空间几何体的外接球问题ppt课件.pptx

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1、球与空间几何体的接、切问题（一）,球与空间几何体的接、切问题（一）,3、球心和截面圆心的连线_于截面；,2、用一个平面去截球，截面是_ ；,4、球心到截面的距离d与球 的半径R及截面的半径r 有下面的关系:,圆面,垂直,相关知识：, 2 = 2 + 2,1、相关公式：,球的表面积S= ,球的体积= ,这个直角三角形我们称之为“特征三角形”,球与空间几何体的接、切问题（一）,多面体的外接球：多面体的顶点都在球面上；,以正方体的外接球为例：,考点一 空间几何体的外接球,14,考点自测（2017全国15）长方体的长、宽、高分别为3,2,1,其顶点都在球O的球面上，则球O的表面积为 。,对角面,对角面

2、,方法点津1：长方体和圆柱，可以不找球心，直接求外接球半径R。,轴截面,1、直接法, + + , , + ,考点一 空间几何体的外接球,2、构造法,思考：哪些几何体能构造为能用“直接法”的柱体？,例1 如图，在直三棱柱 1 1 1 中，= 30 0 ，=1， 1 =2，则三棱柱外接球的体积为 。,解析：以底面外接圆为底面，构造圆柱, ,在中，,=1， = 30 0,2= 1 sin 30 0 =2,设外接球半径为R，体积为V，底面外接圆半径为r。,2= 1 2 + 2 2 =2 2,= 2,= ,2） 顶点在底面的投影在底面多边形外接圆的圆周上的棱锥.,考点一 空间几何体的外接球,2、构造法,

3、注意：需要高h和底面外接圆半径r,2R= + ,思考：哪些柱体和锥体能构造为圆柱？,对点训练 如图，在三棱锥P-ABC中，PB面ABC， = 30 0 ， =3，=4，则三棱锥外接球的半径为 。,考点一 空间几何体的外接球,2、构造法,P,解析：顶点P在底面的投影为B，B显然在底面外接圆上，可构造圆柱,考点一 空间几何体的外接球,2、构造法,方法点津2 ：2.可以构造长方体的几何体：,对棱分别相等的三棱锥；, 1 = 1 , 1 1 =, 1 = 1 ,其中最特殊的就是正四面体,课后思考：还有什么几何体能构造长方体？,考点一 空间几何体的外接球,对点训练如图，在正四面体ABCD中，棱长为1，则

4、正四面体外接球的半径为 。, ,2、构造法,解析： 正四面体对棱相等，可构造为正方体。,考点一 空间几何体的外接球,解析：法二 设外接球半径为R， BCD外接圆半径为r，球心为O，,且点E为底面 BCD外接圆圆心,E,R,R,3、找特征三角形, ,关键：顶点、底面外接圆圆心、球心三点共线。,例2 如图，在正四面体ABCD中，棱长为1，则正四面体外接球的半径为 。（不用构造法）,连接DE，DO，,r,过A作AE 面BCD于点E，则O在AE上，,则DE=r，DO=AO=R,考点一 空间几何体的外接球,3、找特征三角形,R,方法点津3：顶点、底面外接圆的圆心与外接球球心三点共线的锥体可以找“特征三角

5、形”解决外接球问题。,R, = + ,考点一 空间几何体的外接球,练习正三棱锥P-ABC中，ABC为等边三角形，AB= 3 ，PA= 5 ，三棱锥P-ABC的外接球表面积为_。,P,A,B,C, ,D,考点一 空间几何体的外接球,“接”的问题与方法：,1、直接法,3、找特征三角形,2、构造法,适用于长方体和圆柱；,能构造为圆柱的几何体；,适用于顶点、底面外接圆的圆心与外接球球心三点共线的锥体。,能构造为长方体的几何体；,“两心一点”共线的锥体,考点一 空间几何体的外接球,练习（2017全国16）已知三棱锥S-ABC 的所有顶点都在球O的球面上，SC是球O的直径。若平面SCA 面SCB，SA=A

6、C，SB=BC，三棱锥S-ABC的体积为9，则球O的表面积为 。,练习（2017.全国8 ）已知圆柱的高为1，它的两个底面的圆周在直径为2的同一个球的球面上，则该圆柱的体积为（ ） A B 3 4 C 2 D 4,考点一 空间几何体的外接球,B,2R= + ,考点一 空间几何体的外接球,解析：ABC为等边三角形，PA=PB=PC=3，,所以PAB PBC PAC。, PAPB，PAPC， PBPC。,以PA，PB，PC为过同一顶点的三条棱作正方体，则正方体的外接球即为三棱锥P-ABC的外接球。,正方体体对角线长为 3 2 + 3 2 +3 2 =3 3,其外接球半径R= 3 3 2,= 4 3

7、 3 3 2 3,= 27 3 2 ,B,6,考点一 空间几何体的外接球,3、构造法,R= 6 2,方法点津3：锥体含线线垂直关系或者线面垂直关系，可用“构造法”解决外接球问题。,考点二 空间几何体的内切球,思考题：若正四面体的棱长为，则其内切球的半径为_。,解析 法一：如图正四面体P-ABC的中心为O，P面AB，内切球半径为r，即= 。,AB=，正四面体的高=PD= 6 3 ,又 ABC =4 B, 1 3 ABC PD=4 1 3 ABC D,OD= 1 4 PD，即= 1 4 = 6 12 , ,小结：正四面体内切球半径是高的 ，外接球半径是高的 。,2、等体积法,训练：直三棱柱ABCA

8、1B1C1的各顶点都在同一球面上，若AB=AC=AA1=2，BAC=120，则此球的表面积等于 ,在ABC中AB=AC=2，BAC=120,由正弦定理，可得ABC外接圆半径r=2,设此圆圆心为O，球心为O，在RTOBO中,易得球半径,解得,故此球的表面积为4R2=20,20, ,训练：已知正三棱锥的高为1，底面边长为2，内有一个球与四个面都相切，则棱锥的内切球的半径为(),A. 5 2 B. 3 1 C. 1 2 D. 2 1,D,训练：在正三棱锥P-ABCD中，侧面与底面所成角为 3 ，则它的外接球的半径R与内切球半径r的比值为_。,思考题：正四面体ABCD的棱长为4，E为棱BC的中点，过E作其外接球的截面，则截面面积的最小值为_。,解析：用构造法将四面体ABCD放置于如图所示的正方体中，则正方体的外接球就是四面体ABCD的外接球，,设截面半径为r，球心到截面距离为d，外接球半径为R，则r= ，,显然球心到截面距离为d越大，r越小，,易知OE为d的最大值，,故截面半径最小值为r= = ，,棱长为4， 正方体边长为 ,OE= ，正方体体对角线为 ,= ,截面面积最小值为 =,