电磁场镜像法ppt课件.ppt

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1、1,3.8.1 镜像法的基本原理 3.8.2 接地导体平面的镜像 3.8.3 导体球面的镜像 3.8.4 导体圆柱面的镜像 3.8.5 点电荷与无限大电介质平面的镜像 3.8.6 线电流与无限大磁介质平面的镜像,3.8 镜像法,2,当有电荷存在于导体或介质表面附近时，导体和介质表面会出现感应电荷或极化电荷，而感应电荷或极化电荷将影响场的分布。,非均匀感应电荷产生的电位很难求解，可以用等效电荷的电位替代,1. 问题的提出,几个实例接地导体板附近有一个点电荷，如图所示。,q,q,非均匀感应面电荷,等效电荷,3.8.1 镜像法的基本原理,3,接地导体球附近有一个点电荷，如图。,非均匀感应电荷产生的电

2、位很难求解，可以用等效电荷的电位替代,接地导体柱附近有一个线电荷。情况与上例类似，但等效电 荷为线电荷。,结论：所谓镜像法是将不均匀电荷分布的作用等效为点电荷 或线电荷的作用。,问题：这种等效电荷是否存在？ 这种等效是否合理？,q,非均匀感应电荷,q,等效电荷,4,2. 镜像法的原理,3. 镜像法的理论基础 解的惟一性定理,方法： 在求解域外设置等效电荷，集中代表边界上分布电荷的作用,目的： 使复杂边值问题，化为无限大单一媒质空间的问题,5,像电荷的个数、位置及其电量大小“三要素” ；,4. 镜像法应用的关键点,5. 确定镜像电荷的两条原则,等效求解的“有效场域”。,镜像电荷的确定,像电荷必须

3、位于所求解的场区域以外的空间中；,像电荷的个数、位置及电荷量的大小以满足所求解的场 区域 的边界条件来确定。,6,3.5.2 接地导体平面的镜像,1.点电荷对无限大接地导体平面的镜像原问题,由图可知，接地导体板附近有一个点电荷时，电力线垂直导体板，等位线平行导体板。这是点电荷与导体板上的感应电荷共同作用的结果。,计算机模拟的接地导体板附近有一个点电荷时的电场分布图,7,显然可将感应电荷的作用用位于h的像电荷qq替代。,结论：有效域方程不变且满足边界条件，所得解是原问题的解。,考察原问题是否得到满足：由于像电荷位于z0区域，原方程不变，且有,P,有效区域,8,上半空间( z0 ）的电位函数,q,

4、导体平面上的感应电荷密度为,导体平面上的总感应电荷为,导体平面上总感应电荷等于镜像电荷！,9,2. 线电荷对无限大接地导体平面的镜像,镜像线电荷：,满足原问题的边界条件，所得的解正确。,电位函数,原问题,当z=0时，,10,3. 点电荷对相交半无限大接地导体平面的镜像,如图所示，两个相互垂直相连的半无限大接地导体平板，点电荷q 位于(d1, d2 )处。,显然，q1 对平面 2 以及q2 对平面 1 均不能满足边界条件。,对于平面1，有镜像电荷q1=q，位于(d1, d2 ),对于平面2，有镜像电荷q2=q，位于( d1, d2 ),只有在(d1, d2 )处再设置一镜像电荷q3 = q，所有

5、边界条件才能得到满足。,电位函数,q,d1,d2,1,2,R,R1,R2,R3,11,可得出什么结论？,12,如果两导体平面不是相互垂直、而是相交成一定角度，只要 (n为整数)，就可以用镜像法求解，镜像电荷数为(2n-1)。,当夹角为60的两个半无限大接地导体平板之间有一个点电荷q时，镜像电荷的位置示意图,由图可知，点电荷q共有5个像电荷6个电荷两两成对地分别构成两个平面（包括平面的延伸部分）的镜像关系，缺一不可,q,13,例3.8.1 一个点电荷q与无限大导体平面距离为d，如果把它移至无穷远处，需要做多少功？,解：移动电荷q时，外力需要克服电场力做功，而电荷q受的电场力来源于导体板上的感应电

6、荷。可以先求电荷q 移至无穷远时电场力所做的功。,由镜像法，感应电荷的电场可以用像电荷qq 替代。当电荷q 移至 x时，像电荷q应位于x，则有,14,3.8.3 导体球面的镜像,1. 点电荷对接地导体球面的镜像,球面上的感应电荷可用镜像电荷q来等效。q应位于导体球内（显然不影响原方程），且在点电荷q与球心的连线上，距球心为d。则有,如图所示，点电荷q 位于半径为a 的接地导体球外，距球心为d 。,方法：利用导体球面上电位为零确定 和q。,问题：,P,q,a,r,R,d,15,令ra，由球面上电位为零，即 0，得,此式应在整个球面上都成立。,条件：若,镜像电荷小于原电荷！,16,可见，导体球面上

7、的总感应电荷也与所设置的镜像电荷相等。,球外的电位函数为,导体球面上的总感应电荷为,球面上的感应电荷面密度为,17,用计算机模拟的，接地导体球旁有一个点电荷q时，空间的电位、电场分布图,由图可知，点电荷q产生的电力线只有一部分终止在导体球上，另一部分延伸至无穷远。所以,18,q,q,该如何分析？,19,2. 点电荷对接地空心导体球壳的镜像,如图所示接地空心导体球壳的内半径为a 、外半径为b，点电荷q 位于球壳内，与球心相距为d ( d a )。,由于球壳接地，感应电荷分布在球壳的内表面上。镜像电荷q 应位于导体空腔外，且在点电荷q与球心的连线的延长线上。与点荷位于接地导体球外同样的分析，可得到

8、,| q|q|，可见镜像电荷的电荷量大于点电荷的电荷量像电荷的位置和电量与外半径 b 无关（为什么？）,20,球壳内的电位,感应电荷分布在导体球面的内表面上，电荷面密度为,导体球面的内表面上上的总感应电荷为,可见，在这种情况下，镜像电荷与感应电荷的电荷量不相等。,21,用计算机模拟的，接地空心导体球壳中有一个点电荷q时，球内空间的电位、电场分布图,由图可知，点电荷q在内球面将产生电量为q的非均匀感应电荷感应电荷的总量不等于镜像电荷，也就是说，用镜像电荷替代感应电荷，只是作用上的等效,22,该如何分析？,q,23,2 . 点电荷对不接地导体球的镜像,先设想导体球是接地的，则球面上只有总电荷量为q

9、的感应电荷分布，则,导体球不接地时的特点：,导体球面是电位不为零的等位面；,球面上既有感应负电荷分布也有感应正电荷分布，但总的感应 电荷为零。,采用叠加原理来确定镜像电荷,点电荷q 位于一个半径为a 的不接地导体球外，距球心为d 。,24,然后断开接地线，并将电荷q加于导体球上，从而使总电荷为零。为保持导体球面为等位面，所加的电荷q 应均匀分布在导体球面上，可用一个位于球心的镜像电荷q来替代，即,球外任意点的电位为,25,采用叠加原理来确定镜像电荷,q,+,26,点电荷对不接地空心导体球壳的镜像,q= - q,27,用计算机模拟的，不接地空心导体球壳中有一个点电荷q时，球内外空间的电位、电场分

10、布图,点电荷q在内球面将产生电量为q的非均匀感应电荷球的外表面有均匀分布的电荷，总量为q，球外空间的电位分布与均匀带电导体球相同球内空间的电位分布与接地空心导体球内的分布类似,28,q,q,该如何分析？,29,该如何分析？,q,30,3.8.4 导体圆柱面的镜像,问题：如图 1 所示，一根电荷线密度为l 的无限长线电荷位于半径为a 的无限长接地导体圆柱面外，与圆柱的轴线平行且到轴线的距离为d。,特点：在导体圆柱面上有感应电荷，圆轴外的电位由线电荷与感应电荷共同产生。,分析方法：镜像电荷是圆柱面内部与轴线平行的无限长线电荷，如图2所示。,1. 线电荷对接地导体圆柱面的镜像,31,由于上式对任意的

11、都成立，因此，将上式对求导，可以得到,由于导体圆柱接地，所以当 时，电位应为零，即,所以有,设镜像电荷的线密度为 ，且距圆柱的轴线为 ，则由 和 共同产生的电位函数,32,导体圆柱面外的电位函数：,由 时，,故,导体圆柱面上的感应电荷面密度,导体圆柱面上单位长度的感应电荷,感应电荷与镜像电荷相等,33,2. 两平行导体圆柱的电轴,特点：由于两圆柱带电导体的电场互相影响，使导体表面的电荷分布不均匀，相对的一侧电荷密度大，而相背的一侧电荷密度较小。,分析方法：将导体表面上的电荷用线密度分别为 、且相距为2b 的两根无限长带电细线来等效替代，如图2所示。,问题：如图1所示，两平行导体圆柱的半径均为a

12、，两导体轴线间距为2h，单位长度分别带电荷 和 。,34,通常将带电细线的所在的位置称为圆柱导体的电轴，因而这种方法又称为电轴法。,由,利用线电荷与接地导体圆柱面的镜像确定b 。,思考：能否用电轴法求解半径不同的两平行圆柱导体问题？,35,能否用镜象法求解？,36,3.8.5 点电荷与无限大电介质平面的镜像,特点：在点电荷的电场作用下，电介质产生极化，在介质分界面上形成极化电荷分布。此时，空间中任一点的电场由点电荷与极化电荷共同产生。,问题：如图 1 所示，介电常数分别为1 和2 的两种不同电介质的分界面是无限大平面，在电介质 1 中有一个点电荷q，距分界平面为h 。,分析方法：计算电介质 1

13、 中的电位时，用位于介质 2 中的镜像电荷来代替分界面上的极化电荷，并把整个空间看作充满介电常数为1的均匀介质，如图2所示。,37,介质1中的电位为,计算电介质 2 中的电位时，用位于介质 1 中的镜像电荷来代替分界面上的极化电荷，并把整个空间看作充满介电常数为2 的均匀介质，如图 3 所示。介质2中的电位为,38,可得到,说明：对位于无限大平表面介质分界面附近、且平行于分界面的无 限长线电荷（单位长度带），其镜像电荷为,利用电位满足的边界条件,39,能否用镜象法求解？,40,特点：在直线电流I 产生的磁场作用下，磁介质被磁化，在分界面上有磁化电流分布，空间中的磁场由线电流和磁化电流共同产生。

14、,问题：如图1所示，磁导率分别为1 和2 的两种均匀磁介质的分界面是无限大平面，在磁介质1中有一根无限长直线电流平行于分界平面，且与分界平面相距为h 。,分析方法：在计算磁介质1中的磁场时，用置于介质 2 中的镜像线电流来代替分界面上的磁化电流，并把整个空间看作充满磁导率为1 的均匀介质，如图2 所示。,3.8.6 线电流与无限大磁介质平面的镜像,41,因为电流沿轴方向流动，所以矢量磁位只有分量，则磁介质1和磁介质2中任一点的矢量磁位分别为,在计算磁介质2中的磁场时，用置于介质1中的镜像线电流来代替分界面上的磁化电流，并把整个空间看作充满磁导率为2的均匀介质，如图3所示。,42,相应的磁场可由

15、 求得。,可得到,故,利用矢量磁位满足的边界条件,43,3.9 分离变量法,将偏微分方程中含有n个自变量的待求函数表示成n个各自只含一个变量的函数的乘积，把偏微分方程分解成n个常微分方程，求出各常微分方程的通解后，把它们线性叠加起来，得到级数形式解，并利用给定的边界条件确定待定常数。,分离变量法是求解边值问题的一种经典方法,分离变量法的理论依据是惟一性定理,分离变量法解题的基本思路,44,位函数的通解,或,直角坐标系,45,圆柱坐标系（与z无关的情况，即无穷长圆柱问题）,球坐标系（与 无关的情况）,周期性条件下： = n (n =1,2,3, ),46,问题给定的边界条件（不同问题，形式不同）

16、,不同介质分界面的边界条件,导体表面的边界条件,边界条件,47,有限性 (位函数在没有源的地方应该为有限值),例1：外场中的介质球，表面极化电荷也会产生电位。由于无 穷远处只剩下外电场，且球心处电位应为有限值，则有,48,对称性(因激励源和边界形状等因素，场具有一定对称性),例3：电位 对于 为奇函数，只取sinn 项，得,例2：电位 对于 为偶函数，只取cosn 项，得,49,解 电位函数满足边界条件：,例 3.9.1 均匀外电场 中，有一半径为 a 的无限长导体圆柱，其轴线与外电场垂直，圆柱外为空气，如图所示。试求导体圆柱外的电位函数和电场强度。, 由于圆柱表面电场强度的切向分量为零，即,

17、 无限远处的电场未受到扰动，因此电位应为,50,根据 ，得,再由边界条件，可求得,51,例 3.9.2 设半径为a，介电常数为 的介质球放在无限大的真空中，受到其内均匀电场 E0 的作用，如图所示。试求介质球内的电场强度。,解 取球坐标系，令 E0 的方向与 z 轴一致，即 。显然，此时场分布以 z 轴为旋转对称，因此与 无关。,则球内/外电位分别为,52,在球面上，球内、外电位函数满足边界条件：,53,球内外电位分别为,54,如果在无限大的介电常数为 的均匀介质中存在球形气泡，那么当外加均匀电场时，气泡内的电场强度应为,泡内的场强高于泡外的场强。,55,例 3.9.3 在半径为a、介电常数为

18、 的介质球外，有一点电荷q，距球心为d，如图所示。试求介质球内、外的电位。,解：,56,利用边界条件确定系数An、Bn,57,讨论,58,例 3.9.4 在半径为a、介电常数为 的介质圆柱外，有一与圆柱的轴线平行的线电荷l ，距球心为d，如图所示。试求介质圆柱内、外的电位。,解：,59,利用边界条件确定系数An、Bn,60,61,62,解：平行平面磁场, 取圆柱坐标系,例 3.9.5 设在均匀磁场 H0中放置一长直磁屏蔽管,试求磁屏蔽管内磁场分布及屏蔽系数。,通解,均匀磁场中的长直屏蔽管,63,（1）,（2）,（3）,（4）,用分离变量法，场的对称性及式（2），得通解,(i=1,2,3),长直屏蔽管内外磁场的分布,64,磁位,屏蔽管内磁场 H1均匀分布，且与 H0 的方向一致。,代入其他边界条件，联立求解得 N1=0,磁场强度,65,工程上常采用多层铁壳磁屏蔽的方法，将进入腔内的残余磁场一次又一次地予以屏蔽。,屏蔽系数,磁屏蔽与静电屏蔽有什么不同？它们对屏蔽的材料各有什么要求？,屏蔽管的材料 越大，K 越小，,导磁管壁越厚，即 1/2越小，K 越小，,屏蔽效能高。,思考,思考,屏蔽效能越高。,66,例 3.9.6,边界条件？,