画法几何之曲线曲面ppt课件.ppt

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1、1,曲线 曲面,学习内容及学习重点,学习内容： 曲线的形成 曲线的投影 四心扁圆法 学习重点： 曲线的投影 四心扁圆法,曲线的形成及投影,一、曲线的形成,曲线可以看做是点运动的轨迹。,平面曲线：点在一个平面内运动所形成的曲线叫做平面曲线，如圆、椭圆、双曲线和抛物线等；,空间曲线：点不在一个平面内运动所形成的曲线叫做空间曲线，如圆柱螺旋线。,二、曲线的投影,1.平面曲线的投影 与平面曲线对投影面的相对位置有关。,图示中平面内的的一个圆，由于它所在的平面与投影面的位置不同，其投影也不同。,（1） 圆所在的平面平行于投影面，则圆的投影反映实形（成为同样大小的圆）。,（2） 圆所在的平面倾斜于投影面，

2、则圆的投影不反映实形（变为椭圆）。,（3） 圆所在的平面垂直于投影面，则圆的投影积聚成一直线（其长度等于直径）。,2.空间曲线的投影 在任何情况下都不会有直线，而是曲线，不能反映实际形状。,绘制曲线的投影，一般是先画出曲线上一系列点的投影，特别是首先画出控制曲线形状和范围的特殊点的投影，然后把这些点的投影光滑连接起来。,例题：求作一个位于正垂面P上的圆周的投影，已知圆心O的投影及直径D的长度。,分析：所给平面P垂直于V面，对H面倾斜成角，所以P面内的圆，在V面上的投影积聚成一直线并重合在Pv上，长度等于D；在H面上投影变形成为椭圆。此椭圆的长轴是圆内一条垂直于V面的直径的投影，长度等于直径D；

3、短轴是圆内一条平行于V面的直径的投影，长度等于直径Dcos 。,作图步骤,1.过o在Pv上截取o c=od=D/2，得cd，即为所作圆周的正面投影,2.再过o作铅垂联系线，并截取oa=ob=D/2，得长轴ab；,3.过o作水平线与过c和d向下引的铅垂联系线相交，得短轴cd；,4.最后用“四心扁圆法”作椭圆，即为所求圆周的水平投影,三、四心扁圆法,若已知椭圆的长、短轴的端点，可运用“四心扁圆法”近似地作出椭圆。作图步骤如下：,（1）,（2）,（3）,（4）,（5）,（6）,曲面的形成和分类,规则曲面可看成是母线在一定约束条件下运动后的轨迹。母线运动到任何一位置称为素线，母线可以是直线段，也可以是

4、曲线段；曲面的分类：,按母线是直线还是曲线，曲面可分为：直纹面和曲线面；按母线的运动方式，曲面可分为：回转面和非回转面；按曲面的可展性，曲面可分为：可展曲面和不可展曲面；,回转面和回转体,母线绕一直线旋转一周所形成的曲面，称为回转曲面。由回转曲面或回转曲面和平面共同所围成的立体，称为回转体。,为在投影图上确定一曲面，需给出确定此曲面的各要素的投影。还必须画出曲面各外形轮廓线的投影。,曲线的外形轮廓线： 是该曲面在某一个投影方向上的最大范围线。不同投影方向，就有不同的外形轮廓线。它们在相应投影面上的投影，就是该曲面的各投影轮廓线；并且曲面的外形轮廓线还是曲面可见部分和不可见部分的分界线。,图示的

5、回转曲面，其母线是一段圆弧曲线。当母线绕轴旋转时，母线的每一个位置都叫素线；母线上每一个点都画出一个垂直于轴并且中心在此轴上圆，这种圆叫做纬圆。回转曲面实际上是由一系列素线或一系列纬圆组成。,回转曲面,回转曲面有如下两条特性：（1）经过轴的平面必和曲面相交于以轴为对称的两条素线；（2）垂直轴的平面必和曲面相交于一个纬圆。,回转曲面,水平投影：在H面上的投影是三个圆，其中：最大的一个圆（赤道圆)的投影；最小的一个圆是最小纬圆 (喉圆)的投影；中间一个圆是曲面的上底圆的投影。,(1)投影特点：,正面投影：曲面的正面外形轮廓线N是位于过轴线的正平面上的两条素线，它们投影在V面上不变形，成为曲面正面投

6、影的轮廓线n。正面投影上垂直于轴线的直线是曲面上底圆的投影。,(2)注意：,曲面某一投影方向的轮廓线，对另外的投影方向就不处于轮 廓线的位置，所以它在另外投影面上的投影不应画出来。如图，正面轮廓线在水平投影中就不画出。,规定：回转曲面的轴线的正面(或侧面)投影用点划线画出；轴线的水平投影是一个点，即回转曲面水平投影圆的中心，为确定这个中心，需作“十”字相交的两条点划线(叫做中心线)。,轴线,曲面立体的投影,学习内容及学习重点,学习内容： 曲面立体的形成（圆柱、圆锥、球、环、单叶回转双曲面） 曲面立体的投影（圆柱、圆锥、球、环、单叶回转双曲面） 学习重点： 曲面立体的投影 曲面立体表面取点方法（

7、素线法、纬圆法）,由曲面包围或者由曲面和平面包围而成的立体，叫做曲面立体。 圆柱、圆锥、球和环是工程上最常用的最简单的曲面立体，由于包围这种立体的曲面都属于回转曲面，所以又统称回转体。,曲面立体的投影,基本回转体,曲面立体同平面立体的区别在于它有曲面。因此，画曲面立体的投影在于画出曲面的外形轮廓线的投影。,回转体的投影画法：,水平投影为一个圆。圆的半径等于圆柱的半径，圆心即为轴线的水平投影；正面和侧面投影均为相等的长方形，长方形的高等于圆柱的高，宽等于圆柱的直径。,（1） 圆柱体的组成,两条平行线，以一条为母线另一条为轴线回转，即得圆柱面。,一、圆柱,由圆柱面和上、下底面围成的立体，就是圆柱体

8、。,（2） 圆柱的三面投影图,O,O1,A1,A,a,(a),在圆柱体表面的线和点，可利用圆柱面的积聚性求解。,圆柱体表面上的线和点,二、圆锥,水平投影是一个圆（即圆锥底圆的水平投影），圆心即轴和锥顶的水平投影，半径等于底圆的半径；正面和侧面投影是相同的等腰三角形，此等腰三角形的高等于圆锥的高，底等于圆锥底圆的直径。,（1） 圆锥体的组成,两条相交直线，以一条为母线另一条为轴线回转，即得圆锥面。,由圆锥面和底面组成的回转体就是圆锥体。,（2） 圆锥的三面投影图,O,O1,A1,A,正面投影的轮廓素线是圆锥最左、最右的两条轮廓素线的投影；侧面投影的轮廓素线是最前、最后的两条轮廓素线的投影。,（3

9、）轮廓线素线的投影,（4） 圆锥面上取点,纬圆法,m,纬圆半径如何取？,m,m,a,a,（4） 圆锥面上取点,素线法,n,过锥顶作一条素线。,n,n,a,a,圆锥体表面上的线和点,三、球,球的三面投影的轮廓线均为同样大小的圆。,（1） 球的形成,球的表面可以看作是一个围绕着圆本身的一条直径旋转而成的回转表面。,（2） 球的三面投影图,注意：球的三面投影的圆不是球面上同一个圆的投影。,水平投影是最大纬圆（即赤道圆的投影），赤道圆把球体分成上下两半（上一半可见，下一半不可见）；,（3）轮廓线素线的投影（转向轮廓线）与曲面的可见性的判断,正面投影是平行于V面的素线的投影，此素线把球体分成前、后两半(

10、前一半可见，后一半不可见；,侧面投影是平行于W面的素线的投影，此素线把球体分成左、右两半(左一半可见，右一半不可见)。,这三个圆的其他投影均都积聚成直线，重合在相应的中心线上。,（4）球面取点（纬圆法）,因为M点位在后半球面上，所以它的正面投影m不可见。,m,m,（m）,m,(m),四、环,水平投影轮廓线由赤道圆和喉圆的水平投影组成； 正面投影的左、右是两个小圆（反映母圆的实形，有半个是看不见的， 画成虚线），两个小圆的两条公切线分别是环面最上和最下两个纬圆的正面投影。,（1） 环的形成,环的表面可以是一个圆绕着与圆共面的，但位在此圆外的一条直线旋转而成。,（2） 环的三面投影图,轴线,母线,

11、（3）环面取点（纬圆法）,m,m,(a),a,(a),五、单叶回转双曲面,（1） 单叶回转双曲面的形成,（a）以双曲线为母线，绕其虚轴旋转而成。,（b）以两交错直线中的一条为母线，另一条为轴线旋转而成。,（a）,（b）,（2） 单叶回转双曲面的投影特点,水平投影是两个同心圆，最小的圆即为喉圆的水平投影；,正面投影是一条双曲线，它反映母线的实形。,以双曲线为母线绕其虚轴旋转而成的回转面。,（2） 单叶回转双曲面的投影特点,以两交错直线中的一条为母线，另一条为轴线旋转而成回转曲面。,平面和曲面立体相交,学习内容及学习重点,学习内容： 平面和圆锥的相交形式及截交线画法 平面和圆柱的相交形式及截交线画

12、法 平面和球的相交形式及截交线画法 学习重点： 平面和曲面立体相交截交线的画法 辅助平面法,平面和曲面立体相交，所得截交线在一般情况下是平面曲线。圆锥面截交线上的任意一个点(如图中的A点)，既可以看做是曲面的某一条素线（如直线SM）与截平面P的交点， 又可以看做是曲面的其一个纬圆（如圆周L）与截平面P的交点。,平面和平面立体相交，实质是求截交线。求作曲面立体截交线的问题本质如同曲面上定点，可采用纬圆法和素线法。,当截平面为投影面的垂直面时，可以利用截平面的积聚性来求交点；当截平面为一段位置平面时，则需要过所选择的素线或纬圆作辅助平面来求交点。用素线法或纬圆法求出这些交点以后，再把它们依次光滑地

13、连接起来，就得到所求的截交线。,实际作图时，为了能够根据少量的点，达到比较精确的作图，首先需要求出控制截交线形状的那些特殊点。, 回转体截交线性质,1、截交线是截平面与回转体表面的公有线。截交线上的点为截平面与回转体表面的公有点。,2、截交线的形状通常为平面曲线，特殊情况下可含有直线段组成。截交线的形状取决于回转体表面性质和截平面与回转体的相对位置。,回转体截交线的求解方法与步骤,1、空间分析,分析回转体的几何形状，以及截平面与回转体轴线的相对位置，确定回转体截交线的形状。,2、投影分析,分析截平面、回转体表面与投影面的相对位置，确定截交线的投影特性。,3、投影作图,若截交线为非圆曲线或非直线

14、段时，运用回转体表面取点取线方法，先作出截交线上的特殊点，在需要的地方补充一般点，然后用光滑曲线连接各点。,4、整理回转体轮廓线,检查回转体被截切后的轮廓素线。,依据截平面与圆柱体轴线的相对位置不同，截交线的形状有以下三种：,圆,矩形,椭圆,1、圆柱体的截交线,完成圆柱体被截切后的水平投影和侧面投影。,1、空间分析,分析截平面与立体的相对位置水平面截切，截交线为矩形；侧平面截切为圆弧。,2、投影分析,分析截平面与投影面的相对位置。,3、投影作图,4、整理轮廓素线,截交线的正面投影落在水平截平面和侧平截平面的积聚性投影上；,截交线的侧面投影落在圆柱面和水平截平面的积聚性投影上；,作出圆柱体被截切

15、后的水平投影。,1、空间分析,分析截平面与圆柱体轴线的相对位置，确定截交线的形状椭圆。,2、投影分析,截交线的正面投影和侧面投影分别落在截平面和圆柱面的积聚性投影上，要求的是截交线水平投影。,3、投影作图,4、整理轮廓线,【例题3】 分析圆柱体截交线为椭圆的投影特性,1、当45截交线椭圆的长轴投影后，仍为投影椭圆的长轴；,2、当45截交线椭圆的长轴投影后，成为投影椭圆的短轴；,3、当45截交线椭圆的长轴投影后，与短轴相等，椭圆的投影成为圆；,完成圆柱体截切后的侧面投影。,完成圆柱体截切后的侧面投影。,完成圆柱体穿三棱柱孔后的侧面投影。,依据截平面与圆锥体轴线的相对位置不同，截交线的形状有以下五

16、种：,2、圆锥体的截交线,完成圆锥截切后的水平投影和侧面投影。,1、空间与投影分析,截交线为椭圆，截交线的正面投影落在截平面的积聚性投影上，要作出椭圆的水平投影和侧面投影。,2、投影作图,运用锥面取点方法作出椭圆长短轴端点、转向轮廓线上点和一般点，用曲线光滑连接各点。,3、整理轮廓线,完成圆锥截切后的水平投影和侧面投影。,1、空间与投影分析,截交线形状为抛物线。抛物线的正面投影落在截平面的积聚性投影上，求作抛物线的水平投影和侧面投影。,2、投影作图,运用锥面取点方法作出抛物线顶点和底端点、转向轮廓线上点和一般点，用曲线光滑连接各点。,3、整理轮廓线,完成圆锥截切后的水平投影和侧面投影。,1、空

17、间与投影分析,截交线为圆弧和两根直线段，两截平面间有一条交线。截交线的正面投影落在截平面的正面积聚性投影上，求作截交线的水平投影和侧面投影。,2、投影作图,截交线圆弧的水平投影反映圆弧的实形。,3、整理轮廓线,完成圆锥截穿孔后的水平投影和侧面投影。,1、空间与投影分析,截交线为圆弧、椭圆弧和直线段组成的空间曲线，三条截平面间的交线。截交线的正面投影落在截平面的正面积聚性投影上。,2、投影作图,分别求解各个截平面的截交线，截交线上的点可运用锥面取点方法获得。,3、整理轮廓线,平面截切圆球，其截交线的形状为圆。,当截平面平行于投影面时，则截交线圆的投影反映实形；当截平面垂直于投影面时，则截交线圆的

18、投影为直线段；当截平面倾斜于投影面时，则截交线圆的投影为椭圆。,3、圆球的截交线,完成圆球截切后的水平投影和侧面投影。,完成半球被截切后的水平投影和侧面投影。,完成圆球穿孔后的水平投影和侧面投影。,直线和曲面立体相交,学习内容及学习重点,学习内容： 求直线和曲面立体相交的贯穿点 学习重点： 求直线和曲面立体相交的贯穿点 辅助截平面法,求作直线与曲面立体的贯穿点，如同求直线与平面立体的贯穿点一样，一般也用辅助截平面法，具体作图分三步进行：,第一步，经过已知直线作一个辅助截平面；,第三步，确定所求截交线与已知直线的交点。,第二步，求出此辅助截平面与已知曲面立体的截交线；,但在特殊情况下，如曲面的投

19、影有积聚性，或直线的投影有积聚性，便可直接求出贯穿点。,求作直线AB与圆柱面的贯穿点。,由于圆柱面的水平投影圆周有积聚性，直线的水平投影ab与圆周的交点k和l，即为所求贯穿点的投影，进而用线上定点的方法，在ab上定出贯穿点的正面投影k 和l。直线的正面投影。ak一段，位在圆柱的前面，是看得见的，画成实线lb一段位在圆柱的后面，被圆柱遮住的那一小部分是看不见的，应画成虚线。,求作正垂线CD与圆锥面的贯穿点。,由于直线CD的正面投影有积聚性，所以c(d)也是直线与圆锥面的贯穿点K和L的正面投影k(l)。为此，可应用圆锥面上作纬圆的方法，求出贯穿点K和L的水平投影k和l。,求作直线EF与半球面的贯穿

20、点。,过直线EF作铅垂面Q，显然QH与ef重影。因为Q平面与半球面相交所得半圆的正面投影是半个椭圆，作图比较麻烦。用换面法在V1面上画出了所截半圆的实形和直线的新投影e1f1，定出交点k1f1；用“反回作图”求出贯穿点K和L的投影k、l和k、l。,直线EK段和LF段，不论正视还是俯视均为看得见，应该画成实线。,QH,e,o,o,f,e,f,平面立体和曲面立体相交,学习内容及学习重点,学习内容： 平面和曲面立体相交的相贯线的组成 平面和曲面立体相交的相贯线的画法 学习重点： 平面和曲面立体相交的相贯线的画法,平面立体与曲面立体相交所得的相贯线，在一般情况下，是由几段平面曲线组成的空间曲线。,每一

21、段平面曲线，都是平面立体的棱面(包括底面)与曲面立体的截交线。,相邻两段平面曲线的连接点(也叫结合点)就是平面立体的棱线与曲面立体的贯穿点。,求作平面立体与曲面立体的相贯线，可归结为求平面与曲面立体的截交线和直线与曲面立体的贯穿点。,返回,求两立体表面交线,3,3,1、空间分析,相贯线为3条圆弧组成的空间曲线。,2、投影分析,相贯线的水平投影落在三棱柱棱面的积聚性投影上。,3、投影作图,4、整理轮廓线,12,求两立体表面交线。,返回,求两立体表面交线,返回,求两立体表面交线,求两立体表面交线,求两立体表面交线,两曲面立体相交,学习内容及学习重点,学习内容： 两曲面立体相交的相贯线的组成 两曲面

22、立体相交的相贯线的画法 学习重点： 两曲面立体相交的相贯线的画法 辅助平面法,两曲面立体的相贯线，在一般情况下，是封闭的空间曲线，在特殊情况下，是平面曲线。求作两曲面立体的相贯线，应先求出两曲面的一系列的公共点，然后把所求的公共点用曲线依次光滑地连接起来。求两曲面的公共点，有辅助平面法和辅助球面法两种。,作出相贯线上足够的公有点，然后用光滑曲线依次连接各点。在求公有点时，首先求出相贯线上的特殊点（最高点、最低点、最左点、最右点、最前点、最后点和转向轮廓线上的点），然后在适当的位置作出一般点。,2、辅助平面法,1、利用曲面的积聚投影法,相贯线上公有点的求法：,两曲面立体相贯线的求法,圆柱与圆柱相

23、贯，求其相贯线。,空间及投影分析： 小圆柱轴线垂直于H面，水平投影积聚为圆，根据相贯线的共有性，相贯线的水平投影即为该圆。大圆柱轴线垂直于W面，侧面投影积聚为圆，相贯线的侧面投影在该圆上。,求相贯线的投影：,利用积聚性，采用表面取点法。, 找特殊点, 补充中间点, 光滑连接,圆柱与圆柱相贯，求其相贯线。,当圆柱直径变化时，相贯线的变化趋势。,交线向大圆柱一侧弯,交线为两条平面曲线（椭圆）,求两立体相贯线,利用曲面的积聚投影法,1、当两曲面体同时内切一个球时，相贯线为平面曲线椭圆。,相贯线的特殊情况,若两圆柱面公切一个球面相交，则它们的交线是两个椭圆。当公共对称平面平行于正面时，这两个椭圆的正面

24、投影是两段相交的直线。,2、当两回转体同轴时，相贯线为平面曲线圆,3、当两曲面体表面为直纹面，且曲面体相交于直素线时，相贯线为直线段。,用辅助平面法求两曲面的公共点，分三步进行:,第一步：加辅助截平面；,第二步：分别求出此辅助截平面与两曲面的截交线；,第三步：确定所求截交线的交点。,一、辅助平面法,对于回转曲面，可选投影面的平行面常为辅助截面，与回转曲面相交于素线或纬圆。相贯线上的特殊点，必须求出的是两曲面外形轮廓线上的点，是相贯线上可见和不可见的分界，即相贯线投影虚实的分界点。,辅助平面的选择原则：,与两曲面都相交成最简单的截交线，如直线或圆周；,辅助面的位置应考虑到所求的公共点最好是相贯线

25、上的特殊点；,常用的辅助平面为投影面的平行面或垂直面,要使辅助平面与两立体表面交线的投影为直线或圆。,相贯线处于两个同时可见的曲面上，则相贯线可见，用实线绘制。 相贯线处于两个不可见的或一个可见、一个不可见的曲面上，则相贯线均为不可见，用虚线绘制。,相贯线的可见性,【例题】求两立体相贯线,求两立体相贯线,求两立体相贯线,求两立体相贯线,公共对称平面：即两回转相贯体的轴线所确定的平面，它能够把相贯体分割成对称的两部分。其交线特性如下：,（1）为对称曲线；,利用公共对称平面这一概念，可以帮助我们了解所求的相贯线是否是一个对称曲线以及最高点、最低点的位置。然后采用前面所学过的回转体表面取点的方法素线

26、法或纬圆法进行具体求点。,具有公共对称面的相贯线特性,（2）最高点和最低点落在公共对称平面上。,根据以上特性：图示相贯的直立圆柱和半球，由于公共对称平面Q平行于正面，所以相贯线的正面投影必定前后重影，为一段曲线，两曲面正面投影轮廓线的两个交点，其中一个(1)就是相贯线的最高点，另一个(2)就是最低点。,具有公共对称面的相贯线的画法分析,QH,最前点和最后点就是用两个与直立圆柱相切的正平面P和R求得的。,68 两曲面立体相交,求作图示两个由圆柱面组成的屋顶的交线。,求作图示两个由圆柱面组成的屋顶的交线。,前两图中给出的屋顶是由直径相等、轴线正交的两个半圆柱面组成的。它们的交线是两个相等的半椭圆，

27、投影在H面上都是屋顶水平投影轮廓线正方形的两条互相垂直的对角线。,第九节 有导线导面的直纹曲面,学习内容及学习重点,学习内容： 柱面和锥面的形成和投影特点 柱状面和锥状面的形成和投影特点 双曲抛物面的形成和投影特点 学习重点： 有导线导面的直纹曲面的投影特点,一、柱面和锥面,1柱面：一直线沿着一曲线滑动，并始终平行于另一固定的直线，所形成的曲面叫做柱面。,图示柱面的导线是一个水平圆。母线的方向平行于图中给出的正平线L的方向，柱面的各素线是互相平行的。由于取母线为定长，所以此柱面的上底也是一个水平圆。,柱面在建筑工程中，有着广泛的应用。下图表示了一个用柱面构成的完体建筑。,2.锥面。一直线沿着一

28、曲线活动， 并始终通过一固定的点， 所形成的曲面叫做锥面。,图示锥面的导线是一个水平圆。锥顶就是那个固定的点，可见锥面各素线是相交于一点的。如果把锥顶移到无阻远处，则锥面就转化成柱面；可见柱面是锥面的特殊情况。,锥面在建筑工程中，也有着广泛的应用。右图表示了一个用锥面构成的完体建筑。,1柱状面。一直线沿着两条曲线滑动，并始终平行于一个平面，这样形成的曲面叫做柱状面。,图示的柱状面，母线是AD，曲导线是ABC和DEF，导平面是铅垂面P 。柱状面的所有素线AD、BE、CF都平行于导平面P， 所以各素线的水平投影ad、be、cf 都平行于PH。,右图所示的是柱状面应用于拱门上的实例。可以看出：导线应

29、为拱口曲线(一为半圆，为半椭圆)，导面应为水平面。,2锥状面。一直线沿着一条曲线和一条直线滑动，并始终平行于一个平面，这样形成的曲面叫做锥状面。,图示的锥状面，直导线AB垂直于正立面，曲导线为一个水平圆，而导平面为正平面。表现在投影图上， 所有素线的水平投影均平行于OX轴， 而正面投影集中于一点a(b)。,是锥状面作为厂房屋顶的一个实例。屋面上的素线都平行于山墙。,三、双曲抛物面,当一条直线沿着两条交错的宜线滑动，并始终平行于一个平面时，可以形成双曲抛物。,以交错二直线AB和CD为导线，以AD直线(或BC直线)为母线， 平面P为导面(ADP)，即可形成双曲抛物面。双曲抛物面也象单叶回转双曲面那

30、样，有两族素线，而且第一族的每条素线必同第二族的所有素线相交，而同一族的任何两条素线必定交错。,（1）首先画出母线、导线和导面的投影；,（2）画出曲面曲正面投影和侧面投影的轮廓线；,双曲抛物面也同单叶回转双曲面一样，有两种不同的形成方：一种是以直线为母线运动而成，另一种是以抛物线为母线运动而成。,用抛物线为母线形成的双曲抛物面及其投影,如图所示，双曲抛物面的几何性质还在于：当水平面R通过顶点M时，与双曲抛物面相截于两条素线EF和LN（它们不属于同一族）；而M点以上的水平面（如S），必与双曲抛物面相截于分布在M点左右两侧的双曲线；而M点以下的水平面（如T），必与双曲抛物面相截于分布在M点前后两侧

31、的双曲线。,若截平面平行于导平面P或Q时，就一定会截出直线(素线)。,平面与双曲抛物面的截交线就有以下三种：抛物线、双曲线和直线。而无论如何都截不出圆和椭圆。原因很简单，因为任何位置的平面与双曲抛物面不能交于一个闭合的曲线。,双曲抛物面应用实例,双曲抛物面通常用于屋面结构中。图示的厂房屋面，每一个单元是由四块双曲抛物面组成的。对照前面的立体图，可以看出它在双曲抛物面上的部位近似于图中标出的BGMK的地位。,用抛物线为母线形成的双曲抛物面及其投影,如图所示建筑物的屋顶也是双曲抛物面，周围是椭圆柱面。因为椭圆柱的水平投影有积聚性，所以交线的水平投影是已知的。问题在于求交线的正面投影图中水平投影标定

32、了八个点，它们的正面投影是用素线上定点的办法作出的。,第十节 螺旋线和螺旋面,学习内容及学习重点,学习内容： 螺旋线的形成和投影作图 螺旋面的形成和投影作图 学习重点： 螺旋线投影的作图方法 螺旋面投影的作图方法,一、螺旋线,一动点沿着一圆柱的母线作等速运动，而母线同时又绕圆柱的轴线作等速旋转，则该动点运动的轨做圆柱螺旋线。此圆柱叫做导圆柱。,圆柱螺旋线分右旋和左旋两种：前者，动点上升时，母线对轴线作反时针方向旋转；后者作顺时针方向旋转。,母线旋转一周时，动点沿母线移动的距离叫做螺距。螺距h和导圆柱的半径R是确定螺旋线的两个参数。给出这两个参数的大小，再根据螺旋线的方向(譬如是右螺旋)，就可以

33、做出螺旋线的投影。,（1）用半径R作出导圆柱的投影；,（2）把导圆柱的底圆周(在水平投影上)和螺距h(在正面投影上)分成同样多的等份(如12等份)；,（3）在水平投影上用数字沿螺旋线方向顺次标出各分点,（4）从0、1、12 向上作铅垂联系线，得各分点的正面投影；,（5）用曲线圆滑的连接0、l、2 12各点， 得一正弦曲线该曲线就是所作螺旋线的正面投影。,螺旋线投影,当把导圆柱展开成矩形之后，螺旋线应该是这个矩形的对角线。这条斜线与底边的倾角阿同螺距h和半径R有下面的关系：,这个角就叫做螺旋线的升角。,二、螺旋面,一直线沿着圆柱螺旋线和圆柱轴线滑动，并始终与轴线相交成定角。这样形成的曲面叫做螺旋面。螺旋面分平、斜两种。,平螺旋面的母线垂直于轴线，因此母线运动时始终平行于轴线所垂直的平面；当轴线为铅垂线比那么水平面即为平螺旋面的导平面。斜螺旋面的母线倾斜于轴成定角，因此母线在运动时始终平行于一个圆锥面，此圆锥面叫做导锥面。,平螺旋面,螺 旋 扶 手 的 画 法,螺 旋 楼 梯,螺 旋 楼 梯 的 画 法,