第2章偏微分方程的数学性质对CFD的影响ppt课件.ppt

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1、第2章 偏微分方程的数学性质对CFD的影响,3 偏微分方程的数学性质对CFD的影响,3.1 引言,3.2 拟线性偏微分方程的分类,拟线性偏微分方程的分类,拟线性偏微分方程：,方程中最高阶导数单独出现，没有出现最高阶导数的乘积，最高阶导数所乘的系数也都是未知函数本身的函数。,拟线性偏微分方程的分类,考虑如下的拟线性方程组：,u,v是未知函数，是x,y的连续函数,所有系数可以是x,y,u,v的函数,拟线性偏微分方程的分类,u,v是未知函数，是x,y的连续函数,u,v的全微分为,拟线性偏微分方程的分类,于是有,拟线性偏微分方程的分类,写成矩阵形式为,拟线性偏微分方程的分类,系数矩阵：,拟线性偏微分方

2、程的分类,令：,根据克莱默法则(Cramers rule)，有,拟线性偏微分方程的分类,沿ab，,拟线性偏微分方程的分类,换一个方向，沿cd所得u/x的值应与沿ab所得u/x值相同。,拟线性偏微分方程的分类,沿ef, =0,则沿此方向，无法确定u/x,拟线性偏微分方程的分类,同理沿ef, =0,则沿此方向，无法确定u/y, v/x , v/y,拟线性偏微分方程的分类,定义曲线ef为过p点的特征曲线或特征线。,拟线性偏微分方程的分类,沿ef, =0,拟线性偏微分方程的分类,有,拟线性偏微分方程的分类,有,拟线性偏微分方程的分类,令,则,拟线性偏微分方程的分类,则,上式给出了平面上某点的特征线的方

3、向,拟线性偏微分方程的分类,令,如果D0，则平面上每个点都有两条不同的实特征线。上述方程组称为双曲型方程组。,如果D=0，则上述方程组称为抛物型方程组。,如果D0，则上述方程组称为椭圆型方程组。,拟线性偏微分方程的分类,在解析几何里，二次曲线的一般方程为,拟线性偏微分方程的分类,沿特征线：,拟线性偏微分方程的分类,沿特征线：,拟线性偏微分方程的分类,沿特征线：,从上述方程所得到的关于未知函数u,v的方程被称为相容性方程。,拟线性偏微分方程的分类,沿特征线：,相容性方程沿特征线成立，为常微分方程。,拟线性偏微分方程的分类,特征线法：在xy平面上构造特征线，并沿特征线求解相容性方程，从而求解原方程

4、组。,拟线性偏微分方程的分类,特征线法要求在xy平面上任意点至少需要两个特征方向，因此，特征线法只对求解双曲型偏微分方程有效。,拟线性偏微分方程的分类,由于无粘超声速流动的控制方程组是双曲型的，因此，特征线法被广泛用于求解这类问题。,3.3 确定偏微分方程类型的一般方法特征值法,确定偏微分方程类型的一般方法特征值法,为简单起见，设f1=0,f2=0，则方程变为,确定偏微分方程类型的一般方法特征值法,定义列向量：,方程组可写为：,或：,确定偏微分方程类型的一般方法特征值法,方程组可写为：,或：,确定偏微分方程类型的一般方法特征值法,用N的特征值就可以确定方程组的类型：,如果特征值均为实数，则方程

5、组是双曲型的；,如果特征值均为复数，则方程组是椭圆型的；,确定偏微分方程类型的一般方法特征值法,我们用实际的流体力学方程组来说明特征值法。,考虑可压缩无粘气体二维无旋非定常流动。假设流场源于对自由来流的小扰动（比如，以小迎角绕过细长体的流动），并且来流马赫数是亚声速或者超声速（但不是跨声速或者高超声速）的，则连续性方程、动量方程和能量方程这一组控制方程就可以简化成方程组,确定偏微分方程类型的一般方法特征值法,其中， 和 是相对来流速度的扰动速度,来流马赫数 可以是亚声速的，也可以是超声速的。,确定偏微分方程类型的一般方法特征值法,问题：如何对上述方程组进行分类？,确定偏微分方程类型的一般方法特

6、征值法,问题：如何对上述方程组进行分类？,下面先采用上一小节所介绍的克莱默法则(Cramers Rule)来对上述方程组进行分类。,确定偏微分方程类型的一般方法特征值法,类比上述两个方程组，有,确定偏微分方程类型的一般方法特征值法,有,确定偏微分方程类型的一般方法特征值法,有,确定偏微分方程类型的一般方法特征值法,对于超声速（ ）的情形，通过每个点都有两个实特征方向，一个斜率为 ，另一个斜率为,确定偏微分方程类型的一般方法特征值法,因此，当 时，上述方程组是双曲型的。反之，如果 ，则特征方向是虚的，方程组是椭圆形的。,确定偏微分方程类型的一般方法特征值法,问题：如何对上述方程组进行分类？,下面

7、再采用特征值法来对上述方程组进行分类。,确定偏微分方程类型的一般方法特征值法,将上述方程组写成矩阵形式：,令：,或,确定偏微分方程类型的一般方法特征值法,为求出 ，先用 的代数余子式来代替 中的元素，得,其转置矩阵还是,确定偏微分方程类型的一般方法特征值法,的行列式为 ，所以,确定偏微分方程类型的一般方法特征值法,所以,确定偏微分方程类型的一般方法特征值法,下面求矩阵N的特征值,确定偏微分方程类型的一般方法特征值法,令 ，其中 是单位矩阵，则,有 或,确定偏微分方程类型的一般方法特征值法,对比,知：N的特征值就是特征线的斜率。,与,确定偏微分方程类型的一般方法特征值法,因此，当 时，N的特征值

8、均为实数，方程组是双曲型的。如果 ，则N的特征值均为虚数，于是方程组是椭圆形的。,上述方法就是采用特征值法来判别偏微分方程的类型。,确定偏微分方程类型的一般方法特征值法,有些方程组的特征值可能既有实数又有虚数，这种情况下，方程组既不是双曲型的也不是椭圆型的，它们的数学性质表现出双曲型椭圆型的混合特性。,3.4 不同类型偏微分方程的一般性质,不同类型偏微分方程的一般性质,不同类型的方程具有不同的数学特性，它也反映出流场具有不同的物理特性。这也就意味着，求解不同类型的方程，必须采用不同的数值方法。,3.4.1 双曲型方程,双曲型方程,对于双曲型方程，有两条实特征曲线通过P点，分别记为左行特征线和右

9、行特征线。,与双曲型方程的解有关的区域和边界（二维定常流）,双曲型方程,区域：P点的影响区域。P点的信息只能影响两条特征线所夹的区域.,与双曲型方程的解有关的区域和边界（二维定常流）,双曲型方程,区域：P点的依赖区域。P点的信息只受区域影响.,与双曲型方程的解有关的区域和边界（二维定常流）,双曲型方程,ab段：P点所依赖的y轴上的初值。,与双曲型方程的解有关的区域和边界（二维定常流）,双曲型方程,区域：受y轴上c点影响。但c点不能影响到P点。,与双曲型方程的解有关的区域和边界（二维定常流）,双曲型方程,由双曲型方程决定的流场可以“推进”求解。计算从给定的初始条件（如y轴）开始，沿着x轴方向一步

10、步推进，逐步求解流场。,与双曲型方程的解有关的区域和边界（二维定常流）,3.4.1.1 定常无粘超声速流动(双曲型方程),定常无粘超声速流动(双曲型方程),对于欧拉方程，如果当地马赫数是超声速时，不论方程写成守恒形式还是非守恒形式，定常流动的方程都属于双曲型。,特征线法的初值线（二维定常流）,主流方向为x方向，在物体上游的ab线作为初值线，从初值线开始沿着x方向逐步向下游推进，数值求解控制方程。,特征线法的初值线（二维定常流）,定常无粘超声速流动(双曲型方程),对于三维定常超声速无粘流动，特征曲线将变成特征曲面。,与双曲型方程的解有关的区域和边界（三维定常流）,定常无粘超声速流动(双曲型方程)

11、,取流动的方向作为X方向。,与双曲型方程的解有关的区域和边界（三维定常流）,定常无粘超声速流动(双曲型方程),过P点向前的特征面所包含的阴影区域为P点的影响区域。,与双曲型方程的解有关的区域和边界（三维定常流）,定常无粘超声速流动(双曲型方程),过P点向后的特征面在yz平面截取的区域（用交叉线表示）内的初值才能对P点有影响。,与双曲型方程的解有关的区域和边界（三维定常流）,定常无粘超声速流动(双曲型方程),可以从YZ平面内给定的初值开始，沿着X方向推进求解。,与双曲型方程的解有关的区域和边界（三维定常流）,定常无粘超声速流动(双曲型方程),3.4.1.2 非定常无粘流动(双曲型方程),非定常无

12、粘流动(双曲型方程),对于非定常流动，时间导数不等于零，不论流动是亚声速的还是超声速的，控制方程都是双曲型方程。,与双曲型方程的解有关的区域和边界（一维非定常流）,非定常流动对时间是双曲型的，无论空间是一维、二维还是三维的，推进的方向总是时间方向。,与双曲型方程的解有关的区域和边界（一维非定常流）,非定常无粘流动(双曲型方程),如右图所示的一维非定常流动，受P点影响的区域是通过P点向前的两条特征线之间的阴影区域。,与双曲型方程的解有关的区域和边界（一维非定常流）,非定常无粘流动(双曲型方程),如右图所示的一维非定常流动，X轴(t=0)是初值线，P点的解仅依赖于初值线X轴上的区间ab.,与双曲型

13、方程的解有关的区域和边界（一维非定常流）,非定常无粘流动(双曲型方程),如右图所示的二维非定常流动，受P点影响的区域是通过P点向前的特征面所围的阴影区域。,y,与双曲型方程的解有关的区域和边界（二维非定常流）,非定常无粘流动(双曲型方程),如右图所示的二维非定常流动，P点的解仅依赖于向后的特征面在xy面上所截的阴影区域上的初始值.,y,与双曲型方程的解有关的区域和边界（二维非定常流）,非定常无粘流动(双曲型方程),从xy平面内已知的初始值开始，流场可以沿着时间向前推进求解.,y,与双曲型方程的解有关的区域和边界（二维非定常流）,非定常无粘流动(双曲型方程),在CFD中，非定常时间推进法最大的用

14、途是通过长时间的推进最终得到定常流动的解，前提是边界条件不随时间变化。,y,与双曲型方程的解有关的区域和边界（二维非定常流）,非定常无粘流动(双曲型方程),时间推进在这里只是得到定常流场的一种方法，最终的结果是定常流场。,y,与双曲型方程的解有关的区域和边界（二维非定常流）,非定常无粘流动(双曲型方程),3.4.2 抛物型方程,抛物型方程,对于抛物型方程，只有一个特征方向通过P点，右图中以铅垂线表示。,与二维抛物型方程的解有关的区域和边界,抛物型方程,初始条件沿ac给定，沿着曲线ab和cd，边界条件是已知的。,与二维抛物型方程的解有关的区域和边界,抛物型方程,P点的信息影响到铅垂特征线右侧包含

15、在两条边界之间的整个阴影区域。,与二维抛物型方程的解有关的区域和边界,抛物型方程,抛物型方程与双曲型方程一样，也适合于推进解。从初值线ac开始，介于边界ab与cd之间的解可以通过沿着x正向推进求出。,与二维抛物型方程的解有关的区域和边界,抛物型方程,对于三维抛物型方程，给定了边界条件后，同样可以从初值区abcd开始，沿着x正向推进求解。,与三维抛物型方程的解有关的区域和边界,3.4.2.1 定常边界层流动(抛物型方程),定常边界层流动(抛物型方程),边界层流动,在边界层里，N-S方程可以简化为一组近似方程，称为边界层方程。,边界层流动,边界层方程是抛物型的，可以用推进的方法求解。,定常边界层流

16、动(抛物型方程),边界层流动,从物体头部的初值开始，边界层方程可以沿着s方向向下游推进求解，这里s是指从物体前缘开始的物面距离。,定常边界层流动(抛物型方程),3.4.2.2 “抛物化”粘性流动(抛物型方程),“抛物化”粘性流动(抛物型方程),粘性激波层,上图描述了超声速流中的尖头物体。如果雷诺数足够低，粘性效应就会影响到远离物面的流场。,粘性激波层,如果雷诺数足够低，激波和物面之间的流场可能都是粘性的，边界层的解不再适用。,“抛物化”粘性流动(抛物型方程),粘性激波层,如果沿流向没有局部的逆向分离流动，包含流向导数的粘性项（如 ）小到可以忽略，而且流动是定常的，则导出的方程称为抛物化N-S

17、(PNS)方程。,“抛物化”粘性流动(抛物型方程),粘性激波层,PNS方程的优点在于：（1）比N-S方程更简单，包含的项更少。（2）可以采用向下游推进的方法求解。,“抛物化”粘性流动(抛物型方程),粘性激波层,PNS方程的缺点在于：不能计算沿流向存在分离区的粘性流动。因为涉及流向导数的粘性项被忽略了，而这些导数项反映了流动中粘性效应向上游反馈信息的物理机制。,“抛物化”粘性流动(抛物型方程),3.4.2.3 非定常热传导(抛物型方程),非定常热传导(抛物型方程),热传导方程：,是抛物型方程。其中，为热扩散率，其物理意义是流体吸收热流量的能力。,两个半无限长壁面之间有传热流体，初始时，壁面和流体

18、的温度都为T1,非定常热传导(抛物型方程),假设t=0时刻，右边壁面温度突然增加到T2，流体温度发生非定常变化，其瞬时温度分布由热传导方程确定。,非定常热传导(抛物型方程),右图显示了不同时刻温度在x方向上的分布。,非定常热传导(抛物型方程),3.4.3 椭圆型方程,椭圆型方程,与二维椭圆型方程的解有关的区域和边界,对于椭圆型方程，特征线是虚数，所以与特征线有关的解法对于椭圆型方程来说是不适用的。,椭圆型方程,与二维椭圆型方程的解有关的区域和边界,对于椭圆型方程，没有有限的影响区域和依赖区域，信息可以向任何方向传播到任何地方。,椭圆型方程,与二维椭圆型方程的解有关的区域和边界,如右图所示，平面

19、上一点P，假设问题的定义域是abcd所围阴影区域，P点位于abcd内。,椭圆型方程,与二维椭圆型方程的解有关的区域和边界,P点能影响阴影区域内的每一个点。反过来，P点的解要受整个封闭边界abcd的影响。,椭圆型方程,与二维椭圆型方程的解有关的区域和边界,P点的解需要与流场中所有的点同时求解。,椭圆型方程,与二维椭圆型方程的解有关的区域和边界,椭圆型方程的求解不能采用双曲型或抛物型方程所能采用的“推进”解法。,椭圆型方程,与二维椭圆型方程的解有关的区域和边界,因为区域内的解依赖于所有边界，必须在整个边界abcd上给定边界条件。,椭圆型方程,与二维椭圆型方程的解有关的区域和边界,这些边界条件可以有

20、以下几种形式：1）在边界上指定未知函数u和v，这种边界条件称为Dirichlet条件。,椭圆型方程,与二维椭圆型方程的解有关的区域和边界,这些边界条件可以有以下几种形式：2）在边界上指定未知函数的导数，例如u/x，这种边界条件称为Neumann条件。,椭圆型方程,与二维椭圆型方程的解有关的区域和边界,这些边界条件可以有以下几种形式：3）Dirichlet条件和Neumann条件的混合条件。,3.4.3.1 定常亚声速无粘流动(椭圆型方程),定常亚声速无粘流动(椭圆型方程),绕翼型的低速亚声速无粘流动,在亚声速流动中，扰动以声速传播，理论上可以向上游无限制地传播。,绕翼型的低速亚声速无粘流动,在

21、无粘的亚声速流动中，有限的扰动可以沿着任何方向传播到无穷远。,定常亚声速无粘流动(椭圆型方程),绕翼型的低速亚声速无粘流动,在亚声速流动中，由于翼型的存在所造成的扰动将会传遍整个流场，包括远前方的上游。,定常亚声速无粘流动(椭圆型方程),绕翼型的低速亚声速无粘流动,在当地马赫数小于1时，定常欧拉方程是椭圆型的。所以，亚声速流中如果存在一个翼型，无粘流的整个流场都会有影响。,定常亚声速无粘流动(椭圆型方程),3.4.3.2 不可压无粘流动(椭圆型方程),与二维椭圆型方程的解有关的区域和边界,不可压流动是马赫数趋于零时亚声速流动的极限情况，所以不可压无粘流动的控制方程是椭圆型方程。,不可压无粘流动

22、(椭圆型方程),与二维椭圆型方程的解有关的区域和边界,理论上讲，严格的不可压流动，流体的可压缩性为零，所以声速无穷大，马赫数趋于零。,不可压无粘流动(椭圆型方程),3.4.4 注释,注释,超声速钝体绕流流场示意图,考虑以超声速或高超声速运动的钝头体周围的流场。,注释,超声速钝体绕流流场示意图,在钝头体的前面有一个弯曲的弓形强激波，激波和头部的距离称为激波脱体距离。,注释,超声速钝体绕流流场示意图,在中心线附近，激波几乎垂直，后面的流动是亚声速的。,注释,超声速钝体绕流流场示意图,在更下游的地方，弓形激波更为倾斜，也更弱。在这部分激波后面，流动是超声速的。,注释,超声速钝体绕流流场示意图,超声速

23、流场和亚声速流场的分界线被称为声速线。,注释,超声速钝体绕流流场示意图,假设流动是无粘的，流动的控制方程组就是欧拉方程组，无论当地的流动是超声速的还是亚声速的。,注释,超声速钝体绕流流场示意图,在定常亚声速区域，欧拉方程组显示出椭圆型偏微分方程的性质。,注释,超声速钝体绕流流场示意图,在定常超声速区域，欧拉方程组具有双曲型偏微分方程的性质。,注释,超声速钝体绕流流场示意图,无论流动是局部亚声速的还是局部超声速的，非定常无粘流动的控制方程却都是双曲型的。,注释,超声速钝体绕流流场示意图,可以在整个流场采用时间推进法求解非定常无粘流动方程。,注释,超声速钝体绕流流场示意图,当时间充分大后，解趋近于

24、定常，于是流动变量的时间导数项趋于零。这个定常解就是所要的结果。,注释,超声速钝体绕流流场示意图,当解趋近于定常时，得到的是包括亚声速区和超声速区在内整个流场的解。,3.5 定解问题的适定性,定解问题的适定性,适定性：如果一个偏微分方程的解存在并且是唯一的，同时，解连续地依赖于初始条件和边界条件，那么这个问题是适定的。,定解问题的适定性,在偏微分方程的求解中，我们有时试图用不正确或不充分的边界条件和初始条件求解。,无论是通过解析方法或数值方法求解，对于这种不适定的问题，往好了说常常导致虚假的解，往坏了说，根本无解。,定解问题的适定性,在CFD中，数值求解之前确认问题是适定的，这一点非常重要。,定解问题的适定性,比如，当从定常流的角度考虑亚声速超声速混合问题时，任何想在两个区域内得到一致有效解的想法都会导致不适定问题。,定解问题的适定性,但从非定常流的角度，采用时间推进法来求解上述定常问题，可以使问题成为适定的。,