 I (设线密度 = 1)。,解: 建立坐标系如图,则,机动

10、 目录 上页 下页 返回 结束,例10. L为球面,坐标面的交线 , 求其形心 .,在第一卦限与三个,解: 如图所示 , 交线长度为,由对称性，形心坐标为,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例11. 有一半圆弧,其线密度,解:,故所求引力为,求它对原点处单位质量质点的引力.,机动 目录 上页 下页 返回 结束,内容小结,1. 定义及基本性质：,机动 目录 上页 下页 返回 结束, 对光滑曲线弧,2. 计算：, 对光滑曲线弧,3. 应用：几何、物理,机动 目录 上页 下页 返回 结束,不同处:,对弧长的曲线积分要求 ds 0 ，,但定积分中,dx 可能为负。,定积分和弧长积分的关系:,相似处:

11、,从几何上讲，,都表示空间曲线下柱面的侧面积。,作业,习题9-1(P241) 1 (2)(3)(6)；2(1)(3)(4) 4；5；7；10,备用题,1. 设 C 是由极坐标系下曲线,及,所围区域的边界, 求,解: 分段积分,机动 目录 上页 下页 返回 结束,2. 计算,其中 L 为双纽线,解: 在极坐标系下,它在第一象限部分为,利用对称性 , 得,机动 目录 上页 下页 返回 结束,3、,解：,机动 目录 上页 下页 返回 结束,机动 目录 上页 下页 返回 结束,解：,所求侧面积为：,线,5. 计算曲线积分,其中为螺旋,的一段弧.,解:,机动 目录 上页 下页 返回 结束,6、 设均匀螺旋形弹簧 L 的方程为,(1) 求它关于 z 轴的转动惯量,(2) 求它的质心 .,解: 设其密度为 (常数).,(1),机动 目录 上页 下页 返回 结束,故质心坐标为,第二节 目录 上页 下页 返回 结束,(2) L 的质量,而,机动 目录 上页 下页 返回 结束,解,由对称性知：,8、,解: 令,则,机动 目录 上页 下页 返回 结束,